Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Правила перевода чисел в другие системы счисления
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться переводить целые числа из десятичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную, а также выполнять обратный перевод в десятичную систему, решив не менее 4 из 5 тренировочных заданий.
- Сформировать представление о цифрах и основании восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления, включая обозначения A–F в шестнадцатеричной системе.
- Освоить алгоритм последовательного деления на основание системы и алгоритм разложения числа по степеням основания.
- Развивать умение анализировать запись числа, выбирать подходящий способ перевода и проверять результат обратным действием.
- Снизить тревожность перед заданиями ОГЭ за счёт пошаговой отработки типичных вычислительных действий и формирования навыка самопроверки.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую значимость систем счисления для представления данных в информатике и цифровых технологиях.
- Проявляют готовность спокойно разбирать задания ОГЭ по алгоритму, не подменяя проверку результата догадкой.
- Развивают ответственное отношение к точности вычислений и записи ответа.
- Оценивают собственную готовность выполнять перевод чисел и определяют, какой шаг требует дополнительной тренировки.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления и сравнивают их с десятичной системой.
- Планируют последовательность действий при переводе числа и контролируют каждый промежуточный результат.
- Читают условие задания, извлекают данные и представляют решение в виде алгоритма или таблицы.
- Обсуждают решения в парах, аргументируют выбор основания системы и корректно исправляют ошибки.
- Используют электронный калькулятор или программный код только для проверки, а не вместо рассуждения.
Предметные
- Знать основания восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления и допустимые цифры в них.
- Знать соответствие шестнадцатеричных цифр A–F значениям от 10 до 15.
- Уметь переводить целые числа из десятичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную последовательным делением.
- Уметь переводить числа из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в десятичную разложением по степеням основания.
- Уметь проверять правильность перевода обратным преобразованием и находить ошибку в готовом решении.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться выполнять перевод без пропуска разрядов и ошибок в остатках.
- Осознают связь точности алгоритма с надёжностью компьютерной обработки информации.
- Проявляют настойчивость при проверке решения, даже если первый результат кажется очевидным.
- Соотносят освоенный навык с подготовкой к ОГЭ и дальнейшим изучением программирования.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока и составляют последовательность действий для двух видов перевода.
- Используют лист самопроверки и отмечают выполненные шаги алгоритма.
- Сравнивают свой ответ с эталоном, находят причину ошибки и исправляют её.
- Оценивают результат по количеству верно выполненных заданий и планируют дальнейшую тренировку.
Познавательные УУД
- Сравнивают основания и наборы цифр различных систем счисления.
- Устанавливают связь между остатками при делении и цифрами результата.
- Представляют число как сумму произведений цифр на степени основания.
- Моделируют алгоритм перевода в виде последовательности действий и таблицы.
- Проверяют гипотезу о правильности ответа обратным переводом.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос о непонятном шаге алгоритма и получают объяснение от партнёра.
- Согласовывают общий ответ в паре, распределяя роли вычислителя и проверяющего.
- Аргументируют, почему цифра или остаток допустимы в выбранной системе.
- Корректно сообщают об ошибке в решении и предлагают способ её исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или слайд с таблицей оснований, допустимых цифр и соответствий A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить лист самопроверки с алгоритмами перевода и чек-листом: основание, деление, остатки, чтение снизу вверх, обратная проверка.
- Вывести на доску памятку: «Из десятичной — делим на основание; в десятичную — раскладываем по степеням основания».
- Подготовить 5 коротких заданий формата ОГЭ на индивидуальную работу и отдельный эталон ответов.
- Подготовить стикеры зелёного, жёлтого и красного цвета для приёма «Светофор» — по одному комплекту на парту.
- Проверить работу проектора или интерактивной доски; подготовить маркеры и таймер на 3 минуты.
- Подготовить таблицу степеней чисел 8 и 16: $8^0$, $8^1$, $8^2$, $8^3$, $16^0$, $16^1$, $16^2$, $16^3$.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую связь темы с заданиями ОГЭ и компьютерным представлением данных.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и карточки для работы. Сегодня мы будем действовать как специалисты по проверке компьютерных данных: нам важно не угадать ответ, а получить его по понятному алгоритму и проверить обратным действием." | Проверяют готовность, записывают дату, открывают тетради. |
2 мин | Учитель показывает на экране запись «$255_{10}$, $377_8$, $FF_{16}$» и говорит: "Перед вами три записи. Как вы думаете, могут ли они обозначать связанные между собой значения? Где такая запись может встретиться? Сегодня мы научимся это проверять и увидим, что подобные действия встречаются в заданиях ОГЭ." | Высказывают предположения: «Это числа в разных системах», «Шестнадцатеричная запись встречается в программировании», формулируют вопрос урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня нам потребуется не заучивать случайные правила, а понять два устойчивых алгоритма. Сначала вспомним, что уже умеем делать с системами счисления."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить понятия основания системы, разряда, цифры и степени основания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Блиц»: "Ответьте коротко. Что показывает основание системы счисления? Сколько цифр используется в двоичной системе? Как записывается число $237_{10}$ через разряды?" Учитель фиксирует ответы на доске. | Отвечают: «Основание показывает количество цифр и значение перехода между разрядами»; «В двоичной системе две цифры»; записывают $237=2\cdot10^2+3\cdot10^1+7\cdot10^0$. |
3 мин | Учитель предлагает в парах разобрать запись $1011_2$: "Определите значение числа в десятичной системе и проговорите, что означает каждый разряд. Один ученик вычисляет, второй проверяет." | В парах вычисляют $1\cdot2^3+0\cdot2^2+1\cdot2^1+1\cdot2^0=11$, формулируют: «Цифра умножается на соответствующую степень основания». |
Запись в тетрадях
Систему счисления с основанием $p$ обозначаем индексом $p$. Значение числа определяется суммой произведений цифр на степени основания.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили разрядную запись и увидели, что перевод в десятичную систему строится на степенях основания. Теперь выясним, какие цифры разрешены в системах с основаниями 8 и 16."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при чтении восьмеричных и шестнадцатеричных чисел и сформулировать план открытия нового знания.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает записи $724_8$, $3A_{16}$ и $198_8$. "Какие из этих записей корректны? Обоснуйте ответ. Почему цифра 8 недопустима в восьмеричной системе? Что означает буква A в шестнадцатеричной записи?" | Отмечают $724_8$ и $3A_{16}$ как корректные, $198_8$ как ошибочную запись; объясняют, что в системе с основанием 8 используются цифры от 0 до 7, а A означает 10. |
2 мин | Учитель организует «Снежный ком»: "Сначала каждый запишите, чему хотите научиться. Затем обсудите цель с соседом и сформулируйте общий план из двух-трёх шагов." Учитель собирает формулировки на доске. | Записывают и обсуждают цель; предлагают план: определить допустимые цифры, научиться переводить из десятичной системы и выполнять обратную проверку. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение обнаружено: мы умеем работать с десятичной записью, но нам нужны правила чтения и перевода в системах с другими основаниями. Переходим к открытию этих правил."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритмы перевода чисел между десятичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует таблицу: "В восьмеричной системе основание 8, поэтому используются цифры от 0 до 7. В шестнадцатеричной системе основание 16: цифры от 0 до 9 и буквы A, B, C, D, E, F. Запишите соответствия: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15." | Записывают таблицу соответствий, проговаривают: «F — это 15, а запись $1G_{16}$ невозможна, потому что G не является цифрой этой системы». |
4 мин | Учитель по шагам разбирает перевод $156_{10}$ в восьмеричную систему: "Делим число на 8, записываем остаток, частное снова делим на 8. Когда частное станет нулём, читаем остатки снизу вверх. Не перепутайте порядок." На доске появляется таблица деления. | Заполняют таблицу: $156:8=19$, остаток 4; $19:8=2$, остаток 3; $2:8=0$, остаток 2. Читают результат снизу вверх: $234_8$. |
3 мин | Учитель разбирает перевод $254_{10}$ в шестнадцатеричную систему: "Выполняем те же действия, но делим на 16. Если остаток больше 9, заменяем его буквой. Проверьте результат разложением по степеням 16." | Выполняют: $254:16=15$, остаток 14; $15:16=0$, остаток 15. Записывают $FE_{16}$ и проверяют: $15\cdot16+14=254$. |
Запись в тетрадях
- Перевод из десятичной системы в систему с основанием $p$: последовательно делить число на $p$, записывать остатки, читать остатки снизу вверх.
- Перевод из системы с основанием $p$ в десятичную: умножить каждую цифру на соответствующую степень $p$ и сложить результаты.
- В восьмеричной системе допустимы цифры 0–7; в шестнадцатеричной — 0–9 и A–F.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели два алгоритма. Первый строится на делении и чтении остатков снизу вверх, второй — на разложении по степеням основания. Сейчас проверим алгоритм вместе, проговаривая каждый шаг."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритмы перевода с проговариванием действий и взаимной проверкой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с заданием: перевести $83_{10}$ в восьмеричную систему. "Первый ученик выполняет деление, второй вслух проверяет частные и остатки. Затем поменяйтесь ролями и сравните результат с эталоном на доске." | Выполняют: $83:8=10$, остаток 3; $10:8=1$, остаток 2; $1:8=0$, остаток 1; получают $123_8$. |
2 мин | Учитель предлагает устный разбор: "Переведите $2B_{16}$ в десятичную систему. Какие значения имеют цифры 2 и B? Какую степень 16 нужно использовать для каждого разряда?" | Отвечают и записывают: $2\cdot16^1+11\cdot16^0=43$. |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку по приёму «Две звезды и пожелание»: "Поставьте две отметки за верные действия и одно пожелание, если партнёр пропустил шаг или неверно прочитал остатки." | Проверяют решение партнёра, отмечают два удачных действия и один конкретный совет. |
Эталон решения
$83_{10}$ в восьмеричной системе: $83:8=10$ (остаток 3), $10:8=1$ (остаток 2), $1:8=0$ (остаток 1). Читаем остатки снизу вверх: $123_8$. Проверка: $1\cdot8^2+2\cdot8^1+3\cdot8^0=64+16+3=83$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы убедились, что результат становится надёжным только после проверки. Теперь каждый самостоятельно выполнит мини-вариант в формате, близком к экзаменационному, а затем сверит решение с эталоном."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритмов и научить исправлять ошибки по чек-листу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. "Выберите уровень по уверенности: обязательный минимум, базовый или повышенный. Работайте самостоятельно. В каждом задании сначала определите основание, затем примените алгоритм и оставьте запись промежуточных действий." | Выполняют выбранный вариант: минимум — определить допустимость записей $708_8$, $2F_{16}$ и перевести $45_{10}$ в восьмеричную; базовый — перевести $173_{10}$ в восьмеричную и $250_{10}$ в шестнадцатеричную, а также $3C_{16}$ в десятичную; повышенный — найти ошибку в готовом переводе и выполнить обратную проверку. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Проверьте не только конечный ответ, но и остатки, порядок их чтения, значения букв и обратное разложение. Если ответ неверен, поставьте рядом знак вопроса и исправьте конкретный шаг." | Сверяют решения, исправляют ошибки, заполняют чек-лист: «основание указано», «остатки записаны», «буквы заменены верно», «проверка выполнена». |
Эталон решения
Пример: $173_{10}$ в восьмеричной системе: $173:8=21$ остаток 5; $21:8=2$ остаток 5; $2:8=0$ остаток 2. Поэтому $173_{10}=255_8$. Проверка: $2\cdot8^2+5\cdot8+5=128+40+5=173$. Для $250_{10}$: $250:16=15$ остаток 10, $15:16=0$ остаток 15, следовательно, $250_{10}=FA_{16}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какой шаг уже стал устойчивым, а какой требует внимания. Осталось обобщить правило и зафиксировать личный результат урока."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: обобщить способы перевода, оценить степень освоения материала и дать посильное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если можете самостоятельно перевести число из десятичной системы; жёлтую — если иногда путаете порядок остатков; красную — если пока не понимаете, с какого шага начать. Это не оценка, а способ выбрать следующую тренировку." | Поднимают карточки, называют затруднение: «Путаю чтение остатков», «Забываю заменить 10–15 буквами», «Не всегда проверяю ответ». |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Какой алгоритм используется при переводе из десятичной системы? Почему остатки читают снизу вверх? Как проверить $7A_{16}$ без калькулятора?" | Отвечают: «Последовательное деление на основание»; «Первый остаток является младшим разрядом»; вычисляют $7\cdot16+10=122$. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень. Если алгоритм уже уверен, добавьте повышающий или дополнительный вариант. Перед сдачей проверьте каждый ответ обратным переводом." | Записывают домашнее задание и задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились читать записи в восьмеричной и шестнадцатеричной системах и переводить числа по двум алгоритмам. Главное — не пропускать промежуточные действия и проверять результат. На следующем уроке мы свяжем системы счисления с представлением информации в компьютере."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все основные задания выбранной карточки, корректно указаны допустимые цифры, записаны промежуточные деления или степени основания, выполнена обратная проверка.
- «4» — верно выполнено большинство заданий, допущена одна вычислительная ошибка или неточность в записи, но алгоритм выбран правильно и ход решения понятен.
- «3» — верно выполнено не менее половины обязательных действий, допущены ошибки в одном из алгоритмов, однако ученик определяет основание системы и пытается оформить решение пошагово.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой алгоритм сегодня стал для вас понятнее: перевод делением или перевод по степеням основания? | Выявление субъективной оценки освоения двух способов перевода. |
На каком шаге вы чаще всего ошибались? | Выявление точек затруднения: основание, остатки, порядок чтения или буквы A–F. |
Как вы проверите, что запись $FA_{16}$ соответствует числу 250 в десятичной системе? | Проверка осознания обратного разложения по степеням основания. |
Что вы будете делать, если встретите подобное задание на ОГЭ? | Формирование уверенного алгоритма поведения и снижение экзаменационной тревожности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы разобрали восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления и научились переводить числа между ними и десятичной системой. Самая частая ошибка — прочитать остатки в том же порядке, в котором они получены, поэтому всегда проверяйте результат обратным действием. Буквы A–F в шестнадцатеричной системе — это не отдельные слова, а значения от 10 до 15. На следующем уроке мы рассмотрим, как системы счисления используются для представления информации в компьютере."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: определить допустимость двух записей в восьмеричной и шестнадцатеричной системах; перевести одно десятичное число в восьмеричную систему; одно десятичное число — в шестнадцатеричную; одно число из шестнадцатеричной системы — в десятичную. Для каждого перевода записать промежуточные действия. | Закрепляет распознавание допустимых цифр и оба основных алгоритма. При проверке смотреть на основание, остатки, порядок чтения и значения A–F. |
Средний (повышающий) | Решить 5 задач на перевод: два числа из десятичной системы в восьмеричную, одно число в шестнадцатеричную, два числа из восьмеричной или шестнадцатеричной системы в десятичную. Выполнить обратную проверку не менее двух ответов. | Формирует устойчивость алгоритма и навык самоконтроля. При проверке обращать внимание на разрядность и правильное использование степеней основания. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственное задание формата ОГЭ: предложить число в одной системе счисления, перевести его в две другие системы и оформить краткое объяснение алгоритма. Дополнительно найти в готовом решении намеренную ошибку и исправить её. | Развивает создание, анализ и аргументацию; связывает вычислительный навык с экзаменационным форматом. При проверке оценивать корректность условия, решения, проверки и объяснения ошибки. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какие цифры допустимы в восьмеричной системе? Чему равна буква E в шестнадцатеричной системе? Как переводят число из десятичной системы в систему с основанием 16? Почему остатки читают снизу вверх? Как проверить полученный ответ?»
