Импульс материальной точки и системы. Центр масс. Теорема о движении центра масс
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться определять импульс материальной точки и системы, находить координату центра масс для простейшей системы и применять теорему о движении центра масс при решении качественных и расчётных задач.
- Сформировать понимание импульса материальной точки как векторной физической величины, равной произведению массы точки на её скорость.
- Вывести выражение для импульса системы материальных точек и координаты центра масс системы из анализа движения двух тел.
- Научиться устанавливать связь между результирующей внешних сил и ускорением центра масс системы.
- Развивать умение выдвигать гипотезы, строить математическую модель, аргументировать решение и проверять размерность полученного результата.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать значение законов сохранения и теорем механики для описания движения реальных объектов.
- Проявлять познавательный интерес к исследованию движения сложных систем через простые модели материальных точек.
- Понимать ценность точного определения условий применимости физической модели.
- Проявлять готовность к самостоятельному выбору способа решения и ответственному отношению к проверке результата.
Метапредметные
- Выделять существенные условия физической задачи и переводить их на язык схем, векторов и уравнений.
- Сравнивать движение отдельной точки и системы, устанавливать причинно-следственные связи между внешними силами и движением центра масс.
- Работать с информацией в формульной, графической и текстовой формах, проверять размерности и предельные случаи.
- Сотрудничать в паре или группе, формулировать гипотезу, приводить аргументы и корректировать решение по результатам самопроверки.
Предметные
- Знать определение импульса материальной точки и формулу $\vec p=m\vec v$, единицу импульса в СИ.
- Знать, что импульс системы равен векторной сумме импульсов всех входящих в неё материальных точек.
- Уметь определять координату центра масс системы по формуле $x_ц=\frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$ для прямолинейного движения.
- Уметь формулировать и применять теорему о движении центра масс: $M\vec a_ц=\vec F_{внеш}$ или $\frac{d\vec P}{dt}=\vec F_{внеш}$.
- Уметь различать внутренние и внешние силы и объяснять, почему внутренние силы не определяют движение центра масс системы.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносить изучаемую модель системы материальных точек с практическими объектами: транспортом, ракетой, движением человека.
- Осмысливать необходимость выбора границ системы перед началом решения физической задачи.
- Формировать ответственное отношение к точности записи векторных величин и единиц измерения.
- Оценивать собственный прогресс при переходе от механического запоминания формул к их выводу и применению.
Регулятивные УУД
- Самостоятельно формулировать учебную проблему: как описать движение системы, если отдельные тела движутся сложно.
- Планировать решение: выбрать систему, записать массы и координаты, определить внешние силы, получить искомую величину.
- Осуществлять пошаговый самоконтроль по формуле, направлению векторов, единицам и физическому смыслу ответа.
- Корректировать решение при обнаружении несоответствия в знаке, размерности или предельном случае.
Познавательные УУД
- Выводить формулы центра масс и теоремы о его движении из законов Ньютона.
- Классифицировать силы на внутренние и внешние относительно выбранной системы.
- Моделировать систему двух тел на координатной оси и представлять её импульс через скорость центра масс.
- Использовать анализ предельных случаев: одна масса значительно больше другой, равные массы, отсутствие внешней силы.
- Проверять математическое выражение размерностным анализом и сопоставлением с физическим смыслом.
Коммуникативные УУД
- Формулировать гипотезу о положении центра масс и обосновывать её в паре.
- Задавать уточняющие вопросы о границах системы и классификации сил.
- Распределять роли при групповом выводе формулы: составитель схемы, аналитик, проверяющий, докладчик.
- Аргументированно сравнивать решения, уважительно указывать на ошибку в направлении вектора или выборе внешней силы.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить демонстрацию двух тележек или двух брусков разной массы на гладкой поверхности; при отсутствии оборудования использовать видеозапись или анимацию движения системы.
- Распечатать карточки с тремя уровнями заданий: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить отдельные листы для группового вывода формулы центра масс и теоремы о движении центра масс — по одному листу на группу из 3–4 человек.
- Вывести на доску или экран схему двух материальных точек на оси $Ox$, обозначив массы $m_1$, $m_2$, координаты $x_1$, $x_2$ и координату $x_ц$.
- Заранее записать на отдельной части доски опорные формулы: второй закон Ньютона $\vec F=m\vec a$, скорость $\vec v=\frac{d\vec r}{dt}$, сумму векторов.
- Подготовить таблицу для сравнения внутренних и внешних сил и оставить в ней незаполненными графы «пример» и «влияние на центр масс».
- Проверить наличие проекторa или интерактивной доски, маркеров, линеек, калькуляторов и тетрадей.
- Распечатать мини-лист самооценки с утверждениями «Я могу определить импульс», «Я могу найти центр масс», «Я могу применить теорему» — по одному на каждого ученика.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследование проблемы описания движения сложной системы и сформировать личностную значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране короткую схему двух тележек, соединённых пружиной, которые после взаимодействия разъезжаются в разные стороны. «Ребята, сегодня нас интересует не траектория каждой тележки, а движение всей системы. Посмотрите на рисунок: тела движутся сложно, но можно ли найти точку, движение которой описывается проще? Запишите дату и тему урока». | Записывают тему, рассматривают схему, формулируют первые предположения: «Можно рассматривать систему целиком», «Нужна специальная точка». |
2 мин | Учитель использует приём «Проблемный вопрос»: «Если внутренние силы между телами велики и тела заметно разлетаются, должна ли вся система обязательно начать двигаться? Что изменится, если внешних сил нет? Сегодня мы проверим гипотезу не только рассуждением, но и выводом формул». | Индивидуально формулируют гипотезу, затем обсуждают её с соседом 30 секунд и предлагают варианты: «Центр масс может покоиться», «Центр масс движется равномерно», «Всё зависит от внешних сил». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что движение отдельных частей системы может быть сложным. Теперь вспомним величины, которые позволят описать движение одной материальной точки и перейти к системе».»
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить знания о массе, скорости, втором законе Ньютона и векторном сложении, необходимые для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит устную разминку: «Чем отличаются скалярные и векторные величины? Запишите формулу второго закона Ньютона в векторной форме. Как связаны ускорение и изменение скорости? Какие единицы имеют масса, скорость и сила?» Учитель фиксирует ответы в опорной схеме. | Отвечают: «Скаляр имеет числовое значение, вектор — модуль и направление»; записывают $\vec F=m\vec a$ и $\vec a=\frac{d\vec v}{dt}$; называют единицы килограмм, метр в секунду, ньютон. |
3 мин | Учитель предлагает задание «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «На прямой движутся два тела: первое имеет массу 2 кг и скорость 3 м/с вправо, второе — массу 1 кг и скорость 4 м/с влево. Какую величину можно сложить с учётом направления, чтобы охарактеризовать движение каждого тела?» Учитель не называет ответ до обсуждения. | В парах выбирают векторную величину, записывают два произведения массы на скорость с учётом знака и формулируют: «Нужно учитывать импульс, потому что скорость — вектор». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что направление скорости существенно и что второй закон Ньютона связывает силу с изменением движения. Сейчас выясним, какая величина естественно появляется при таком переходе».»
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при описании системы и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: «Два тела взаимодействуют только между собой». «Предположим, что первое тело получает импульс вправо. Что должно произойти со вторым телом согласно третьему закону Ньютона? Можно ли по импульсам отдельных тел описать систему одним вектором? Как выбрать точку, движение которой отражает движение всей системы?» | Рассуждают: «Силы взаимодействия равны и противоположны», «Импульсы изменяются противоположно», «Нужна сумма импульсов», «Следует определить центр масс». |
2 мин | Учитель оформляет ответы в план исследования: «Первое — определим импульс точки и системы. Второе — найдём координату центра масс. Третье — свяжем ускорение центра масс с внешними силами. Четвёртое — проверим теорему на задаче». Учитель просит сформулировать измеримый результат урока. | Формулируют цель: «Научиться находить импульс системы, координату центра масс и использовать теорему о его движении». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «План исследования составлен. Начнём с величины, которая количественно характеризует механическое движение материальной точки, — с импульса».»
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: вывести определения импульса системы, центра масс и теорему о движении центра масс через работу с моделью двух тел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на доске вывод: «Запишем второй закон Ньютона: $\vec F=m\vec a=m\frac{d\vec v}{dt}$. При постоянной массе получаем $\vec F=\frac{d(m\vec v)}{dt}$. Величину $\vec p=m\vec v$ называют импульсом материальной точки». Учитель подчёркивает направление и единицу: «Единица импульса — килограмм, умноженный на метр в секунду». | Записывают определение и формулу $\vec p=m\vec v$, единицу $1\ \text{кг}\cdot\text{м/с}$; отвечают: «Импульс направлен так же, как скорость». |
4 мин | Учитель раздаёт группам схему двух точек и задаёт вопрос: «Если система состоит из $N$ точек, как выразить её полный импульс? Почему импульсы нельзя складывать как обычные модули?» Учитель фиксирует вывод: $\vec P=\sum\limits_{i=1}^{N}\vec p_i=\sum\limits_{i=1}^{N}m_i\vec v_i$. | В группах записывают векторную сумму, объясняют необходимость учитывать направления и докладывают: «Полный импульс системы равен сумме импульсов всех точек». |
5 мин | Учитель возвращает внимание к схеме на оси $Ox$: «Определим такую координату $x_ц$, чтобы она учитывала вклад каждой массы. Для двух тел запишем $x_ц=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}$. Для системы из нескольких точек: $x_ц=\frac{\sum m_ix_i}{\sum m_i}$. В векторной форме положение центра масс задаётся выражением $\vec r_ц=\frac{\sum m_i\vec r_i}{M}$. Проделаем следующий шаг: дифференцируем по времени и умножаем на $M$». Учитель совместно с классом получает $M\vec a_ц=\sum m_i\vec a_i$. Затем спрашивает: «Чему равна сумма всех сил, действующих на точки?» | Записывают формулы центра масс, находят скорость и ускорение центра масс через производные, отвечают: «Сумма сил складывается из внешних и внутренних сил»; формулируют: «Внутренние силы попарно компенсируются, поэтому $M\vec a_ц=\vec F_{внеш}$». |
Запись в тетрадях
- Импульс материальной точки: $\vec p=m\vec v$.
- Импульс системы: $\vec P=\sum m_i\vec v_i$.
- Координата центра масс: $x_ц=\frac{\sum m_ix_i}{\sum m_i}$.
- Теорема о движении центра масс: $M\vec a_ц=\vec F_{внеш}$; эквивалентная форма: $\frac{d\vec P}{dt}=\vec F_{внеш}$.
- Внутренние силы не изменяют движение центра масс системы; его движение определяется результирующей внешних сил.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили не отдельный набор формул, а единую логическую цепочку: второй закон Ньютона — импульс — сумма импульсов — центр масс — действие внешних сил. Теперь проверим, умеем ли мы использовать эти связи на конкретной системе».»
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: научиться различать внешние и внутренние силы и применять формулу центра масс в простейшей задаче.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает карточку: «На оси $Ox$ находятся два тела: $m_1=2$ кг при $x_1=0$ м и $m_2=6$ кг при $x_2=4$ м. Найдите координату центра масс». Учитель просит сначала проговорить алгоритм, а затем решить задачу в парах. | Называют шаги: «Записать массы и координаты, найти общую массу, подставить в формулу, проверить, что центр масс находится между телами». Решают: $x_ц=\frac{2\cdot0+6\cdot4}{2+6}=3$ м. |
2 мин | Учитель задаёт классификацию: «Для системы из двух соприкасающихся тел назовите внутреннюю силу, а для системы “тележка — Земля” — пример внешней силы. Что произойдёт с центром масс, если горизонтальная результирующая внешних сил равна нулю?» | Отвечают: «Сила взаимодействия тел — внутренняя; сила трения со стороны поверхности — внешняя для системы тележек». Формулируют: «При нулевой внешней силе ускорение центра масс равно нулю, поэтому он покоится или движется равномерно». |
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: «Покажите зелёную карточку, если можете объяснить формулу, жёлтую — если нужна подсказка, красную — если пока не получается. Обратите внимание: координата центра масс не обязана совпадать с геометрическим центром, если массы различны». | Показывают карточки, формулируют вопросы; исправляют в записи возможную ошибку «делить на число тел» вместо деления на общую массу. |
Эталон решения
1. Общая масса системы: $M=m_1+m_2=2+6=8$ кг. 2. Используем формулу $x_ц=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{M}$. 3. Подставляем значения: $x_ц=\frac{2\cdot0+6\cdot4}{8}=\frac{24}{8}=3$ м. 4. Проверка: координата $3$ м находится между координатами тел $0$ м и $4$ м и ближе к более массивному телу, что соответствует физическому смыслу.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы нашли центр масс и увидели, что он смещён к большему телу. Далее каждый самостоятельно проверит, может ли применить теорему к импульсу и внешним силам».»
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание формул импульса, центра масс и теоремы о движении центра масс.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. «Выберите уровень, который позволит честно проверить себя. В базовом задании определите импульс тела массой 3 кг, движущегося со скоростью 4 м/с вправо. В повышенном задании найдите координату центра масс тел массами 1 кг и 3 кг, расположенных в точках $x_1=2$ м и $x_2=6$ м. В дополнительном задании объясните, почему при отсутствии внешней силы внутреннее взаимодействие не изменяет полный импульс системы». | Индивидуально решают выбранное задание, записывают формулы, направления и единицы. Получают результаты: $p=12$ кг·м/с вправо; $x_ц=5$ м; в объяснении указывают взаимную компенсацию внутренних сил. |
3 мин | Учитель выводит эталон на доску: «Сверьте не только число, но и способ решения. Если ответ отличается, найдите место расхождения: направление, общая масса, координата или единица». Учитель предлагает отметить в листе самооценки пункт, который выполнен самостоятельно. | Сверяют решение по эталону, подчёркивают ошибочный шаг при необходимости, исправляют его и отмечают в листе самооценки: «Могу», «Могу с подсказкой» или «Пока затрудняюсь». |
Эталон решения
Базовый уровень: $\vec p=m\vec v=3\cdot4=12$ кг·м/с; направление совпадает с направлением скорости — вправо. Повышенный уровень: $M=1+3=4$ кг; $x_ц=\frac{1\cdot2+3\cdot6}{4}=\frac{20}{4}=5$ м. Для системы без внешних сил $\vec F_{внеш}=0$, поэтому $\frac{d\vec P}{dt}=0$ и полный импульс системы сохраняется.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, какие действия уже стали устойчивыми, а какие требуют внимания. Осталось включить новое знание в общую систему законов механики и ответить на исходный проблемный вопрос».»
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (6 мин)
Цель этапа: обобщить содержание урока, связать теорему с законом сохранения импульса и осознать индивидуальный результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к демонстрационной схеме: «В начале урока мы видели, как тела разлетаются под действием внутренних сил. Ответьте теперь строго: что происходит с центром масс, если горизонтальные внешние силы отсутствуют? А что изменится при наличии трения?» | Формулируют: «Без внешней силы центр масс покоится или движется равномерно; при трении появляется внешняя сила и центр масс получает ускорение в сторону её равнодействующей». |
2 мин | Учитель проводит приём «Одноминутная работа»: «За одну минуту запишите три предложения: что такое импульс системы; как найти центр масс; в чём состоит теорема о его движении». Затем просит одного ученика объяснить связь с законом сохранения импульса. | Пишут три предложения, один ученик объясняет: «Если внешняя сила равна нулю, полный импульс системы постоянен; это следует из $\frac{d\vec P}{dt}=\vec F_{внеш}$». |
2 мин | Учитель предлагает «Билет на выход»: «Ответьте письменно на вопросы: какая формула сегодня стала для вас основной; где возникло затруднение; какой объект из техники можно исследовать как систему материальных точек?» Учитель собирает ответы и завершает урок. | Заполняют билет на выход. Приводят примеры: «ракета», «автомобиль», «спутник», «система грузов». Формулируют личную точку затруднения и способ её устранения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы доказали, что сложное движение системы можно описывать через её импульс и центр масс. Внешние силы управляют движением центра масс, а внутренние силы лишь перераспределяют движение внутри системы. На следующем уроке применим закон сохранения импульса к столкновениям и реактивному движению».»
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно определены импульс материальной точки, координата центра масс и ускорение центра масс; записаны формулы, направления векторов и единицы измерения; объяснено отличие внешних и внутренних сил.
- «4» — правильно решены основные задания и записаны формулы, но допущена одна несущественная ошибка в оформлении, единицах или словесном объяснении.
- «3» — верно выполнено базовое задание на импульс или центр масс, но решение теоремы о движении центра масс неполное либо содержит одну существенную ошибку, исправленную после самопроверки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали об импульсе системы и центре масс? | Выявление осознания ключевых понятий и связей между ними. |
Почему внутренние силы не изменяют движение центра масс? | Проверка понимания третьего закона Ньютона и границ выбранной системы. |
Какой шаг решения задачи оказался самым сложным: выбор системы, формула, направление или вычисления? | Выявление конкретной точки затруднения для последующей коррекции. |
Какой реальный объект вы бы описали как систему материальных точек? | Проверка переноса знания в практический и инженерный контекст. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились описывать не только отдельную материальную точку, но и систему тел. Главная идея урока состоит в том, что импульс системы и движение её центра масс определяются результирующей внешних сил, тогда как внутренние силы взаимно компенсируются. Не забывайте при решении сначала обозначить границы системы: от этого зависит, какие силы считать внешними. Типичная ошибка — делить в формуле центра масс на число тел вместо общей массы системы. На следующем уроке мы применим сегодняшние результаты к столкновениям и реактивному движению».»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи: определить импульс материальной точки по массе и скорости; найти импульс системы двух тел при заданных скоростях на одной прямой; вычислить координату центра масс двух тел по их массам и координатам. | Закрепить определения и алгоритмы. При проверке смотреть на направление импульса, общую массу системы, единицы и расположение центра масс между телами. |
Средний (повышающий) | Решить 2 задачи на теорему о движении центра масс: определить ускорение центра масс по равнодействующей внешних сил и общей массе; объяснить движение центра масс системы при нулевой горизонтальной внешней силе. | Научиться различать внешние и внутренние силы и связывать формулу $M\vec a_ц=\vec F_{внеш}$ с физическим смыслом. Проверить корректность выбора системы и знаков. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу о двух телах, взаимодействующих на гладкой поверхности: задать массы, координаты и скорости, найти импульс системы и положение центра масс, затем описать, как изменится его движение при появлении внешней силы. | Развить моделирование, самостоятельное конструирование условия и проверку результата через предельный случай. Оценить, согласуются ли выводы с законом сохранения импульса. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как определяется импульс материальной точки? Чему равен импульс системы? По какой формуле находят координату центра масс? Какая сила определяет ускорение центра масс? Что происходит с полным импульсом системы при нулевой внешней силе?»
