Решение задач по теме «Теорема о пропорциональных отрезках»
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать конфигурации с пропорциональными отрезками и решать не менее трёх задач на применение теоремы, обосновывая каждый шаг решения.
- Сформулировать и применять теорему о пропорциональных отрезках при решении геометрических задач.
- Научиться выделять в условии параллельные прямые и соответствующие отрезки, строить пропорцию и находить неизвестную величину.
- Развивать умение анализировать чертёж, планировать решение, проверять результат и объяснять его одноклассникам.
- Воспитывать ответственность за точность геометрических построений, уважение к аргументированному мнению партнёра и готовность выбирать уровень сложности задания.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать практическую ценность пропорциональных зависимостей для черчения, проектирования и измерений.
- Проявлять познавательный интерес к поиску разных способов решения геометрической задачи.
- Принимать личную ответственность за точность вычислений и обоснованность вывода.
- Оценивать собственную готовность применять теорему в новой ситуации.
Метапредметные
- Извлекать информацию из условия и чертежа, преобразовывать её в математическую модель.
- Планировать последовательность решения и выбирать необходимый уровень задания.
- Сотрудничать в паре, формулировать вопрос и аргументированно защищать решение.
- Проверять правдоподобие ответа по условию и размеру отрезков.
Предметные
- Знать формулировку теоремы о пропорциональных отрезках и условия её применения.
- Уметь находить соответствующие отрезки на чертеже и составлять верную пропорцию.
- Уметь решать задачи на нахождение неизвестного отрезка и доказывать пропорциональность.
- Владеть алгоритмом анализа чертежа, записи пропорции, вычисления и проверки результата.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться уверенно применять теорему к чертежу.
- Осознают смысл математического обоснования, а не только получения числового ответа.
- Проявляют самостоятельность при выборе базового или повышенного задания.
- Развивают готовность корректно принимать замечания и исправлять ошибку.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель решения и составляют план действий по алгоритму.
- Контролируют соответствие составленной пропорции данным чертежа.
- Сверяют вычисления с эталоном и находят место собственной ошибки.
- Оценивают результат по критериям и определяют следующий шаг для улучшения.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки конфигурации с параллельными прямыми.
- Устанавливают соответствие между отрезками и моделируют условие с помощью пропорции.
- Сравнивают два способа составления пропорции и проверяют их равносильность.
- Применяют анализ, применение и оценку при решении задач разного уровня.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре по распределённым ролям: решающий и проверяющий.
- Задают уточняющие вопросы о выборе соответствующих отрезков.
- Аргументируют решение с использованием формулировки теоремы.
- Согласуют общий вариант ответа и уважительно обсуждают альтернативный способ.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с чертежами треугольника, двумя параллельными прямыми и обозначенными отрезками без готовых решений.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней: по одной карточке каждому ученику, всего по числу учащихся.
- Подготовить карточки для работы в парах с двумя вариантами задач — по одной на парту.
- Вывести на доску алгоритм: установить параллельность; выделить соответствующие отрезки; составить пропорцию; вычислить; проверить.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «нахожу соответствующие отрезки», «составляю пропорцию», «обосновываю решение».
- Распечатать эталоны решений для самопроверки — по одному на парту, перевёрнутой стороной вверх.
- Подготовить маркеры, листы формата А4 и стикеры для приёма «Подумай — обсуди в паре — поделись».
- Обеспечить проектор или интерактивную доску, доску и цветные мелки для выделения соответствующих отрезков.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в деятельность и показать практический смысл темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране чертёж строительной фермы с параллельными элементами: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто выполнять вычисления, а восстанавливать неизвестные размеры по известным. Представьте, что вы проверяете чертёж конструкции или масштабный план. Как можно найти недоступный отрезок, если измерить его напрямую нельзя?" | Готовят тетради и инструменты, рассматривают чертёж, предлагают: "Использовать известные размеры и их отношение". |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала подумайте самостоятельно, затем обсудите с соседом, почему параллельность может помочь сравнить отрезки. Не требуется сразу назвать теорему — важно высказать гипотезу." | 30 секунд размышляют, одну минуту обсуждают в парах, формулируют гипотезу: "При параллельных прямых соответствующие отрезки связаны одной пропорцией". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что геометрия позволяет находить недоступные размеры через отношения. Чтобы делать это обоснованно, вспомним необходимые факты и проверим, где возникает затруднение."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о пропорции, параллельных прямых и теореме о пропорциональных отрезках.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает чертёж: в треугольнике $ABC$ точки $D$ и $E$ лежат на $AB$ и $AC$, причём $DE \parallel BC$. "Назовите пары соответствующих отрезков. Какие углы равны? Почему треугольники $ADE$ и $ABC$ подобны?" Учитель выделяет пары отрезков разными цветами. | Показывают на чертеже $AD$ и $AB$, $AE$ и $AC$, $DE$ и $BC$; отвечают: "Углы равны по свойству параллельных прямых, треугольники подобны по двум углам". |
3 мин | Учитель предлагает мини-проверку: "Запишите пропорцию, которая связывает отрезки. Затем объясните, что означает равенство отношений $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$." Исправляет типичную ошибку: смешивание соответствующих и несоответствующих отрезков. | Записывают $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$, объясняют, что отношения соответствующих сторон равны, и отмечают ошибку в записи $\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{DE}$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что параллельность создаёт подобные треугольники и равенство соответствующих отношений. Теперь проверим, достаточно ли этих знаний, чтобы решить задачу без подсказки."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение в выборе соответствующих отрезков и сформулировать план решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточку: в треугольнике $ABC$ проведён отрезок $DE \parallel BC$, $AD=4$ см, $DB=6$ см, $AE=6$ см. "Найдите $EC$. Запишите не только число, но и объяснение, почему именно такую пропорцию вы выбрали." | Индивидуально составляют возможную пропорцию, часть учащихся записывает $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$, часть ошибочно использует $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{EC}$. |
2 мин | Учитель просит сравнить записи: "Почему ответы могут различаться? Каких данных нам не хватает в одной из пропорций? Сформулируйте цель урока и общий алгоритм." | Сравнивают решения, находят, что $AB=AD+DB=10$ см; формулируют цель: "Научиться правильно выделять соответствующие отрезки и решать задачи по теореме". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение возникло не в самом вычислении, а в чтении чертежа и выборе отношений. Сейчас мы вместе выведем надёжный алгоритм, который поможет избежать этой ошибки."
Этап 4. Открытие нового знания и разбор алгоритма (9 мин)
Цель этапа: открыть и зафиксировать алгоритм решения задач на пропорциональные отрезки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель возвращается к задаче и говорит: "Сначала определяем, какие треугольники подобны. Затем выбираем отрезки, расположенные одинаково: малая часть к малой части или весь отрезок к всему отрезку. На доске запишем $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$, поскольку боковые стороны разделены параллельным отрезком." Учитель показывает соответствующие пары цветом. | Записывают алгоритм, сопоставляют $AD$ с $AE$, а $DB$ с $EC$, объясняют выбор отношений. |
3 мин | Учитель пошагово решает задачу: "Подставляем данные: $\frac{4}{6}=\frac{6}{x}$. Перемножаем крест-накрест: $4x=36$, поэтому $x=9$ см. Проверяем: отношение $4:6$ равно $6:9$, значит ответ согласуется с теоремой." | Следят за записью, проговаривают шаги: "Составили пропорцию, перемножили крайние и средние члены, нашли неизвестное, выполнили проверку". |
2 мин | Учитель предлагает альтернативу: "Можно сначала найти весь отрезок $AC=6+x$, а затем использовать $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$. Какое уравнение получится? Сравните способы и выберите более удобный для этой задачи." | Записывают $\frac{4}{10}=\frac{6}{6+x}$, получают $40=36+6x$, откуда $x=\frac{2}{3}$ — обнаруживают, что такая запись не соответствует данной конфигурации и обсуждают ошибку в сопоставлении частей. |
Запись в тетрадях
- Если в треугольнике $ABC$ точки $D\in AB$, $E\in AC$ и $DE\parallel BC$, то $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$.
- Алгоритм: установить параллельность; определить соответствующие отрезки; составить пропорцию; решить её; проверить размер и смысл ответа.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть не просто формула, а последовательность действий. Проверим её на новой задаче сначала вместе, а затем вы попробуете действовать самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить составление пропорции и решение задачи с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточку: в треугольнике $ABC$ $DE\parallel BC$, $AD=5$ см, $DB=3$ см, $AE=10$ см. "Найдите $EC$. Один ученик составляет пропорцию и решает, второй проверяет соответствие отрезков и вычисления. Через минуту поменяйтесь ролями." | Работают в парах, записывают $\frac{5}{3}=\frac{10}{x}$, получают $5x=30$, $x=6$ см; проверяющий отмечает наличие обоснования. |
3 мин | Учитель приглашает одну пару к доске: "Объясните не только вычисление, но и почему $AD$ соответствует $AE$, а $DB$ — $EC$. Остальные сравнивают запись с решением на доске." | Представитель пары объясняет выбор соответствующих отрезков, остальные проверяют записи и при необходимости исправляют обозначения. |
2 мин | Учитель проводит «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если можете составить пропорцию по чертежу, жёлтую — если нужна подсказка, красную — если пока не получается. По цвету выберите следующий уровень карточки." | Показывают карточку, фиксируют личное затруднение и выбирают базовое или повышенное задание. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы убедились, что правильная пропорция рождается из соответствия отрезков, а не из случайного подбора чисел. Теперь каждый проверит собственную самостоятельность."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение алгоритмом на заданиях разного уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки по выбору. Базовый уровень: $DE\parallel BC$, $AD=6$ см, $DB=4$ см, $AE=9$ см, найти $EC$. Повышенный уровень: $DE\parallel BC$, $AD=8$ см, $AB=12$ см, $AE=10$ см, $AC=15$ см; определить, могут ли данные соответствовать теореме. "Запишите чертёж, условие, пропорцию, решение и ответ. Повышенный вариант требует проверки согласованности данных." | Индивидуально решают выбранное задание. В базовом варианте получают $\frac{6}{4}=\frac{9}{x}$, $x=6$ см. В повышенном проверяют $\frac{AD}{AB}=\frac{8}{12}=\frac23$ и $\frac{AE}{AC}=\frac{10}{15}=\frac23$, делают вывод: данные согласованы. |
2 мин | Учитель открывает эталон: "Проверьте пять пунктов: чертёж, соответствующие отрезки, пропорция, вычисления, ответ с единицами. Не исправляйте сразу — сначала обведите место расхождения." | Сверяют решение с эталоном, отмечают совпадения и одну ошибку или сильную сторону. |
2 мин | Учитель предлагает взаимопроверку по критериям: "Поставьте партнёру две звезды за корректные действия и одно пожелание. Пожелание должно быть конкретным: например, ‘укажи, почему отрезки соответствующие’." | Обмениваются работами, записывают две сильные стороны и один конкретный совет, затем исправляют найденную ошибку. |
Эталон решения
Для базового задания: $DE\parallel BC$, поэтому $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$. Подставляем данные: $\frac{6}{4}=\frac{9}{x}$. Перемножаем крест-накрест: $6x=36$. Отсюда $x=6$ см. Проверка: $6:4=9:6=1{,}5$, ответ положителен и сопоставим с данным отрезком.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что большинство уже умеет переводить чертёж в пропорцию. Важно помнить: даже верное число без объяснения не раскрывает геометрическую причину. Завершим урок проверкой того, что именно стало вашим новым умением."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осознать результат обучения, зафиксировать затруднения и выбрать посильное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт лист самооценки: "Закончите три фразы: ‘Я научился…’, ‘Теперь я проверяю…’, ‘Мне нужно потренировать…’. Затем ответьте на билет на выход: почему нельзя составлять пропорцию, не установив соответствие отрезков?" | Заполняют лист, формулируют: "Нужно сопоставлять малую часть с малой частью или весь отрезок с целым"; сдают билет при выходе. |
1 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Какое условие чаще всего запускает теорему? Какой первый шаг после чтения задачи? Как проверить найденный отрезок?" | Отвечают: "Параллельность прямых; выделить соответствующие отрезки; подставить результат и проверить пропорцию и смысл ответа". |
2 мин | Учитель предлагает три уровня домашнего задания и говорит: "Выберите уровень честно, ориентируясь на свою самооценку. Продвинутый уровень — возможность проверить себя, а не обязательное соревнование." | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы, уточняют условия задания. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены обе части выбранной карточки или базовая задача с полным обоснованием; соответствующие отрезки определены правильно, пропорция и вычисления записаны корректно, выполнена проверка ответа.
- «4» — решение по существу верное, но допущена одна неточность в чертеже, оформлении или проверке, не повлиявшая на найденное значение.
- «3» — правильно определена конфигурация и начата пропорция, но допущена вычислительная или логическая ошибка, либо отсутствует полное обоснование.
- Ниже «3» — соответствие отрезков не определено или пропорция составлена неверно; требуется повторить алгоритм на базовом уровне с помощью учителя.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что является первым шагом при решении задачи на пропорциональные отрезки? | Проверка понимания алгоритма и предупреждение механического составления пропорции. |
Как ты определяешь, какие отрезки являются соответствующими? | Выявление качества чтения чертежа и понимания геометрической конфигурации. |
На каком этапе решения сегодня возникло затруднение? | Выявление точек затруднения: анализ чертежа, пропорция или вычисления. |
Какой уровень домашнего задания ты выбираешь и почему? | Формирование самооценки, ответственности и осознанного выбора сложности. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы увидели, что теорема о пропорциональных отрезках превращает геометрический чертёж в понятную математическую модель. Самая частая ошибка — записать пропорцию, не проверив соответствие отрезков, поэтому всегда начинайте с анализа параллельности и частей фигуры. Вы научились выбирать уровень задания и проверять не только число, но и обоснование. На следующем уроке мы продолжим применять подобные зависимости в более сложных конфигурациях и рассмотрим задачи, где нужно самостоятельно достраивать чертёж.»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на нахождение неизвестного отрезка в треугольнике с проведённым параллельным отрезком; в каждой задаче записать условие теоремы, пропорцию и проверку ответа. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на соответствие отрезков, единицы измерения и запись вывода. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи, в которых нужно сначала найти целый отрезок как сумму частей, а затем применить пропорцию; одну задачу оформить с подробным комментарием каждого шага. | Развивает планирование и переход между частью и целым; проверить обоснование выбора пропорции. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу с чертежом и параллельными прямыми, подобрать четыре числовых данных, решить её двумя способами и объяснить, почему способы равносильны. | Формирует умение создавать математическую модель, оценивать корректность данных и аргументировать решение. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какое условие позволяет применить теорему о пропорциональных отрезках? Как найти соответствующие отрезки? Что необходимо сделать после вычисления неизвестного? Чем отличается пропорция для частей от пропорции для целых отрезков?»
