Непозиционные и позиционные системы счисления. Развёрнутая форма записи числа. Перевод в десятичную систему счисления
Цели и задачи
- Цель: сформировать представление о позиционных и непозиционных системах счисления, научить переводить числа из любой системы счисления в десятичную с использованием развёрнутой формы записи.
- Образовательная задача: изучить понятия «алфавит», «основание», «разряд»; выявить отличительные признаки позиционных систем.
- Развивающая задача: развивать алгоритмическое мышление через применение формулы развёрнутой записи числа.
- Воспитательная задача: повысить интерес к истории развития науки и техники, показать значимость информационных процессов в жизни человека.
- Межпредметная задача: проследить связь информатики с историей (древние способы счёта) и математикой (степени числа).
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к учению, готовности к саморазвитию.
- Развитие навыков сотрудничества со сверстниками в игровой деятельности.
- Осознание важности математических знаний для понимания устройства компьютера.
Метапредметные
- Умение определять понятия, создавать обобщения, устанавливать аналогии.
- Навык смыслового чтения текстов, содержащих исторические и технические сведения.
- Способность соотносить свои действия с планируемыми результатами.
Предметные
- Знать определения позиционной и непозиционной систем счисления.
- Уметь определять основание и алфавит системы счисления.
- Владеть навыком записи числа в развёрнутой форме.
- Уметь переводить целые числа из позиционных систем счисления с основаниями 2, 8, 16 в десятичную систему.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Установление связи между целью учебной деятельности и её мотивом.
- Оценивание усваиваемого содержания исходя из социальных и личностных ценностей.
Регулятивные УУД
- Постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что предстоит узнать.
- Выделение и осознание того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.
- Поиск и выделение необходимой информации с использованием методов информационного поиска.
- Анализ объектов с целью выделения признаков.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
- Владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с нормами языка.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать раздаточный материал «Карточки древних чисел» (римские, египетские, славянские) — по 1 набору на парту.
- Подготовить интерактивную презентацию с визуализацией развёрнутой формы числа.
- Проверить работу проектора и компьютеров (для этапа самопроверки через онлайн-калькулятор или Excel).
- Подготовить стикеры трёх цветов для рефлексии.
- Открыть учебник Босовой Л.Л. (8 класс) на странице 7-12.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и включить «крючок» внимания через исторический контекст.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель входит в класс с необычным вопросом: "Ребята, представьте, что вы — древнеегипетские сборщики налогов. Вам нужно записать, что фараону привезли 1234 мешка зерна. Как вы это сделаете, если цифр 0, 1, 2... ещё не придумали?" Учитель выводит на экран изображение египетских иероглифов. "Сегодня мы отправимся в путешествие во времени, чтобы понять, как люди научились 'укрощать' числа и почему компьютер понимает только 0 и 1." | Ученики с интересом рассматривают иероглифы на слайде, пытаются догадаться, какие символы обозначают единицы, десятки и сотни. Выдвигают гипотезы: 'Наверное, рисовали палочки', 'Использовали рисунки животных'. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Как видите, способов записи чисел было множество. Но все ли они были удобны? Давайте разберёмся."
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (5 мин)
Цель этапа: повторить известные способы записи чисел и выявить проблему позиционности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель пишет на доске два числа: XI и 11. "Посмотрите на эти записи. В чём их сходство и в чём принципиальное различие? Какое значение имеет единица в первом случае и во втором?" | Ученики отвечают: 'Оба числа означают одиннадцать'. Один ученик замечает: 'В числе 11 первая единица — это десяток, а вторая — единица. А в XI обе палочки — это просто единицы'. |
3 мин | Учитель предлагает игру 'Сложный счёт': "Попробуйте быстро сложить в уме римские числа: MCMXCVIII + XLIV. Удобно? А теперь 1998 + 44. Почему во втором случае это проще?" | Ученики пробуют считать, сталкиваются с трудностью. Приходят к выводу: 'В нашей обычной записи есть разряды, это удобнее для вычислений'. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Именно в этом 'секрете' разрядов и кроется главное отличие систем счисления, о которых мы сегодня поговорим."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Построение проекта выхода из затруднения (2 мин)
Цель этапа: сформулировать тему и цели урока вместе с учениками.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель: "Исходя из нашего обсуждения, как мы назовём тему урока? Какие цели поставим?" Учитель корректирует ответы и записывает на доске: 'Непозиционные и позиционные системы счисления'. "Нам нужно узнать: что такое алфавит и основание системы, и научиться переводить любые 'зашифрованные' числа в нашу привычную десятичную систему." | Ученики предлагают варианты темы: 'Виды чисел', 'Системы счисления'. Записывают тему в тетради. Формулируют задачи: 'Узнать разницу между системами', 'Научиться считать в других системах'. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План намечен, приступаем к исследованию."
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: ввести ключевые понятия и алгоритм перевода чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель вводит понятия: "Система счисления — это способ записи чисел. Непозиционная — когда вес цифры не зависит от её места (как в римской). Позиционная — когда зависит. У каждой системы есть Алфавит (набор символов) и Основание (количество этих символов)." Учитель рисует на доске таблицу: Система | Основание | Алфавит. | Ученики чертят таблицу в тетрадях. Заполняют её для десятичной системы (Основание 10, Алфавит 0-9) и двоичной (Основание 2, Алфавит 0, 1). |
8 мин | Учитель объясняет развёрнутую форму записи числа: "Любое число можно расписать по степеням его основания. Давайте возьмём наше число 1234. Это 1*10^3 + 2*10^2 + 3*10^1 + 4*10^0. А теперь внимание! Этот же принцип работает для ЛЮБОЙ системы. Давайте переведём двоичное число 1011 в десятичную систему." Учитель показывает алгоритм: 1) пронумеровать разряды справа налево с нуля; 2) записать сумму произведений цифр на основание в степени разряда. | Ученики внимательно следят за записью на доске, записывают алгоритм. Пробуют вместе с учителем перевести 1011 в десятичную систему. |
Эталон решения (перевод 1011₂ в 10-ичную)
$1011_2 = 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11_{10}$
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, мы нашли универсальный ключ для перевода чисел. Теперь проверим его в действии."
Этап 5. Физкультминутка «Двоичная зарядка» (2 мин)
Цель этапа: снять физическое напряжение и закрепить понятие алфавита двоичной системы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель: "Встаньте, пожалуйста. Сейчас мы превратимся в компьютеры. Я буду показывать карточки с цифрами. Если это 1 — поднимаем руки вверх и хлопаем (сигнал есть), если 0 — приседаем (сигнала нет). Будьте внимательны!" Учитель быстро показывает последовательность: 1, 0, 1, 1, 0. | Ученики активно выполняют упражнения, смеются, стараются не сбиться с ритма. Это помогает переключить внимание и запомнить двоичный алфавит. |
Этап 6. Первичное закрепление с элементами ИКТ (7 мин)
Цель этапа: отработать навык перевода чисел в парах с проверкой на компьютере.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | Учитель раздаёт карточки с заданием 'Секретный код'. "Ребята, перед вами три числа в разных системах: 1101 (двоичная), 17 (восьмеричная), A (шестнадцатеричная). Переведите их в десятичную. После решения сядьте за компьютеры, откройте стандартный калькулятор в режиме 'Программист' и проверьте себя." | Ученики работают в парах, выполняют вычисления в тетрадях. Затем пересаживаются за ПК, переключают калькулятор в нужный режим (BIN, OCT, HEX) и сверяют результаты. Обсуждают, если ответы не совпали. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Компьютер подтвердил ваши расчёты? Отлично, значит, алгоритм усвоен."
Этап 7. Самостоятельная работа (7 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения темы на разных уровнях сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | Учитель предлагает три уровня заданий на выбор (написаны на доске). "Выберите тот уровень, который вам по силам. Уровень А — база, Б — посложнее, В — для знатоков." Учитель ходит по классу, оказывает индивидуальную помощь. | Ученики выбирают задание и самостоятельно решают его в тетрадях. Те, кто выбрал уровень В, сталкиваются с буквами в 16-ричной системе и вспоминают, что A=10, B=11 и т.д. |
Эталон решения уровня Б (перевод 25₈ в 10-ичную)
$25_8 = 2 \cdot 8^1 + 5 \cdot 8^0 = 16 + 5 = 21_{10}$
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сдаём тетради на проверку. Уверен, большинство справились на 'отлично'."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознание результатов деятельности и постановка задач на будущее.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель проводит приём 'Светофор': "Поднимите зелёную карточку, если всё поняли и можете научить другого; жёлтую — если поняли, но есть сомнения; красную — если тема осталась тёмным лесом." Затем диктует домашнее задание и поясняет его. | Ученики оценивают свою работу, поднимая карточки. Записывают домашнее задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня (А, Б или В), развёрнутая форма записи представлена без ошибок, вычисления точны.
- «4» — допущена 1 ошибка в вычислениях при верном алгоритме записи развёрнутой формы, или выполнено 80% работы.
- «3» — ученик понимает принцип развёрнутой записи, но допускает ошибки в степенях или при работе с алфавитом системы.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое открытие сегодня было самым неожиданным? | Осознание новизны материала и личного интереса. |
Где в жизни мы можем встретить системы счисления, кроме уроков информатики? | Связь с реальностью и функциональная грамотность. |
В каком месте алгоритма перевода вы почувствовали 'затык'? | Выявление слабых мест для коррекции на следующем уроке. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы совершили большой скачок: от палочек на песке до понимания того, как думает ваш смартфон. Вы увидели, что математика и информатика — это языки, на которых говорит сама логика. На следующем уроке мы научимся обратному процессу — превращать наши обычные числа в компьютерный код. Вы большие молодцы, спасибо за работу!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | § 1.1, упр. 1-3 | Прочитать теорию, выполнить перевод трёх двоичных чисел в десятичную систему. |
Средний (повышающий) | Задание на карточке №2 | Перевести дату своего рождения (день и месяц) в двоичную систему счисления. |
Продвинутый (дополнительный) | Мини-проект 'История числа' | Подготовить 3 слайда о любой необычной системе счисления (например, 60-ричная в Вавилоне или 20-ричная у Майя). |
Контрольный вопрос перед выходом: 'Чему равно основание системы счисления, если её алфавит состоит из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?'