Правильные многогранники. Теорема Эйлера
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока сформулировать и применить теорему Эйлера для выпуклых многогранников, проверить её выполнение для правильных многогранников и объяснить, почему существует только пять правильных многогранников.
- Сформировать представление о правильном многограннике как выпуклом многограннике, грани которого являются равными правильными многоугольниками и в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер.
- Вывести на основе исследовательской работы соотношение между числом вершин, рёбер и граней выпуклого многогранника: $В-Р+Г=2$.
- Научиться находить неизвестное число вершин, рёбер или граней многогранника по теореме Эйлера и проверять результат подстановкой.
- Развивать умение выдвигать гипотезы, работать с пространственной моделью, аргументировать выводы и связывать геометрические знания с историей математики и инженерными задачами.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к исследованию пространственных объектов и осознают ценность математического доказательства.
- Понимают значение геометрических моделей для архитектуры, кристаллографии, компьютерной графики и инженерного проектирования.
- Осознают личную ответственность за достоверность математического вывода и корректность проверки гипотезы.
- Проявляют готовность к самостоятельному выбору способа решения и к конструктивному обсуждению различных идей.
Метапредметные
- Извлекают информацию из чертежа, таблицы и пространственной модели, преобразуют её в математическую запись.
- Формулируют гипотезу о связи числа вершин, рёбер и граней и проверяют её на нескольких примерах.
- Планируют исследовательскую работу в группе, распределяют роли и фиксируют промежуточные результаты.
- Аргументируют вывод, сравнивают способы решения и осуществляют самопроверку по критериям.
- Используют цифровую визуализацию или интерактивную модель для анализа элементов многогранника.
Предметные
- Знать определение правильного многогранника и названия пяти правильных многогранников: тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра.
- Знать формулировку теоремы Эйлера для выпуклого многогранника: $В-Р+Г=2$.
- Уметь подсчитывать число вершин, рёбер и граней правильных многогранников по модели, чертежу или описанию.
- Уметь применять теорему Эйлера для нахождения неизвестного элемента многогранника и объяснять ограничения её применения.
- Уметь обосновывать, почему из условия правильности и выпуклости следует существование только пяти видов правильных многогранников.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личностный смысл изучения пространственной геометрии через связь темы с архитектурой, технологиями и будущей профессиональной деятельностью.
- Проявляют устойчивую учебно-познавательную мотивацию при решении исследовательской задачи.
- Оценивают собственный вклад в групповое открытие математического соотношения.
- Соблюдают интеллектуальную честность: различают наблюдение, гипотезу и доказанный вывод.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную задачу и формулируют ожидаемый результат исследования.
- Планируют последовательность действий: рассмотреть модель, подсчитать элементы, занести данные в таблицу, сравнить результаты.
- Контролируют правильность подсчёта вершин, рёбер и граней, используя разные способы проверки.
- Корректируют первоначальную гипотезу после сопоставления данных нескольких групп.
- Оценивают достижение цели по чек-листу и формулируют индивидуальное затруднение.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки правильного многогранника и отделяют их от второстепенных свойств.
- Сравнивают модели многогранников по числу граней, вершин и рёбер.
- Устанавливают закономерность между тремя количественными характеристиками выпуклого многогранника.
- Моделируют условие задачи с помощью схемы, таблицы и формулы.
- Используют теорему Эйлера для анализа нового многогранника и проверки непротиворечивости данных.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в группе: наблюдатель, счётчик, секретарь, докладчик.
- Формулируют уточняющие вопросы о способе подсчёта элементов модели.
- Аргументированно представляют групповой результат и отвечают на вопросы класса.
- Согласуют разные варианты подсчёта рёбер и разрешают противоречия на основе чертежа или формулы.
- Используют математическую терминологию: грань, ребро, вершина, выпуклый многогранник, правильный многогранник.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить пять объёмных моделей правильных многогранников или их развёртки: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр; при отсутствии моделей использовать крупные изображения с выделенными элементами.
- Распечатать исследовательские карточки пяти типов — по одной на группу, всего 5 карточек, с таблицей для подсчёта вершин, рёбер и граней.
- Подготовить индивидуальный лист самопроверки с формулировкой теоремы Эйлера и тремя короткими заданиями; распечатать по одному листу на каждого ученика.
- Вывести на экран изображения пяти правильных многогранников, проблемный вопрос «Почему их именно пять?» и таблицу для общего вывода.
- Записать на доске или подготовить слайд со шпаргалкой-напоминанием: «В — вершины, Р — рёбра, Г — грани; для выпуклого многогранника $В-Р+Г=2$».
- Подготовить цветные стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и по одному стикеру на каждого ученика.
- Организовать работу в пяти группах по 4–5 человек, заранее разложить модели и карточки на рабочих местах.
- Подготовить компьютер и проектор либо интерактивную модель многогранника, которую можно вращать и рассматривать с разных сторон.
- Подготовить карточки повышенного уровня с задачами на восстановление неизвестного числа элементов многогранника и проверку данных по теореме Эйлера.
- Разместить на доске критерии успешной исследовательской работы: точность подсчёта, запись данных, применение формулы, аргументированный вывод.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и создать проблемную ситуацию, связанную с количеством правильных многогранников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране изображения куба, тетраэдра, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто изучать готовое свойство многогранников, а попробуем его открыть. Посмотрите на пять изображений. Эти тела известны человеку с глубокой древности и встречаются в архитектуре, химии, компьютерной графике. Как вы думаете, почему математиков особенно интересует именно эта пятёрка?" | Рассматривают изображения, называют знакомые тела: "Куб", "Тетраэдр", "Октаэдр"; предполагают: "У них одинаковые грани", "Они симметричны", "Их нельзя бесконечно много строить". |
2 мин | Учитель записывает на доске проблемный вопрос: "Почему существует только пять правильных многогранников?" Затем обращается к классу: "Сегодня мы проверим не только внешний вид этих тел. Нам понадобится точный подсчёт. В конце урока вы должны будете объяснить, какую связь имеют вершины, рёбра и грани, и использовать её для проверки многогранника." | Формулируют учебную задачу: "Нужно научиться считать элементы многогранника и найти между ними закономерность"; записывают тему урока в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели пять известных правильных многогранников и поставили вопрос, почему список заканчивается именно на них. Сначала проверим, какие знания и способы подсчёта нам уже доступны, а затем перейдём к исследованию моделей."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия многогранника, грани, ребра, вершины, правильного многоугольника и выпуклого многогранника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на экране куб и задаёт вопросы эвристической беседы: "Назовите элементы куба. Что называется гранью? Что такое ребро? Чем вершина отличается от ребра? Сколько граней, рёбер и вершин вы можете назвать у куба без подсчёта на модели?" | Отвечают: "Грань — многоугольник, ограничивающий многогранник; ребро — отрезок пересечения двух граней; вершина — точка пересечения рёбер"; называют для куба: 6 граней, 12 рёбер, 8 вершин. |
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "За 30 секунд каждый самостоятельно сформулируйте, каким должен быть правильный многогранник. Затем обсудите определение в паре и выберите точную формулировку для класса." | Сначала формулируют признаки индивидуально, затем обсуждают в парах и предлагают: "Все грани — равные правильные многоугольники, а в каждой вершине сходится одинаковое число граней". |
1 мин | Учитель уточняет: "Достаточно ли равенства граней, чтобы многогранник был правильным? Почему нам важно добавить условие выпуклости?" Учитель фиксирует на доске ключевые слова «равные правильные грани», «одинаковое число граней в вершине», «выпуклость». | Отвечают: "Нет, нужно одинаковое устройство всех вершин"; объясняют, что выпуклость исключает вогнутые многогранники и позволяет применять теорему Эйлера в рассматриваемом виде. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что многогранник можно описывать через три числа: вершины, рёбра и грани. Теперь выясним, существует ли между этими числами постоянная связь для разных выпуклых многогранников."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: организовать выдвижение гипотезы о связи числа вершин, рёбер и граней.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует на экране таблицу с неполными данными по тетраэдру, кубу и октаэдру: "Перед вами три многогранника. У каждого можно подсчитать вершины, рёбра и грани. Попробуйте найти выражение, которое принимает одно и то же значение. Можно использовать сложение и вычитание. Работайте сначала индивидуально, затем обсудите идею с соседом." | Заполняют известные данные: тетраэдр — 4 вершины, 6 рёбер, 4 грани; куб — 8 вершин, 12 рёбер, 6 граней; октаэдр — 6 вершин, 12 рёбер, 8 граней. Проверяют варианты и обнаруживают: $4-6+4=2$, $8-12+6=2$, $6-12+8=2$. |
2 мин | Учитель спрашивает: "Что меняется от тела к телу? Что остаётся неизменным? Сформулируйте гипотезу одним предложением. Важно: пока это только гипотеза, потому что мы проверили лишь несколько примеров." Учитель записывает наиболее точную формулировку. | Формулируют гипотезу: "Для выпуклого многогранника разность между числом вершин и числом рёбер, увеличенная на число граней, равна двум"; записывают выражение $В-Р+Г=2$ как предположение и формулируют цель: проверить его на других моделях. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы обнаружили устойчивую закономерность, но математическое мышление требует проверки. Сейчас каждая группа исследует одну модель, а затем мы сопоставим результаты и решим, можем ли назвать найденное соотношение теоремой."
Этап 4. Открытие нового знания. Исследование моделей (10 мин)
Цель этапа: самостоятельно выявить теорему Эйлера на материале моделей правильных многогранников и сформулировать условия её применения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует работу методом «Мозаика»: "Каждая группа получает модель или развёртку одного многогранника и исследовательскую карточку. Распределите роли: счётчик вершин, счётчик рёбер, счётчик граней, секретарь и докладчик. В карточке зафиксируйте не только числа, но и способ подсчёта, чтобы другая группа могла проверить ваш результат." | Распределяют роли, получают модели и карточки, рассматривают объект с разных сторон, договариваются о способе подсчёта. |
5 мин | Учитель раздаёт карточки и напоминает алгоритм: "Сначала определите, какие многоугольники являются гранями. Затем подсчитайте грани непосредственно. Вершины можно считать по модели, а рёбра — по принципу: каждое ребро принадлежит двум граням. Не спешите считать одно ребро дважды. После этого вычислите $В-Р+Г$ и запишите вывод." Учитель подходит к группам, задаёт вопросы: "Как вы проверите число рёбер? Почему делите сумму сторон граней пополам?" | Заполняют таблицы. Получают данные: тетраэдр $В=4$, $Р=6$, $Г=4$; куб $В=8$, $Р=12$, $Г=6$; октаэдр $В=6$, $Р=12$, $Г=8$; додекаэдр $В=20$, $Р=30$, $Г=12$; икосаэдр $В=12$, $Р=30$, $Г=20$. Вычисляют значение выражения и получают 2. |
3 мин | Учитель просит докладчиков представить результаты и сводит их в общую таблицу на доске: "Назовите модель, числа $В$, $Р$, $Г$ и результат вычисления. Остальные группы сверяют данные и поднимают зелёный стикер, если согласны, или жёлтый, если обнаружили расхождение." | Докладчики сообщают результаты; остальные сверяют записи, задают вопросы о подсчёте; формулируют общий вывод: "Для всех исследованных выпуклых многогранников $В-Р+Г=2$". |
Запись в тетрадях
Записать: «Теорема Эйлера: для любого выпуклого многогранника сумма числа вершин и числа граней, уменьшенная на число рёбер, равна двум: $В-Р+Г=2$. Здесь $В$ — число вершин, $Р$ — число рёбер, $Г$ — число граней». Ниже начертить таблицу с пятью правильными многогранниками и их значениями $В$, $Р$, $Г$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Все пять групп получили одно и то же число — два. Мы не просто запомнили формулу, а проверили её на пяти моделях. Теперь научимся применять теорему как инструмент: находить неизвестный элемент и проверять, может ли заданный набор чисел описывать многогранник."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм применения теоремы Эйлера и отработать переход от условия задачи к формуле.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске задачу: "У выпуклого многогранника 10 граней и 15 вершин. Сколько у него рёбер?" Учитель проговаривает: "Сначала назовите известные величины, затем запишите теорему, выразите неизвестную величину и выполните проверку. Не подставляйте числа устно без записи." | Записывают: $Г=10$, $В=15$, $Р=?$. Применяют формулу: $15-Р+10=2$; получают $Р=23$; проверяют: $15-23+10=2$. |
2 мин | Учитель предлагает задачу для парной проверки: "У многогранника 18 рёбер и 12 вершин. Определите число граней и назовите условие, при котором можно применить теорему Эйлера." Учитель просит одну пару объяснить решение у доски. | В парах решают: $12-18+Г=2$, поэтому $Г=8$. Формулируют условие: "Многогранник должен быть выпуклым"; одна пара записывает решение у доски. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос на анализ: "Можно ли считать доказанным существование многогранника только потому, что три числа удовлетворяют формуле Эйлера? Например, подходят ли числа $В=6$, $Р=9$, $Г=5$?" | Проверяют: $6-9+5=2$, но объясняют: "Формула является необходимым условием, но не гарантирует существование конкретного многогранника и его правильность". |
Эталон решения
Для задачи с $В=10$ и $Г=15$: 1) записываем теорему $В-Р+Г=2$; 2) подставляем известные значения: $10-Р+15=2$; 3) переносим слагаемые: $25-Р=2$; 4) получаем $Р=23$; 5) проверяем: $10-23+15=2$. Ответ: 23 ребра. Для задачи с $В=12$ и $Р=18$: $12-18+Г=2$, $Г=8$. Проверка: $12-18+8=2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились находить неизвестное число элементов и увидели важное ограничение: теорема Эйлера проверяет согласованность данных, но сама по себе не доказывает правильность многогранника. Теперь каждый самостоятельно применит формулу и объяснит ход решения."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение теоремой Эйлера, умение работать с данными правильных многогранников и анализировать ошибочное рассуждение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт индивидуальные листы и объясняет дифференциацию: "Выберите базовый или повышенный вариант. Базовый вариант обязателен для всех, повышенный можно выполнить после него. Работайте самостоятельно, все преобразования записывайте. На выполнение — пять минут, время будет видно на таймере." | Получают листы, выбирают вариант с учётом собственной готовности, записывают условие и формулу. |
5 мин | Учитель предлагает задания. Базовый вариант: «1. Найдите число рёбер выпуклого многогранника, если $В=14$, $Г=9$. 2. Проверьте по теореме Эйлера данные куба: $В=8$, $Р=12$, $Г=6$». Повышенный вариант: «Объясните ошибку в рассуждении: у многогранника $В=7$, $Р=12$, $Г=7$, поэтому он правильный. Назовите не менее двух причин, почему вывод неверен». | Решают индивидуально. Для задания 1 получают $Р=21$; для задания 2 вычисляют $8-12+6=2$; в повышенном варианте указывают, что выполнение формулы не доказывает правильность, а также не указаны равенство правильных граней и одинаковое устройство вершин. |
3 мин | Учитель открывает на экране эталон: "Проверьте не только ответ, но и каждый шаг. Если ошибка найдена, зачеркните неверную строку одной чертой и рядом запишите исправление. Затем оцените себя по критериям: формула, вычисления, проверка, вывод." Учитель проводит краткий разбор типичной ошибки: неверно переносят знак перед $Р$. | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки, подсчитывают результат по критериям, отмечают на листе пункт, который требует повторения. |
Эталон решения
Задание 1: $В-Р+Г=2$, поэтому $14-Р+9=2$. Получаем $23-Р=2$, следовательно, $Р=21$. Проверка: $14-21+9=2$. Задание 2: $8-12+6=2$, следовательно, данные куба удовлетворяют теореме Эйлера. В повышенном задании ошибка состоит в том, что равенство $В-Р+Г=2$ является необходимым условием для выпуклого многогранника, но не определяет его правильность. Для правильности нужно проверить форму и равенство граней, а также одинаковое число граней, сходящихся в каждой вершине.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, формулу вы применили самостоятельно и увидели, что математическая проверка должна сопровождаться анализом условий. Осталось вернуться к главному вопросу урока и объяснить, почему правильных многогранников именно пять."
Этап 7. Рефлексия, возвращение к проблеме и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: обобщить изученное, оценить достижение цели и сформулировать объяснение существования пяти правильных многогранников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель возвращает на экран пять моделей и задаёт проблемный вопрос: "Почему правильных многогранников только пять? Посмотрите на вершину каждого тела. В каждой вершине должны сходиться одинаковые правильные многоугольники, а сумма плоских углов вокруг вершины должна быть меньше $360^\circ$. Если угол равен или превышает $360^\circ$, выпуклое тело не складывается. Как это ограничивает число вариантов?" | Формулируют объяснение: "В одной вершине должны сойтись минимум три грани; сумма их углов должна быть меньше $360^\circ$. Для равностороннего треугольника возможны три, четыре или пять граней в вершине; для квадрата — три; для правильного пятиугольника — три; для многоугольников с большим числом сторон сумма уже не позволяет получить выпуклый многогранник". |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёный стикер, если можете сформулировать теорему и применить её без подсказки; жёлтый — если формулу понимаете, но нужна помощь в задачах; красный — если требуется повторить определения и алгоритм. На обороте стикера допишите одно предложение: «Сегодня я научился…»" | Поднимают стикеры, дописывают фразу: "Сегодня я научился проверять многогранник по формуле", "Я понял, как находить число рёбер", "Мне нужно повторить признаки правильного многогранника". |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и контрольные вопросы: "Запишите задание по выбранному уровню. Перед выходом ответьте устно на два вопроса: как звучит теорема Эйлера и почему её нельзя использовать как единственное доказательство правильности многогранника?" | Записывают домашнее задание, отвечают: "$В-Р+Г=2$ для выпуклого многогранника"; "Формула связывает числа элементов, но не проверяет форму граней и устройство вершин". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы сами обнаружили теорему Эйлера, проверили её на пяти правильных многогранниках и применили к задачам. На следующем уроке мы продолжим исследование пространственных тел и рассмотрим количественные характеристики правильных многогранников более подробно."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно определены и записаны значения $В$, $Р$, $Г$ для исследуемой модели, без ошибок вычислено выражение $В-Р+Г$, сформулирована теорема Эйлера и выполнены оба самостоятельных задания с проверкой.
- «4» — исследование выполнено верно, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на понимание теоремы; самостоятельные задания решены с небольшим недочётом в записи.
- «3» — правильно воспроизведена формула и решено хотя бы одно задание на нахождение неизвестного элемента, но допущены ошибки в подсчёте элементов модели или отсутствует полноценная проверка.
- Ниже «3» — формула записана неверно или не применена, не различаются вершины, рёбра и грани, решение самостоятельных заданий отсутствует либо не имеет обоснования.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о связи числа вершин, рёбер и граней? | Выявление осознания содержания теоремы Эйлера и её математического смысла. |
Какой шаг алгоритма применения формулы оказался самым сложным? | Выявление точек затруднения: перевод условия в обозначения, преобразование уравнения или проверка. |
Почему выполнение равенства $В-Р+Г=2$ ещё не доказывает, что многогранник правильный? | Проверка понимания различия между необходимым условием и полным определением правильного многогранника. |
Как вы оцените свою работу: зелёный, жёлтый или красный уровень? | Получение субъективной оценки освоения темы и планирование индивидуальной коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что за внешним разнообразием многогранников скрывается строгая закономерность: для любого выпуклого многогранника выполняется $В-Р+Г=2$. Вы научились применять теорему Эйлера и поняли, что она проверяет согласованность данных, но не заменяет определение правильного многогранника. Типичная ошибка — забывать, что рёбра принадлежат двум граням, или неверно переносить знак при решении уравнения. На следующем уроке мы продолжим исследовать свойства правильных многогранников и свяжем их элементы с геометрическими вычислениями."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на применение теоремы Эйлера: в каждой найти число вершин, рёбер или граней выпуклого многогранника по двум другим величинам; выполнить проверку подстановкой. | Закрепляет алгоритм применения формулы $В-Р+Г=2$; при проверке обратить внимание на обозначения, знаки и обязательную проверку ответа. |
Средний (повышающий) | Составить таблицу для пяти правильных многогранников с указанием формы грани, числа граней, рёбер и вершин; для каждого вычислить $В-Р+Г$ и кратко описать способ подсчёта рёбер. | Закрепляет связь между моделью и её числовыми характеристиками; при проверке смотреть на полноту таблицы и правильность объяснения двойного подсчёта рёбер. |
Продвинутый (дополнительный) | Подготовить краткое математическое объяснение, почему для правильного многогранника в вершине не могут сходиться четыре равных правильных пятиугольника, и исследовать, какие варианты возникают для равностороннего треугольника, квадрата и правильного пятиугольника. | Развивает умение использовать угловые ограничения для обоснования существования пяти правильных многогранников; при проверке оценивать точность рассуждения и связь с условием выпуклости. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как обозначаются число вершин, рёбер и граней? Для какого класса многогранников верна теорема Эйлера в изученной форме? Что показывает выражение $В-Р+Г$? Почему равенство двум ещё не означает, что многогранник правильный?»
