Непозиционные и позиционные системы счисления
Цели и задачи
- Цель: Сформировать понимание принципиального различия между позиционными и непозиционными системами счисления, научить определять алфавит и основание систем.
- Образовательная задача: Изучить историю возникновения чисел, классифицировать системы счисления, ввести понятия «основание», «алфавит», «разряд».
- Развивающая задача: Развивать логическое мышление через сравнение способов записи чисел, навыки анализа и синтеза информации.
- Воспитательная задача: Повысить интерес к предмету через игровые элементы и исторические экскурсы, формировать навыки самостоятельной оценки своей работы.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознание значения математических знаний в развитии человеческой цивилизации.
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению.
- Умение вести конструктивный диалог и уважать мнение сверстников в процессе групповой игры.
Метапредметные
- Познавательные: умение выделять существенные признаки систем счисления, строить логические рассуждения и делать выводы.
- Регулятивные: умение ставить учебные цели, планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей.
- Коммуникативные: умение полно и точно выражать свои мысли, работать в команде при решении игровых задач.
Предметные
- Знать определения «система счисления», «алфавит», «основание», «позиция».
- Уметь различать позиционные и непозиционные системы счисления по их записи.
- Понимать принцип записи чисел в римской системе и десятичной системе счисления.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование (связь между целью учебной деятельности и ее мотивом).
- Нравственно-этическое оценивание усваиваемого содержания.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Самоконтроль и коррекция в процессе выполнения самостоятельной работы.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков.
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
Коммуникативные УУД
- Планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с изображениями древних систем счисления (Египет, Вавилон, Рим, Майя).
- Распечатать карточки для игры «Детективное агентство» (15 комплектов на пары).
- Подготовить стикеры трех цветов для рефлексии (зеленый, желтый, красный).
- Проверить работу проектора и интерактивной доски.
- Подготовить учебники информатики (Л.Л. Босова, 8 класс) и открыть страницу с темой «Системы счисления».
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: психологически настроить учащихся на работу, создать условия для возникновения внутренней потребности включения в учебную деятельность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Здравствуйте, восьмиклассники! Сегодня мы начнем с небольшой загадки. Посмотрите на экран. Здесь записаны три числа: 10, X и ∩. Как вы думаете, что общего у этих записей? Правильно, это одно и то же число — десять, но записанное на разных языках математики. Представьте, что вы — путешественники во времени. В какой эпохе вам было бы удобнее всего считать сдачу в магазине? Сегодня мы выясним, почему человечество прошло путь от палочек на песке до двоичного кода в ваших смартфонах». | Слушают учителя, рассматривают символы на экране. Предполагают, что это разные способы записи чисел. Включаются в диалог, отвечают на вопрос о «сдаче в магазине», аргументируя удобством современной записи. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что число одно, а способов его записи — множество. Давайте разберемся, как называются эти способы и по каким правилам они работают».
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (7 мин)
Цель этапа: актуализировать знания об известных способах записи чисел и выявить проблему неудобства некоторых из них.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Давайте вспомним уроки истории. Как считали люди в Древнем Египте или Риме? Я выведу на экран таблицу египетской нумерации. Попробуйте записать в тетрадях число 999 египетскими иероглифами. Подсказка: для каждой сотни, десятка и единицы — свой символ. Сколько знаков вам пришлось нарисовать? А теперь запишите это же число привычными нам цифрами. В чем разница? Почему современная запись короче?» | Рисуют в тетрадях иероглифы (9 символов сотни, 9 — десятка, 9 — единиц). Считают количество знаков (27 знаков). Сравнивают с десятичной записью (3 знака). Делают вывод о громоздкости древней системы. |
3 мин | «А теперь попробуйте сложить в уме римские числа: MCMXCIV + LXXXVIII. Сложно? В этом и заключается наше затруднение. Древние системы были хороши для записи, но ужасны для вычислений. Как вы думаете, какое главное свойство отличает число 111 в нашей системе от числа III в римской?» | Пытаются сложить числа, сталкиваются с трудностью. Высказывают гипотезы: «В нашей системе цифры значат разное в разных местах», «В римской системе палочка — это всегда один». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы нащупали главное отличие. В одном случае значение цифры зависит от её места, в другом — нет. Мы переходим к открытию новых понятий».
Этап 3. Построение проекта выхода из затруднения (5 мин)
Цель этапа: сформулировать тему урока, поставить цели и определить план действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Итак, тема нашего урока: "Непозиционные и позиционные системы счисления". Запишите её в тетради. Исходя из нашего затруднения, какие цели мы перед собой поставим? Используйте слова: Узнать..., Научиться..., Понять... Я буду записывать ваши предложения на доске в виде плана нашего расследования». | Формулируют цели: «Узнать определение системы счисления», «Понять разницу между позиционными и непозиционными системами», «Научиться определять алфавит системы». Записывают тему в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цели ясны, план составлен. Приступаем к работе нашего "Детективного агентства"».
Этап 4. Реализация проекта — Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: ввести основные понятия темы через исследовательскую деятельность и работу с информацией.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | «Применим приём "Инсерт". Откройте учебник на странице 10. Прочитайте первый абзац и расставьте пометки карандашом: V (знал), + (новое), ? (непонятно). После этого обсудите в парах: что такое алфавит системы счисления и что такое основание? Я пройду по рядам и помогу, если возникнут вопросы по терминологии». | Читают текст, делают пометки. В парах обсуждают определения. Готовятся объяснить классу своими словами, что такое «алфавит» (набор символов) и «основание» (количество символов). |
6 мин | «Давайте проведем эксперимент. Рассмотрим число 555. Какое значение имеет первая пятерка? А вторая? А третья? Теперь возьмем римское число XXX. Изменилось ли значение символа X от того, что он стоит на первом или втором месте? Вот вам и ключ к разгадке: если значение цифры зависит от позиции — система позиционная. Если нет — непозиционная. Запишем схему-кластер в тетрадь». | Отвечают: «Первая 5 — это пятьсот, вторая — пятьдесят, третья — пять». Анализируют число XXX: «Везде это десять». Делают вывод о типах систем. Зарисовывают кластер «Системы счисления», разделяя их на две ветви с примерами. |
Запись в тетрадях
- Система счисления (СС) — это знаковая система, в которой приняты определенные правила записи чисел.
- Алфавит СС — совокупность символов, используемых для записи чисел.
- Основание СС — количество символов в алфавите.
- Непозиционная СС: значение знака НЕ зависит от его позиции (Римская, Египетская).
- Позиционная СС: значение знака ЗАВИСИТ от его позиции (Десятичная, Двоичная).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы раскрыли главную тайну цифр. Теперь проверим, сможете ли вы применить эти знания на практике в нашей игре».
Этап 5. Первичное закрепление с элементами игры (8 мин)
Цель этапа: закрепить полученные знания через игровую форму, развивая навыки классификации.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | «Игра "Детективное агентство: Поиск позиции". У вас на столах карточки с записями чисел из разных миров. Ваша задача — рассортировать их в две папки: "Позиционные" и "Непозиционные". Но будьте осторожны! Среди них есть "шпионы" — записи, которые вообще не являются числами. Работаем в парах, время пошло — 5 минут. Затем — взаимопроверка по эталону на экране». | Работают в парах. Анализируют записи: $101_2$, $VI$, $MMXX$, $456_{10}$, $\infty$ (шпион). Распределяют их по группам. После сигнала меняются карточками с соседней партой и проверяют работу по слайду, выставляя баллы. |
Эталон решения
1. Непозиционные: $VI$ (Рим), $\cap \cap$ (Египет), $MMXX$.
2. Позиционные: $101_2$, $456_{10}$, $77_8$.
3. Шпионы: $\#$, $\infty$ (не являются цифрами систем счисления).
2. Позиционные: $101_2$, $456_{10}$, $77_8$.
3. Шпионы: $\#$, $\infty$ (не являются цифрами систем счисления).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Детективы справились отлично! Большинство из вас безошибочно узнали позиционные системы».
Этап 6. Рефлексия (5 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Наш урок подходит к концу. Давайте вернемся к нашим целям. Всё ли мы успели? Предлагаю вам заполнить "Билет на выход". Напишите на стикере один факт, который вас сегодня удивил, и один вопрос, который остался. Приклейте стикер на доску: зеленый — если всё понятно, желтый — если есть сомнения, красный — если тема показалась очень сложной». | Анализируют свою работу. Пишут тезисы: «Удивило, что египтяне рисовали лягушек для обозначения 100 000», «Не до конца понял, как считать основание в сложных системах». Приклеивают стикеры на доску, создавая цветовую карту понимания темы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Верно классифицированы все числа в игре, выделены все «шпионы», даны четкие определения понятий алфавит и основание.
- «4» — Допущена 1 ошибка в классификации, верно определены типы систем, но есть неточности в формулировке определений.
- «3» — Верно классифицировано более половины чисел, но ученик затрудняется объяснить разницу между позицией и значением цифры.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
В какой системе счисления тебе было бы проще всего записать свой год рождения и почему? | Осознание практической применимости и удобства позиционных систем. |
Если бы мы использовали алфавит из 5 символов, как бы называлась такая система? | Проверка понимания связи между алфавитом и названием (основанием) системы. |
Что произойдет, если в числе 123 поменять цифры местами? | Закрепление понятия позиции (разряда) в числе. |
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня вы проделали путь длиной в пять тысяч лет — от первых зарубок на кости до понимания принципов работы современных компьютеров. Мы выяснили, что позиция решает всё: и в математике, и, часто, в жизни. На следующем уроке мы научимся говорить на языке компьютера — переводить числа в двоичную систему. Спасибо за активную работу, вы настоящие исследователи!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Параграф 1.1, вопросы 1-4 после текста. | Прочитать теорию и устно ответить на вопросы для самопроверки. |
Средний (повышающий) | Задание «Числовой портрет». | Запишите дату своего рождения в римской и десятичной системах. Объясните разницу в количестве знаков. |
Продвинутый (дополнительный) | Мини-исследование «Система Майя». | Подготовьте краткую справку (5-7 предложений): была ли система счисления Майя позиционной? Какой у неё был алфавит? |
Контрольный вопрос: «Может ли число 101 быть записано в непозиционной системе счисления? Обоснуйте свой ответ».