Двоичная система счисления: перевод целых чисел и арифметические операции
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться переводить целые числа от 0 до 1024 из десятичной системы счисления в двоичную и обратно, а также выполнять сложение и вычитание двоичных чисел, проверяя результат обратным переводом.
- Сформировать представление о позиционной записи чисел в двоичной системе и роли степеней числа 2.
- Освоить алгоритмы перевода чисел между десятичной и двоичной системами счисления на примерах в диапазоне от 0 до 1024.
- Научиться выполнять сложение и вычитание двоичных чисел поразрядно с учётом правил переноса и займа.
- Развивать самостоятельность, точность вычислений, умение объяснять алгоритм и проверять результат несколькими способами.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение двоичной системы для работы компьютеров, цифровых устройств и будущих профессий.
- Проявляют ответственное отношение к точности записи чисел и проверке полученного результата.
- Принимают право одноклассника на иной способ рассуждения и аргументированно оценивают предложенное решение.
- Развивают познавательный интерес к способам представления информации в компьютерных системах.
Метапредметные
- Планируют последовательность действий при переводе числа и выполнении двоичной операции.
- Извлекают информацию из таблицы степеней двойки, алгоритма и примеров.
- Сравнивают способы решения, находят ошибку в записи и обосновывают исправление.
- Используют самопроверку обратным переводом и оценивают собственный результат.
Предметные
- Знать, что двоичная система является позиционной системой счисления с основанием 2 и использует цифры 0 и 1.
- Уметь представлять целые числа от 0 до 1024 в виде суммы степеней двойки и записывать их в двоичной системе.
- Уметь переводить двоичные числа в десятичные по разрядам.
- Уметь выполнять сложение и вычитание двоичных чисел, соблюдая правила переноса и займа.
- Владеть способом проверки результата арифметической операции переводом чисел в десятичную систему.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель изучения двоичной системы через связь с устройством компьютера.
- Осознают необходимость аккуратности и настойчивости при работе с алгоритмами.
- Формируют смысловое отношение к информатике как к языку описания цифровых процессов.
- Оценивают собственную готовность применять новый способ в незнакомой задаче.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока после выявления затруднения в переводе числа.
- Планируют шаги алгоритма перевода и арифметической операции.
- Осуществляют пошаговый самоконтроль по чек-листу.
- Находят и исправляют ошибки, сравнивая решение с эталоном и выполняя обратную проверку.
Познавательные УУД
- Выделяют основание системы счисления и значение позиции цифры.
- Строят модель числа как суммы степеней двойки.
- Анализируют двоичную запись и устанавливают соответствие между разрядами и весами.
- Применяют алгоритм к новым числам и объясняют закономерность последовательности степеней двойки.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают решение в паре и формулируют общий алгоритм.
- Задают уточняющие вопросы о переносе, займе и порядке действий.
- Аргументируют ответ с помощью записи разрядов и вычислений.
- Корректно оценивают решение партнёра по заранее объявленным критериям.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с таблицей степеней двойки: 2⁰ = 1, 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, 2⁵ = 32, 2⁶ = 64, 2⁷ = 128, 2⁸ = 256, 2⁹ = 512, 2¹⁰ = 1024.
- Подготовить карточки трёх уровней: перевод чисел, двоичное сложение и вычитание — по одной карточке на каждого ученика.
- Распечатать чек-лист самопроверки — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить карточки с ошибочными решениями для работы в парах — по одной карточке на пару, всего 15 карточек.
- Вывести на доску или слайд правила сложения: 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=10₂.
- Вывести на доску правила вычитания: 0−0=0, 1−0=1, 1−1=0, 10₂−1=1.
- Подготовить маркеры двух цветов для выделения разрядов и переносов.
- Проверить работу компьютера, проектора или интерактивной доски; подготовить резервный вариант на доске.
- Организовать рабочие места для индивидуальной работы и обсуждения в парах.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (2 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую связь двоичной системы с цифровыми устройствами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовы ли тетрадь, ручка и карточка для работы. Сегодня нам понадобится особая внимательность: компьютер хранит и обрабатывает информацию не так, как человек записывает числа в обычной жизни. Запишите дату и тему урока." | Проверяют готовность, записывают дату и тему: "Двоичная система счисления. Перевод чисел и арифметические операции". |
2 мин | Учитель показывает на экране два состояния переключателей: выключен и включён, рядом — записи 0 и 1: "Представьте ряд из переключателей. Каждый может быть выключен или включён. Какое преимущество даёт такая запись машине? Почему для компьютера достаточно двух символов? Подумайте 30 секунд, обсудите ответ с соседом и поделитесь одной формулировкой. Это приём "Подумай — обсуди в паре — поделись"." | Сначала формулируют ответ индивидуально, затем обсуждают в парах. Предполагаемые ответы: "Устройства работают с двумя состояниями", "0 и 1 удобно связывать с отсутствием и наличием сигнала", "так компьютер кодирует данные". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что двоичная запись связана с двумя устойчивыми состояниями устройства. Теперь проверим, какие знания о системах счисления уже помогут нам и где возникнет затруднение."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (2 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия основания, разряда и позиционного значения цифры, а также обнаружить затруднение в переводе чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске число 583 и спрашивает: "Что означает цифра 5 в этой записи? А цифра 8? Почему одинаковая цифра в разных позициях может иметь разное значение? Назовите основание привычной для нас системы счисления." | Отвечают: "Цифра 5 означает пять сотен, цифра 8 — восемь десятков"; формулируют: "В десятичной системе основание 10, значение цифры зависит от позиции". |
2 мин | Учитель показывает таблицу: 10⁰, 10¹, 10², 10³ и предлагает составить разложение числа 583. | Записывают разложение и сверяют запись с соседом. |
1 мин | Учитель предлагает проблемное задание: "Попробуйте без нового алгоритма записать число 13 только цифрами 0 и 1." | Формулируют возникшее затруднение. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что позиция цифры задаёт её вес, но пока не умеем использовать это правило для основания 2. Значит, нам нужно открыть способ построения двоичной записи и научиться проверять её."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (2 мин)
Цель этапа: совместно сформулировать цель и план открытия нового способа действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель задаёт вопросы о весе разрядов и допустимых цифрах в двоичной системе. | Формулируют: вес увеличивается в 2 раза; допустимы 0 и 1; проверка — обратным переводом. |
2 мин | Учитель предлагает определить порядок работы и сформулировать цель урока. | Формулируют цель и последовательность действий. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: мы не просто запомним запись 0 и 1, а выведем способ её построения и применим его к вычислениям. Начнём с главного — с веса двоичных разрядов."
Этап 4. Открытие нового знания (6 мин)
Цель этапа: вывести алгоритмы перевода чисел между десятичной и двоичной системами счисления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает таблицу степеней двойки и перевод 13₁₀ = 1101₂ разложением по степеням двойки. | Определяют веса разрядов и записывают результат. |
2 мин | Учитель демонстрирует перевод делением на 2; остатки читаются снизу вверх. | Записывают цепочку делений и объясняют направление чтения. |
2 мин | Учитель показывает обратный перевод 10110₂ = 22₁₀. | Выполняют вычисление. |
2 мин | Учитель организует парную мини-проверку перевода 19₁₀ и 10011₂. | Проверяют работу партнёра. |
Запись в тетрадях
Записывают: «В двоичной системе используются цифры 0 и 1, основание системы — 2. Перевод из десятичной системы: разложить число по степеням 2 или последовательно делить на 2 и читать остатки снизу вверх. Перевод из двоичной системы: сложить значения разрядов, отмеченных единицами».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили два взаимно обратных алгоритма и проверили их на примерах. Теперь выясним, как те же разряды помогают выполнять арифметические действия непосредственно в двоичной записи."
Этап 5. Открытие правил двоичной арифметики (4 мин)
Цель этапа: вывести правила сложения и вычитания двоичных чисел на конкретных примерах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует двоичное сложение и перенос при 1+1. | Записывают сложение по разрядам. |
2 мин | Учитель объясняет заём на примере 10010₂ − 00101₂. | Выполняют вычитание и получают 01101₂. |
1 мин | Учитель организует проверку результатов обратным переводом. | Проверяют и исправляют ошибки. |
Эталон решения
1011₂ + 0110₂ = 10001₂, так как 1011₂ = 11₁₀ и 0110₂ = 6₁₀, а 11 + 6 = 17 = 10001₂. 10010₂ − 00101₂ = 01101₂, так как 10010₂ = 18₁₀ и 00101₂ = 5₁₀, а 18 − 5 = 13 = 01101₂.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Правила двоичной арифметики похожи на привычные, но перенос возникает уже при сумме двух единиц, а заём превращает единицу в соседнем разряде в 10₂. Сейчас каждый применит алгоритм самостоятельно и выберет подходящий уровень сложности."
Этап 6. Первичное закрепление (3 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритмы перевода и операций с проговариванием последовательности действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки базового уровня с заданиями на перевод и сложение. | Индивидуально решают задания. |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку по критериям. | Проверяют работу партнёра. |
1 мин | Учитель просит назвать частую ошибку и способ исправления. | Формулируют ответ. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы закрепили отдельные действия и увидели, что ошибка чаще всего появляется при чтении остатков и переносе единицы. Теперь проверим, сможете ли вы выполнить полный алгоритм самостоятельно без подсказки."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (18 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение материала и сформировать навык самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет порядок работы на платформе Яндекс Учебник и напоминает, что логины и код школы находятся в отдельном файле в виртуальной школе. | Открывают Яндекс Учебник, находят задания по теме урока и приступают к выполнению. |
10 мин | Учитель предлагает выполнить задания по теме урока, рабочую тетрадь и презентацию; оказывает адресную помощь и контролирует продвижение. | Самостоятельно выполняют задания на платформе Яндекс Учебник по теме урока, рабочую тетрадь и презентацию. |
2 мин | Учитель открывает эталон и предлагает самопроверку по чек-листу. | Сверяют ключевые шаги, исправляют ошибки и отмечают, что необходимо повторить. |
Эталон решения
37₁₀ = 32 + 4 + 1 = 2⁵ + 2² + 2⁰ = 100101₂. 101101₂ = 32 + 8 + 4 + 1 = 45₁₀. 1101₂ + 0101₂ = 10010₂. Для повышенного задания: 100000₂ − 001101₂ = 011001₂ = 25₁₀.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без пошаговой подсказки. Осталось связать отдельные правила в общую систему и сформулировать, как двоичная запись используется в компьютере."
Этап 8. Включение в систему знаний и рефлексия (3 мин)
Цель этапа: обобщить изученное, соотнести его с практикой и оценить собственное продвижение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель задаёт вопрос: "Почему двоичная система удобна для компьютера? Как связаны перевод числа, разрядная запись и арифметические операции?" | Формулируют: "Компьютер различает два состояния, поэтому использует 0 и 1"; "разряд показывает степень двойки"; "арифметика выполняется по тем же позиционным правилам". |
2 мин | Учитель проводит приём "Светофор": "Покажите зелёную карточку, если можете самостоятельно перевести число и выполнить операцию; жёлтую — если нужна тренировка; красную — если требуется разбор с учителем. На стикере допишите один шаг, который стал понятнее всего." | Поднимают карточку, фиксируют личный результат и записывают: "Я научился читать остатки снизу вверх", "Я понял перенос 1+1=10₂" или "Мне нужно повторить заём". |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три задания выбранного варианта, корректно записаны разряды и основания систем, переносы или заёмы показаны, результат арифметической операции подтверждён обратным переводом.
- «4» — верно выполнены не менее двух заданий из трёх, допущена одна вычислительная ошибка или пропущено пояснение одного шага, но алгоритм в целом выбран правильно.
- «3» — верно выполнено хотя бы одно задание, ученик различает цифры 0 и 1 и основание 2, однако допускает ошибки в разрядах, чтении остатков, переносе или займе.
- Ниже базового уровня — требуется повторить таблицу степеней двойки и выполнить тренировочные задания с пошаговым шаблоном.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о значении разрядов в двоичной системе? | Выявление осознания позиционного принципа и роли степеней двойки. |
Какой алгоритм перевода оказался для вас удобнее: разложение по степеням двойки или деление на 2? Почему? | Определение осознанности выбора способа и способности аргументировать решение. |
На каком шаге сложения или вычитания возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в переносе, займе и выравнивании разрядов. |
Как вы проверяли полученный результат? | Проверка сформированности навыка самоконтроля и обратного перевода. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, почему компьютер использует двоичную систему, научились переводить числа от 0 до 1024 между системами счисления и выполнять двоичное сложение и вычитание. Самая частая ошибка — неправильное чтение остатков или забытый перенос при сложении двух единиц. Проверяйте себя обратным переводом: он быстро показывает, где нарушен алгоритм. На следующем уроке мы продолжим работать с представлением информации и увидим, как двоичные разряды используются для хранения данных."
Выполните задания на платформе Яндекс Учебник по теме урока, рабочую тетрадь и презентацию. Логины и код школы находятся в отдельном файле в виртуальной школе.
