Собственные числа и собственные векторы

1 ВОПРОС · 1 БАЛЛ

1. Понятие собственного вектора

Вектор $v\ne 0$ называется собственным вектором квадратной матрицы $A$, если существует число $\lambda$ такое, что выполняется равенство:

• $Av=\lambda v$
• $A\lambda =v$
• $v=\lambda \det (A)$
• $A+v=\lambda I$

1 МАТРИЦА · 3 БАЛЛА

2. Поиск собственных чисел

Найдите собственные числа матрицы $A=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 1& 3\end{array}\right)$, решив соответствующее характеристическое уравнение.

1 ВЕКТОР · 3 БАЛЛА

3. Нахождение собственного вектора

Найдите собственный вектор матрицы $A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$, соответствующий собственному числу $\lambda =3$.

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 2 БАЛЛА

4. Свойства собственных чисел

Оцените истинность утверждений о свойствах собственных чисел и векторов квадратных матриц.

1. Сумма собственных чисел матрицы равна её следу (сумме диагональных элементов).ИстинаЛожь
2. Произведение всех собственных чисел матрицы (с учётом кратности) равно её определителю.ИстинаЛожь
3. Если матрица имеет хотя бы одно нулевое собственное число, то она является вырожденной.ИстинаЛожь
4. Собственные векторы, соответствующие различным собственным числам, всегда линейно зависимы.ИстинаЛожь

2 ПРОПУСКА · 1 БАЛЛ

5. Основные понятия

Заполните пропуски в определении математических объектов.

Для квадратной матрицы $A$ уравнение $\det (A-\lambda I)=0$ называется уравнением, а его корни — числами матрицы.