Призма. Параллелепипед. Свойства призмы и параллелепипеда
Цели и задачи
- Цель: К концу урока учащиеся смогут классифицировать виды призм, формулировать свойства параллелепипеда и применять формулу квадрата диагонали прямоугольного параллелепипеда для решения задач.
- Образовательные: Изучить понятия прямой, наклонной и правильной призмы; рассмотреть свойства граней и ребер параллелепипеда.
- Развивающие: Развивать пространственное воображение и навыки работы с учебной литературой в процессе исследования свойств фигур.
- Воспитательные: Формировать осознанное отношение к изучению геометрии через демонстрацию её применения в архитектуре и инженерии.
- Методические: Обеспечить подготовку к решению заданий по стереометрии в формате ЕГЭ.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование готовности к саморазвитию и осознанному выбору будущей профессии (инженер, архитектор, дизайнер).
- Развитие критического мышления и умения аргументированно отстаивать свою точку зрения в дискуссии.
- Умение управлять своим эмоциональным состоянием в условиях подготовки к экзаменам.
Метапредметные
- Познавательные: умение выделять существенные признаки геометрических тел, устанавливать аналогии между планиметрией и стереометрией.
- Регулятивные: способность ставить учебные цели, планировать алгоритм решения задачи и проводить самооценку результатов.
- Коммуникативные: навыки эффективного сотрудничества в парах при выполнении исследовательских заданий.
Предметные
- Знать определения призмы, параллелепипеда, их элементов (основания, боковые грани, ребра, диагонали).
- Уметь различать прямые и наклонные призмы, выделять свойства прямоугольного параллелепипеда.
- Владеть навыком вычисления диагоналей параллелепипеда по трем его измерениям.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: понимание значимости стереометрии для описания объектов реального мира.
- Нравственно-этическая ориентация в рамках совместной деятельности.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что предстоит освоить.
- Контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном.
Познавательные УУД
- Поиск и выделение необходимой информации в тексте учебника.
- Построение логической цепи рассуждений при доказательстве свойств параллелепипеда.
Коммуникативные УУД
- Инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить набор моделей многогранников: наклонная призма, прямая пятиугольная призма, прямоугольный параллелепипед, куб.
- Распечатать карточки для работы в парах с заданиями уровней А, B, C (15 комплектов).
- Подготовить презентацию с изображениями архитектурных объектов (небоскреб «Мэри-Экс», жилые дома-коробки, кристаллы пирита).
- Проверить наличие в кабинете чертежных инструментов для работы у доски.
- Открыть учебник Л.С. Атанасяна «Геометрия 10-11» на странице 60.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологически настроить учащихся на работу, обозначить практическую значимость темы в контексте будущей профессии и ЕГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, коллеги! Да-да, именно коллеги, ведь в 11 классе мы уже почти профессионалы. Сегодня мы приступаем к изучению одного из самых распространенных в природе и технике тел — призмы. Посмотрите на экран. Здесь и небоскребы Нью-Йорка, и кристаллы солей, и даже упаковка вашего утреннего молока. Все это — призмы. Наша задача сегодня — понять, как они устроены, чтобы в будущем вы могли их строить, проектировать или хотя бы безошибочно решать задачи №2 и №3 из профильного ЕГЭ». | Приветствуют учителя, настраиваются на работу, рассматривают слайды с архитектурными объектами. |
2 мин | «Прежде чем мы начнем "открывать" новые свойства, давайте проверим, насколько прочен наш фундамент. На столах у вас лежат листы самооценки, подпишите их. Сегодня каждый ваш успех будет зафиксирован». | Подписывают листы самооценки, готовятся к опросу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу, что настрой боевой. Переходим к проверке наших теоретических запасов».
Этап 2. Актуализация знаний. Теоретический опрос (5 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о многоугольниках и параллельности плоскостей, необходимые для введения понятия призмы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит блиц-опрос по приему «Верю — не верю»: «1. Верите ли вы, что у параллелограмма диагонали равны? 2. Верите ли вы, что если две плоскости параллельны, то любая прямая одной плоскости параллельна другой плоскости? 3. Верите ли вы, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусам? 4. Верите ли вы, что две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны?» | Ученики сигнализируют карточками (зеленая — верю, красная — не верю). Кратко комментируют ответы: «1. Нет, только у прямоугольника», «2. Да, по свойству параллельных плоскостей», «3. Да», «4. Да, это признак параллельности прямых». |
2 мин | «Отлично. А теперь вспомним определение многогранника. Кто может сказать, чем отличается выпуклый многогранник от невыпуклого?» | Отвечают: «Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой его грани». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Фундамент готов. Теперь давайте построим на нем здание новой темы».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: создать ситуацию затруднения, мотивирующую к изучению нового материала.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует две модели: прямую призму и наклонную призму. «Ребята, перед вами два тела. Оба они называются призмами. Посмотрите на их боковые грани. Чем они отличаются? Можем ли мы дать одно общее определение для этих тел, исходя из их строения?» | Сравнивают модели. Замечают: «У одной грани — прямоугольники, у другой — параллелограммы. Но основания у обоих — равные многоугольники». |
2 мин | «Верно. Но как именно должны быть расположены эти основания? И какими свойствами обладают боковые ребра? Сегодня вы сами сформулируете эти правила. Запишем тему урока: "Призма. Параллелепипед"». | Записывают тему в тетрадь. Формулируют цель: «Узнать свойства призмы и научиться решать задачи с ними». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, план исследования: 1. Дать определение. 2. Изучить свойства. 3. Проверить их на практике».
Этап 4. Открытие нового знания. Исследовательская работа (10 мин)
Цель этапа: через работу с учебником и моделями в парах самостоятельно вывести свойства призмы и параллелепипеда.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель организует pair work: «Работаем в парах. Откройте учебник на стр. 60-63. Первая группа (ряды 1-2) исследует общее понятие призмы и свойства её боковых ребер. Вторая группа (ряд 3) — свойства параллелепипеда. Заполните в тетрадях пропуски в тезисах, которые я вывел на экран». На экране тезисы: 1. Основания призмы лежат в... 2. Боковые ребра призмы... 3. У параллелепипеда противоположные грани... 4. Диагонали параллелепипеда... | Работают в парах с учебником. Обсуждают, ищут ответы. Записывают: «1. ...в параллельных плоскостях», «2. ...параллельны и равны», «3. ...параллельны и равны», «4. ...пересекаются в одной точке и делятся ею пополам». |
5 мин | Учитель просит представителей пар озвучить результаты. Демонстрирует на моделях элементы, о которых говорят дети. «А теперь особый случай — прямоугольный параллелепипед. Вспомните теорему Пифагора. Как вы думаете, как найти диагональ этого тела, если мы знаем его длину, ширину и высоту?» | Предполагают, проводят аналогию с плоским случаем. Один ученик у доски пытается вывести формулу $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$, используя прямоугольные треугольники внутри фигуры. |
Запись в тетрадях
- Призма — многогранник, два основания которого — равные многоугольники в параллельных плоскостях, а боковые ребра параллельны.
- Свойства: 1) Основания равны; 2) Боковые ребра равны и параллельны; 3) Боковые грани — параллелограммы.
- Параллелепипед: диагонали пересекаются в одной точке и делятся пополам.
- Для прямоугольного параллелепипеда: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$ (связь с теоремой Пифагора).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли основные законы мира призм. Но чтобы мозг работал лучше, нужно дать телу разминку».
Этап 5. Физкультминутка — Fitness (2 мин)
Цель этапа: снять мышечное напряжение, переключить внимание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Встаньте, пожалуйста. Давайте представим, что мы — ребра призмы. Вытяните руки вверх — мы параллельны и равны! А теперь наклонитесь вправо — мы стали наклонной призмой. Вернитесь в центр — мы снова прямая призма. Теперь опишите глазами в воздухе прямоугольник, а затем его диагонали. Поморгайте. Садитесь, продолжаем работу». | Выполняют упражнения, следуя командам учителя. |
Этап 6. Первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: отработать применение новых знаний на базовых задачах из учебника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | «Откройте учебник на стр. 68, задача №229 (а). Нам нужно найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения 1, 2, 2. Кто хочет попробовать у доски?» Учитель контролирует процесс, задает наводящие вопросы о единицах измерения и порядке возведения в квадрат. | Ученик у доски записывает Дано, Решение. Применяет формулу: $d^2 = 1^2 + 2^2 + 2^2 = 1 + 4 + 4 = 9$. Следовательно, $d = 3$. Класс записывает решение в тетради. |
Эталон решения
Задача №229(а): $a=1, b=2, c=2$. По формуле $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ получаем $d = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$. Ответ: 3.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Базовый уровень освоен. Теперь переходим к задачам, которые потребуют от вас большего мастерства».
Этап 7. Практикум. Дифференцированная работа (10 мин)
Цель этапа: закрепить материал через решение задач разной сложности, подготовить к ЕГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
10 мин | Учитель раздает карточки. «У вас на столах задания трех уровней. Уровень А — базовый (свойства ребер), Уровень В — средний (диагонали параллелепипеда), Уровень С — повышенный (задачи из открытого банка ЕГЭ профильного уровня). Выберите тот уровень, который вам сейчас по силам, но я призываю вас рискнуть и попробовать В или С. Работаем самостоятельно 7 минут, затем самопроверка по кодам на обратной стороне доски». | Ученики выбирают задания. Кто-то решает задачу на нахождение ребра куба по его диагонали, кто-то — задачу на свойства наклонной призмы. Работают сосредоточенно. Сверяют ответы с эталоном на доске. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу, многие справились с уровнем С. Это отличный показатель вашей готовности к экзамену».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознание учеником результатов своей деятельности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Наш урок подходит к концу. Заполните последнюю графу в листе самооценки. Поднимите руки те, кто сегодня чувствовал себя "архитектором", который полностью понимает конструкцию призмы. А теперь те, кому еще нужно подправить "чертежи" знаний? Домашнее задание на доске, обратите внимание на творческий пункт». | Заполняют листы самооценки. Записывают ДЗ. Уходя, оставляют на столе «Билет на выход» с ответом на вопрос: «Где в моей будущей профессии мне может встретиться параллелепипед?» |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Верно выполнены задания уровней А и В, или одно задание уровня С без ошибок. Чертежи выполнены аккуратно, с пунктирными невидимыми линиями.
- «4» — Верно выполнены задания уровня А и допущена одна негрубая ошибка в уровне В. Есть понимание формулы диагонали.
- «3» — Выполнены только задания уровня А. Ученик знает определения, но затрудняется в вычислениях.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство параллелепипеда показалось самым неочевидным? | Выявление зон затруднения в пространственном мышлении. |
Смогу ли я самостоятельно вывести формулу диагонали прямоугольного параллелепипеда? | Оценка уровня понимания логических связей (планиметрия-стереометрия). |
Где в реальной жизни мне пригодится знание о свойствах призмы? | Проверка осознанности межпредметных связей и мотивации. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы сделали важный шаг в изучении стереометрии. Мы не просто выучили формулы, мы увидели геометрию вокруг нас — от кристаллов до небоскребов. Помните, что любая сложная конструкция начинается с простых свойств, которые мы сегодня разобрали. На следующем уроке мы научимся вычислять площади поверхностей этих фигур. Спасибо за работу, вы сегодня были настоящей командой!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, п. 27-30, №218, №221 | Повторить определения, решить задачи на свойства ребер и граней. |
Средний (повышающий) | №230, №231 | Задачи на нахождение измерений параллелепипеда через диагонали. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание | Сделать модель правильной шестиугольной призмы из бумаги или найти и сфотографировать пример призмы в архитектуре вашего города, указав её вид. |
Контрольный вопрос: «Как изменится диагональ куба, если его ребро увеличить в 2 раза?»