Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках. Подобные треугольники
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют теорему Фалеса и теорему о пропорциональных отрезках, установят признаки подобия треугольников и решат не менее двух задач на пропорциональные отрезки с объяснением каждого шага.
- Сформировать представление о связи параллельных прямых, пропорционального деления отрезков и подобия треугольников.
- Научить применять теорему Фалеса и признаки подобия при решении геометрических задач и задач практического содержания.
- Развивать умение выдвигать гипотезу, проверять её по чертежу, аргументировать выводы в парной и групповой работе.
- Воспитывать ответственное отношение к совместной деятельности, точность построений и интерес к применению геометрии в архитектуре, картографии и инженерии.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность геометрических закономерностей для измерений, проектирования и строительства.
- Проявляют познавательный интерес к доказательству утверждений и готовность проверять собственные гипотезы.
- Принимают ответственность за результат парной и групповой работы.
- Развивают уверенность в возможности решить задачу через построение модели и последовательное рассуждение.
Метапредметные
- Выделяют условие, искомые величины и связи между элементами чертежа.
- Планируют решение, выбирая подходящий признак подобия или теорему о пропорциональных отрезках.
- Сравнивают результаты измерений, выявляют закономерность и формулируют вывод.
- Аргументируют ответ в диалоге, используют электронную модель чертежа и проверяют вычисления.
Предметные
- Знать формулировки теоремы Фалеса и теоремы о пропорциональных отрезках.
- Понимать условие применения теорем: наличие параллельных прямых и пересекающих их прямых.
- Уметь составлять пропорции по чертежу и находить неизвестный отрезок.
- Уметь распознавать подобные треугольники по двум углам, по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, по трём пропорциональным сторонам.
- Владеть алгоритмом решения задач на подобие треугольников и выполнять проверку результата.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в достижение цели группы и оценивают собственную успешность.
- Связывают изучаемое понятие с профессиями архитектора, геодезиста, дизайнера и инженера.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания и способа представления творческого решения.
- Осознают значение точности, доказательности и взаимопомощи в математической работе.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель на основе проблемного вопроса и планируют последовательность действий.
- Контролируют соответствие пропорции условию задачи и исправляют обнаруженные ошибки.
- Сверяют решение с эталоном, оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
- Выбирают обязательный или повышенный уровень задания с учётом собственных возможностей.
Познавательные УУД
- Извлекают информацию из чертежа, таблицы измерений и динамической модели.
- Устанавливают причинно-следственную связь между параллельностью прямых и пропорциональностью отрезков.
- Моделируют ситуацию с помощью чертежа и математической пропорции.
- Сравнивают признаки подобия и выбирают достаточный признак для доказательства.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в группе: чертёжник, вычислитель, докладчик и контролёр.
- Задают уточняющие вопросы и формулируют доказательство полными предложениями.
- Аргументированно защищают групповое решение и корректно относятся к иной гипотезе.
- Используют математическую речь: параллельные прямые, пропорциональные отрезки, подобные треугольники.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную модель с двумя секущими и несколькими параллельными прямыми, которые можно перемещать.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: зелёные обязательные, жёлтые повышающие и синие творческие — по одной на каждого ученика.
- Подготовить на каждую парту линейку, карандаш и лист с двумя чертежами для измерений.
- Распечатать групповые листы с таблицей «Дано — Наблюдаем — Гипотеза — Вывод» — по одному на группу из четырёх человек.
- Вывести на доску проблемный вопрос: «Почему параллельные прямые делят пересекающие их прямые пропорционально?»
- Подготовить слайд с формулировками трёх признаков подобия треугольников и слайд-эталон для самопроверки.
- Подготовить проектор, компьютер, интерактивную доску и доступ к ЭОР с динамическим геометрическим чертежом.
- Подготовить цветные карточки для приёма «Светофор» и стикеры для рефлексии.
- Разместить на столах групп карточки ролей и мини-кейс о применении подобия при измерении высоты объекта без непосредственного подъёма к нему.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность, создать проблемную ситуацию и обозначить практическую ценность темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто решать задачи, а попробуем сыграть роль геодезистов. Представьте, что вам нужно узнать высоту школьного здания, но подойти к нему нельзя. Какие измерения могли бы помочь? Запишите одну гипотезу на стикере." | Записывают индивидуальную гипотезу, например: "Можно использовать тень", "Можно построить треугольник и сравнить его с другим". |
2 мин | Учитель показывает на экране изображение здания, его тени и небольшого вертикального предмета: "Посмотрите на рисунок. Какие треугольники здесь могут оказаться связанными? Что должно быть одинаковым или пропорциональным? Сегодня мы проверим это с помощью параллельных прямых и подобных треугольников." Учитель объявляет работу в парах и группах. | Рассматривают модель, обсуждают с соседом 30 секунд и формулируют проблемный вопрос: "Почему отношения соответствующих отрезков могут быть равными?" |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели практическую задачу, в которой нельзя всё измерить напрямую. Чтобы решить её, сначала вспомним свойства параллельных прямых, а затем попробуем открыть новую закономерность."
Этап 2. Актуализация знаний и физкультминутка (5 мин)
Цель этапа: восстановить знания о параллельных прямых, углах и пропорции, подготовив их к открытию нового свойства.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует на доске две параллельные прямые и секущую: "Назовите признак, по которому можно доказать параллельность прямых. Какие углы образуются при пересечении параллельных прямых секущей?" Затем показывает пропорцию $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ и спрашивает: "Как найти неизвестный член пропорции?" | Отвечают: "Если соответственные углы равны или сумма односторонних углов равна 180 градусов, прямые параллельны"; "Используем основное свойство пропорции". Решают устно пример $\frac{x}{6}=\frac{4}{3}$ и называют $x=8$. |
1 мин | Учитель проводит физкультминутку: "Встаньте. Руками покажите две параллельные прямые. Наклоните одну руку — это секущая. Покажите вертикальные углы, затем вернитесь в исходное положение. Сделайте два спокойных вдоха и приготовьтесь к исследованию." | Выполняют движения, называют: "параллельные прямые", "секущая", "вертикальные углы", переключаются на работу. |
1 мин | Учитель уточняет: "Сегодня нам особенно понадобится умение читать чертёж. Если отрезки расположены на одной прямой, как мы обозначим их длины? Если две фигуры имеют одинаковую форму, но разный размер, как это называется?" | Отвечают: "Длинами отрезков обозначают буквами или числами"; "Такие фигуры называют подобными". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили параллельность, пропорции и понятие подобия. Теперь проверим на измерениях, возникает ли пропорция сама собой."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать цель исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт группам лист с двумя лучами из общей точки и тремя параллельными прямыми: "Измерьте на первом луче два соседних отрезка и на втором луче соответствующие отрезки. Сравните отношения. Пока не пытайтесь объяснить результат — зафиксируйте только данные." | В группах распределяют роли, измеряют отрезки, записывают в таблицу, например $AB=2$ см, $BC=3$ см, $A'B'=4$ см, $B'C'=6$ см, замечают равенство $\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}$. |
2 мин | Учитель задаёт проблемный диалог: "Совпадение могло быть случайным? Что изменится, если параллельные прямые передвинуть? Как сформулировать правило, которое объяснит все такие чертежи?" На доске фиксирует варианты учащихся и цель: "Установить и научиться применять связь параллельности и пропорциональности". | Формулируют гипотезу: "Параллельные прямые отсекают на двух секущих пропорциональные отрезки". Записывают цель урока и предлагают план: измерить, сформулировать, доказать или обосновать, применить. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Гипотеза появилась из измерений, но геометрия требует обоснования. Сейчас каждая группа исследует правило и подготовит объяснение для класса."
Этап 4. Открытие нового знания. Теорема Фалеса (10 мин)
Цель этапа: вывести и сформулировать теорему Фалеса, теорему о пропорциональных отрезках и установить их связь с подобием треугольников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель открывает динамическую модель: "Посмотрите на экран. Через две пересекающиеся прямые проведены несколько параллельных прямых. Я перемещаю одну из них, а вы наблюдаете за отношениями отрезков. Что остаётся неизменным?" Учитель меняет положение параллельной прямой и показывает таблицу измерений. | Наблюдают за ЭОР, сравнивают пары отрезков, формулируют: "Отношения соответствующих отрезков на двух секущих остаются равными". |
3 мин | Учитель подводит к формулировке: "Если несколько параллельных прямых пересекают стороны угла, то они отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки. Это теорема Фалеса. А если параллельные прямые пересекают стороны треугольника, то они отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки. Запишите формулировку и схему." | Записывают формулировку, обозначают на чертеже параллельные прямые и составляют пропорцию $\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}$. |
3 мин | Учитель показывает треугольник $ABC$, в котором $DE\parallel BC$: "Какие углы равны? Почему треугольники $ADE$ и $ABC$ подобны? Какое следствие получаем для сторон?" Учитель фиксирует на доске: $\triangle ADE\sim\triangle ABC$, $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$. | Отвечают: "Угол A общий, углы ADE и ABC равны как соответственные при параллельных прямых, углы AED и ACB также равны". Формулируют: "Треугольники подобны по двум углам" и записывают пропорцию. |
Запись в тетрадях
1. Теорема Фалеса: если несколько параллельных прямых пересекают стороны угла, то они отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки. 2. Если $DE\parallel BC$ в треугольнике $ABC$, то $\triangle ADE\sim\triangle ABC$ и $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$. 3. Подобные фигуры имеют равные соответствующие углы и пропорциональные соответствующие стороны.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы превратили наблюдение в теорему и увидели, что параллельность создаёт подобные треугольники. Теперь проверим, умеем ли мы использовать эту связь не только на экране, но и в задаче."
Этап 5. Первичное закрепление в группах «Геометрический патруль» (7 мин)
Цель этапа: научить применять теорему Фалеса и подобие по заданному чертежу, проговаривая каждый шаг решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объявляет игру: "Каждая группа получает маршрутный лист. Ваша задача — пройти три станции: распознать условие, составить пропорцию, объяснить выбор подобия. За точную запись группа получает балл, за объяснение — дополнительный балл." | Читают карточку, распределяют задания между участниками, отмечают на чертеже параллельные стороны и равные углы. |
3 мин | Учитель предлагает задачу: "В треугольнике $ABC$ проведён отрезок $DE$, причём $DE\parallel BC$, $AD=4$ см, $DB=6$ см, $AE=5$ см. Найдите $EC$. Объясните, почему составленная пропорция верна." Напоминает: "Сначала выпишите подобные треугольники, затем найдите соответствующие стороны." | Составляют $\triangle ADE\sim\triangle ABC$, находят $AB=10$ см, используют $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$: $\frac{4}{10}=\frac{5}{5+EC}$. Получают $EC=7{,}5$ см, записывают проверку. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь маршрутными листами с соседней группой. Проверьте наличие трёх элементов: условие параллельности, запись подобия, пропорция и ответ с единицами." | Проверяют работу по критериям, ставят две отметки: «верно» или «нужно уточнить», формулируют одно пожелание соседней группе. |
Эталон решения
Так как $DE\parallel BC$, углы $ADE$ и $ABC$ равны как соответственные, угол $A$ общий, значит, $\triangle ADE\sim\triangle ABC$. Имеем $AB=AD+DB=4+6=10$ см, $AC=AE+EC=5+EC$. По подобию $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$, поэтому $\frac{4}{10}=\frac{5}{5+EC}$. $4(5+EC)=50$, $20+4EC=50$, $EC=7{,}5$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В задаче мы не угадывали пропорцию, а обосновали её подобием треугольников. Теперь каждый самостоятельно выберет уровень и покажет, насколько уверенно владеет алгоритмом."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией и ИКТ-проверкой (7 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное применение изученных теорем и обеспечить самоконтроль.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "Зелёная карточка — обязательный уровень, жёлтая — повышенный, синяя — творческий. Выберите посильный вариант, но обязательно выполните его полностью. После решения отсканируйте QR-код или откройте ЭОР для проверки только результата." | Выбирают карточку и записывают в тетради номер уровня, чтобы осознанно оценить собственный выбор. |
4 мин | Учитель раздаёт задания. Зелёный вариант: при $DE\parallel BC$, $AD=3$ см, $DB=2$ см, $AE=6$ см, найти $EC$. Жёлтый вариант: доказать подобие двух треугольников по данным двум углам и найти неизвестную сторону. Синий вариант: придумать задачу о тени дерева и решить её. | Индивидуально строят или анализируют чертёж, записывают подобие, составляют пропорцию и получают ответ. Для творческого варианта создают условие, схему, решение и кратко объясняют практический смысл. |
2 мин | Учитель выводит на экран эталон: "Сверьте не только число, но и ход решения. Если ошибка, поставьте рядом знак вопроса и исправьте один конкретный шаг. Ошибка в пропорции — это сигнал ещё раз сопоставить соответствующие стороны." | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки цветной ручкой, ставят знак «+» при полном совпадении или формулируют причину затруднения. |
Эталон решения
Для зелёного варианта $AB=AD+DB=3+2=5$ см. Так как $DE\parallel BC$, $\triangle ADE\sim\triangle ABC$. Поэтому $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$, то есть $\frac{3}{5}=\frac{6}{6+EC}$. Получаем $3(6+EC)=30$, $18+3EC=30$, $EC=4$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "У каждого сегодня был свой маршрут, но общий алгоритм один: увидеть параллельность, установить подобие, сопоставить стороны, составить пропорцию и проверить ответ. Осталось понять, что именно стало вашим личным результатом."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (9 мин)
Цель этапа: осознать новое знание, оценить уровень его освоения и получить посильное задание для закрепления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете по чертежу составить пропорцию; жёлтую — если понимаете идею, но путаете соответствующие стороны; красную — если нужна помощь. Теперь на стикере завершите фразу: «Сегодня я понял...» или «Мне нужно повторить...»." | Поднимают карточки, заполняют стикер конкретной фразой, прикрепляют его к доске в сектор «Понял», «Уточню», «Нужна помощь». |
2 мин | Учитель возвращается к проблеме: "Как измерить высоту здания по тени? Какие треугольники будут подобны?" Выслушивает два ответа и связывает их с будущим домашним заданием. | Отвечают: "Нужно сравнить треугольник, образованный зданием и его тенью, с треугольником от небольшого предмета и его тени; углы при основании равны, значит, треугольники подобны". |
4 мин | Учитель объявляет домашнее задание: "Базовый уровень обязателен для всех, далее выберите один повышающий или дополнительный вариант. В записи обязательно должны быть чертёж, обоснование подобия, пропорция, вычисления и ответ." Учитель показывает таблицу вариантов на экране. | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы: "Как распознать теорему Фалеса? Как определить соответствующие стороны? Почему результат имеет единицу длины?" |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы сами открыли связь между параллельностью и пропорциональностью, а затем применили её в задачах. Ошибка в выборе соответствующих сторон исправляется внимательным чертежом. На следующем уроке мы продолжим решать задачи на подобие и применим его к измерению недоступных расстояний."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнено выбранное задание, построен или прочитан чертёж, обосновано подобие треугольников, правильно составлена пропорция, вычисления и ответ записаны с единицами измерения.
- «4» — способ решения выбран верно, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на понимание теоремы.
- «3» — распознано условие параллельности и начата верная пропорция, но допущены ошибки в установлении соответствующих сторон или доведении решения до ответа.
- Дополнительный балл получает группа, которая точно объяснила решение партнёрам и корректно указала место ошибки в чужой работе.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о связи параллельных прямых и пропорциональных отрезков? | Выявление осознания содержания теоремы Фалеса. |
Как вы определяете, какие стороны треугольников являются соответствующими? | Диагностика понимания порядка вершин и предупреждение типичной ошибки в пропорции. |
Какое задание оказалось для вас посильным, а какое потребовало помощи? | Определение субъективной сложности и планирование дифференциации. |
Где в жизни можно использовать подобные треугольники? | Проверка переноса предметного знания в практический и межпредметный контекст. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы работали как исследователи: сначала заметили закономерность, затем сформулировали теорему и проверили её в задаче. Главное — не просто получить число, а объяснить, почему появилась именно такая пропорция. Типичная ошибка — сопоставить несоответствующие стороны, поэтому всегда начинайте с порядка вершин подобных треугольников и аккуратного чертежа. На следующем уроке мы применим подобие для решения более сложных задач и практического измерения расстояний."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на теорему Фалеса и подобие треугольников: в каждой задаче определить подобные треугольники, составить пропорцию и найти неизвестный отрезок. | Закрепляет алгоритм распознавания параллельности, записи подобия и вычисления по пропорции; проверять наличие обоснования и единиц измерения. |
Средний (повышающий) | Решить 2 задачи практического содержания на определение высоты или расстояния по модели подобных треугольников, выполнить чертёж и записать пояснение каждого равенства. | Формирует функциональную математическую грамотность и перенос теоремы в реальную ситуацию; проверять соответствие модели условию. |
Продвинутый (дополнительный) | Создать собственную задачу о тени, карте, архитектурном чертеже или измерении ширины реки, где используется теорема Фалеса или подобие треугольников, и оформить полное решение. | Развивает творческое мышление, математическое моделирование и умение составлять корректное условие; проверять однозначность данных и доказательность решения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как звучит теорема Фалеса? Какое условие позволяет применить её? По какому признаку в сегодняшней схеме доказано подобие треугольников? Что нужно проверить перед записью пропорции?»
