Взаимное расположение сферы и плоскости; касательная плоскость к сфере; площадь сферы
Введите текст…
Цели и задачи
- Цель: Сформировать представление о трех случаях взаимного расположения сферы и плоскости, вывести условие касания плоскости и сферы, изучить формулу площади сферы и научиться применять её при решении задач.
- Образовательные задачи: изучить зависимость количества общих точек сферы и плоскости от расстояния между центром сферы и плоскостью; дать определение касательной плоскости и точки касания; вывести и закрепить формулу площади сферы S = 4πR².
- Развивающие задачи: развивать пространственное мышление и навыки математического моделирования через работу с динамической геометрической средой (GeoGebra); формировать умение сравнивать и проводить аналогии между планиметрией и стереометрией.
- Воспитательные задачи: способствовать формированию навыков командной работы в парах; повышать осознанное отношение к обучению через демонстрацию практической значимости темы в архитектуре и астрономии.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории с учетом профиля обучения (инженерный, архитектурный).
- Критичность мышления, умение отличать гипотезу от доказанного факта.
- Способность к самооценке на основе критериев успешности учебной деятельности.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать аналогии между объектами на плоскости и в пространстве; использование ИКТ-инструментов для визуализации математических закономерностей.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество в паре, аргументированно отстаивать свою точку зрения.
- Регулятивные: способность ставить новые учебные цели и задачи, планировать пути их достижения в условиях решения проблемных ситуаций.
Предметные
- Знать три случая расположения сферы и плоскости в зависимости от соотношения d и R.
- Уметь формулировать и доказывать свойство касательной плоскости к сфере.
- Владеть формулой площади поверхности сферы и уметь применять её в стандартных и комбинированных задачах, включая задания формата ЕГЭ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование научного мировоззрения, соответствующего современному уровню развития геометрической науки.
- Развитие навыков самоконтроля и ответственности за результат коллективного труда.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Оценка — выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще нужно усвоить.
Познавательные УУД
- Моделирование пространственных ситуаций с помощью чертежей и программных средств.
- Анализ объектов с целью выделения существенных признаков (касание, пересечение).
Коммуникативные УУД
- Умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем.
- Владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить модель сферы (глобус или мяч) и плоский лист картона для демонстрации.
- Создать в GeoGebra динамическую модель «Сфера и плоскость», где можно менять расстояние d и радиус R.
- Распечатать карточки для парной работы «Исследование сечений и касания» (15 экземпляров).
- Проверить работоспособность мультимедийного проектора и ноутбука.
- Подготовить таблицу-памятку с формулами тел вращения для актуализации знаний.
- Выписать на доску номера задач из учебника (например, Атанасян, 10-11 кл): №578, №580, №593.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологически настроить учащихся на работу, создать проблемную ситуацию через межпредметную связь с географией.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, одиннадцатиклассники! Сегодня мы продолжаем изучать самый совершенный объект в геометрии — сферу. Прежде чем мы перейдем к теории, посмотрите на экран. Перед вами фотография заката на море. Мы видим, как солнце касается линии горизонта. Если представить солнце как сферу, а поверхность моря как плоскость, что мы можем сказать об их взаимном расположении в этот миг?» | Приветствуют учителя, настраиваются на урок. Рассматривают изображение, отвечают: «Они имеют одну общую точку», «Плоскость касается сферы». |
2 мин | «Верно. Это явление мы называем горизонтом. Но всегда ли плоскость и сфера имеют одну точку? Представьте, что корабль уходит за горизонт или, наоборот, мы смотрим на летящий в небе мяч. Сегодня наша задача — математически описать все возможные случаи взаимодействия сферы и плоскости, вывести формулу площади поверхности сферы и понять, как эти знания помогут вам на экзаменах и в жизни». | Слушают учителя, записывают тему урока в тетради: «Взаимное расположение сферы и плоскости. Площадь сферы». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели визуальный образ. Теперь давайте перейдем от образов к строгим геометрическим фактам и вспомним то, что нам уже известно из планиметрии».
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (5 мин)
Цель этапа: повторить теорию о взаимном расположении прямой и окружности, провести аналогию с пространством.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Ребята, вспомните 9 класс. У нас есть окружность радиуса R и прямая, удаленная от центра на расстояние d. Какие три случая расположения вы помните? При каком условии прямая является касательной?» Учитель рисует на доске схему окружности и прямой. | Отвечают: «Если d < R, то две точки пересечения (секущая); если d = R, то одна точка (касательная); если d > R, то общих точек нет». |
2 мин | «Отлично. А теперь перенесем это в пространство. Замените слово 'окружность' на 'сфера', а 'прямая' на 'плоскость'. Как вы думаете, сохранятся ли эти условия? Можем ли мы утверждать, что при d < R пересечением будет тоже две точки? В этом и заключается наше затруднение: интуиция подсказывает одно, а геометрия требует доказательств». | Ученики высказывают гипотезы: «Наверное, при d < R будет не две точки, а много», «Скорее всего, получится круг». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Ваши гипотезы интересны. Чтобы их проверить, давайте воспользуемся компьютерным моделированием и проведем небольшое исследование».
Этап 3. Открытие нового знания (ИКТ-исследование) (12 мин)
Цель этапа: с помощью динамической геометрии доказать теорему о сечении сферы плоскостью и изучить понятие касательной плоскости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель выводит на экран окно GeoGebra с 3D-сценой. «Смотрите, я меняю положение плоскости относительно центра сферы. Когда d < R, что вы видите в месте пересечения? Я разверну модель, чтобы вы увидели срез. Что это за фигура?» Учитель демонстрирует, что сечение сферы плоскостью есть окружность. | Наблюдают за экраном. Отвечают: «Это окружность!». Один ученик комментирует: «Если плоскость проходит через центр, то окружность самая большая». |
4 мин | «Запишем теорему: Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность. Радиус этой окружности r вычисляется по теореме Пифагора: r = √(R² - d²). А теперь посмотрите, что происходит, когда d становится равным R». Учитель совмещает плоскость с поверхностью сферы. | Делают чертеж в тетради (сфера, плоскость, прямоугольный треугольник с катетами d, r и гипотенузой R). Записывают формулу r = √(R² - d²). |
3 мин | «Когда d = R, плоскость имеет со сферой только одну общую точку. Такая плоскость называется касательной. Запишем определение: Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере. Сформулируем свойство: Касательная плоскость перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания». | Записывают определение и свойство. Один ученик у доски записывает кратко: α ⊥ OR, где R — точка касания. |
Запись в тетрадях
- 1) d < R: плоскость пересекает сферу по окружности радиуса r = √(R² - d²).
- 2) d = R: плоскость касается сферы (1 общая точка).
- 3) d > R: плоскость и сфера не имеют общих точек.
- Определение: Касательная плоскость α ⊥ OR (R — точка касания).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы разобрались с геометрией расположения. Но сфера — это еще и поверхность. Как вычислить её площадь? Архимед считал это своим величайшим открытием».
Этап 4. Формула площади сферы (5 мин)
Цель этапа: ввести формулу площади сферы, дать интуитивное обоснование через площадь боковой поверхности описанного цилиндра.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Строгий вывод формулы площади сферы требует методов интегрального исчисления, которые мы изучим позже. Но Архимед доказал, что площадь сферы равна площади боковой поверхности описанного вокруг неё цилиндра. Радиус цилиндра R, высота 2R. Вспомните формулу S_бок цилиндра = 2πRh. Подставьте h = 2R. Что получится?» Учитель записывает вывод на доске. | Вычисляют в тетрадях: 2πR * 2R = 4πR². Записывают в рамку: S = 4πR². |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Запомните: площадь сферы в 4 раза больше площади её большого круга. Теперь применим наши знания на практике».
Этап 5. Первичное закрепление (парная работа) (7 мин)
Цель этапа: отработка навыков решения задач на взаимное расположение и площадь в парах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | «Работаем в парах. У вас на столах карточки. Задача 1: Сфера радиуса 13 см пересечена плоскостью на расстоянии 5 см от центра. Найдите площадь получившегося сечения. Задача 2: Во сколько раз увеличится площадь поверхности воздушного шара, если его радиус увеличить в 3 раза? Обсуждайте решение, помогайте друг другу». | Обсуждают задачи в парах. Решают в тетрадях. Для задачи 1 находят r = √(13² - 5²) = 12, затем S_сеч = π * 12² = 144π. Для задачи 2 используют свойство: если линейные размеры растут в k раз, площадь растет в k² раз (3² = 9). |
Эталон решения (Задача 1)
1. Дано: R = 13, d = 5.
2. r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}.
3. S_{\text{круга}} = \pi r^2 = \pi \cdot 12^2 = 144\pi \text{ см}^2.
2. r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}.
3. S_{\text{круга}} = \pi r^2 = \pi \cdot 12^2 = 144\pi \text{ см}^2.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Молодцы, пары справились. Обратите внимание на вторую задачу — это типичный вопрос из первой части ЕГЭ по профильной математике».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения материала.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | «Теперь индивидуально. Решаем задачу из учебника №580. Площадь сферы равна 225π см². Найдите расстояние от центра сферы до плоскости, если радиус сечения равен 9 см. Время пошло». | Самостоятельно решают задачу. Ход решения: 1) 4πR² = 225π => R² = 56.25 => R = 7.5. Стоп, ошибка в условии или расчетах? Пересчитывают: R² = 225/4 = 56.25, R = 7.5. Если r = 9, а R = 7.5, то d не существует (сечения нет). Ученики фиксируют противоречие. |
2 мин | «Вижу замешательство. В чем дело? Правильно, если r > R, плоскость не может пересекать сферу. Это была проверка вашей внимательности! А теперь измените условие: площадь сферы 400π. Найдите d». | Корректируют решение: R = 10, r = 9, d = √(10² - 9²) = √19 см. Проверяют ответ по эталону на слайде. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Математика не прощает невнимательности к условиям d < R. Всегда проверяйте, возможно ли такое сечение».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, оценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Наш урок подходит к концу. Давайте вспомним, какие цели мы ставили? Удалось ли их достичь? Заполните короткий лист самооценки: что было легко, а где пришлось задуматься?» | Заполняют листы самооценки, отвечают на вопросы учителя. Формулируют вывод о связи формул площади и условий касания. |
2 мин | «Запишите домашнее задание. Оно дифференцированное. Обратите внимание на задачу со звездочкой — она потребует знаний из физики об угле падения света». | Записывают домашнее задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены обе задачи в паре, самостоятельно решена задача №580 (с учетом исправления), даны верные ответы на вопросы учителя.
- «4» — задачи в паре решены верно, в самостоятельной работе допущена вычислительная ошибка, но алгоритм верный.
- «3» — решена только одна задача в паре, самостоятельная работа выполнена частично, требуется помощь учителя.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какая связь между радиусом сферы, радиусом сечения и расстоянием до плоскости? | Проверка усвоения ключевой формулы r = √(R² - d²). |
В чем отличие касательной плоскости от секущей на языке расстояний? | Закрепление условий d = R и d < R. |
Где в реальной жизни мы можем встретить касательную плоскость к сфере? | Оценка способности к межпредметному переносу знаний (география, физика). |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы с вами не просто выучили формулы, мы научились видеть геометрию в окружающем мире — от заката солнца до футбольного мяча. Сфера — это уникальная фигура, обладающая минимальной площадью при максимальном объеме, именно поэтому она так важна в природе и технике. На следующем уроке мы перейдем к вычислению объема шара, и вам очень пригодится сегодняшняя формула площади. Спасибо за работу, вы сегодня были настоящими исследователями!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, №578, №579 | Задачи на прямое применение формулы площади сферы и нахождение радиуса сечения. |
Средний (повышающий) | ЕГЭ Профиль, задание №3 (Стереометрия) | Решить 3 задачи из открытого банка ФИПИ на комбинацию сферы с кубом или цилиндром. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание | Подготовить краткое сообщение или презентацию (3-4 слайда) на тему «Золотое сечение и сфера в архитектуре» или «Расчет площади поверхности Луны». |
Контрольный вопрос: «Как изменится площадь сферы, если её радиус уменьшить в 2 раза?» (Ответ: уменьшится в 4 раза).