Теоремы синусов

1 ВЫРАЖЕНИЕ · 1 БАЛЛ

2. Синус дополнительного угла

Выберите значение выражения $\sin 150^{\circ }$.

• $\frac{1}{2}$
• $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $-\frac{1}{2}$
• $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

3. Сторона по двум углам и стороне

В треугольнике $ABC$ известны $a=10$ см, $A=30^{\circ }$, $B=45^{\circ }$. Найдите сторону $b$. Ответ округлите до десятых. Используйте теорему синусов.

1 ПРОПУСК · 1 БАЛЛ

4. Сторона по теореме синусов

Заполните пропуск в формуле теоремы синусов для нахождения стороны $a$.

$a=\frac{b\cdot \sin A}{\sin \underline{}}$

1 ВЫРАЖЕНИЕ · 1 БАЛЛ

5. Теорема косинусов

Выберите формулу, выражающую сторону $a$ через стороны $b$, $c$ и угол $A$.

• $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$
• $a^2=b^2-c^2-2bc\cos A$
• $a^2=b^2+c^2+2bc\cos A$
• $a=b+c-2\cos A$

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

6. Третья сторона по двум сторонам и углу

В треугольнике $ABC$ стороны $b=7$ см и $c=9$ см, угол $A=60^{\circ }$. Найдите сторону $a$.

1 ПРОПУСК · 1 БАЛЛ

7. Площадь через две стороны и угол

Заполните пропуск в формуле площади треугольника по двум сторонам и углу между ними.

$S=\frac{1}{2}bc\sin \underline{}$

1 ВЫРАЖЕНИЕ · 1 БАЛЛ

8. Косинус угла 120 градусов

Выберите значение выражения $\cos 120^{\circ }$.

• $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $-\frac{1}{2}$
• $\frac{1}{2}$

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

9. Расстояние по углам наблюдения

Два пункта $A$ и $B$ находятся на одной стороне от точки $C$. В треугольнике $ABC$ известно: $AC=120$ м, $\angle A=35^{\circ }$, $\angle B=65^{\circ }$. Найдите расстояние $BC$. Ответ округлите до целых метров.

2 ПРОПУСКА · 1 БАЛЛ

10. Угол через теорему косинусов

Заполните пропуски в формуле для косинуса угла $A$.

$\cos A=\frac{b^2+c^2-\underline{}}{2bc}$

1 ВЫРАЖЕНИЕ · 1 БАЛЛ

11. Формулы приведения

Выберите верное равенство.

• $\cos (180^{\circ }-\alpha )=\cos \alpha$
• $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$
• $\cos (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$
• $\sin (180^{\circ }-\alpha )=-\sin \alpha$

2 ПРОПУСКА · 2 БАЛЛА

12. Нахождение угла по теореме синусов

Заполните пропуски, решая задачу. В треугольнике $ABC$ $a=8$ см, $A=30^{\circ }$, $b=8$ см. Найдите угол $B$.

Из теоремы синусов: $\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{8\cdot \sin 30^{\circ }}{8}=\underline{}$. Так как $0^{\circ }<B<180^{\circ }$, получаем $B={\underline{}}^{\circ }$.

1 ВОПРОС · 2 БАЛЛА

13. Определение третьего угла

В треугольнике известны углы $A=60^{\circ }$ и $B=45^{\circ }$. Как найти третий угол $C$? Выберите правильный ответ.

• $C=180^{\circ }-A-B=75^{\circ }$
• $C=90^{\circ }-A-B=-15^{\circ }$
• $C=180^{\circ }-A+B=165^{\circ }$
• $C=A+B=105^{\circ }$

2 ПРОПУСКА · 2 БАЛЛА

14. Полное решение треугольника

В треугольнике $ABC$ известны $a=6$ см, $A=35^{\circ }$, $B=80^{\circ }$. Заполните пропуски для нахождения третьего угла и стороны $b$. Ответ округлите до десятых.

$C=180^{\circ }-35^{\circ }-80^{\circ }={\underline{}}^{\circ }$. По теореме синусов $b=\frac{6\sin 80^{\circ }}{\sin 35^{\circ }}\approx \underline{}$ см.

1 ВОПРОС · 2 БАЛЛА

15. Проверка существования треугольника

Даны $A=40^{\circ }$, $B=70^{\circ }$ и $a=6$ см. Выберите верное утверждение о треугольнике.

• Треугольник не существует, потому что сумма данных углов меньше $180^{\circ }$.
• $C=110^{\circ }$, потому что третий угол равен $180^{\circ }-70^{\circ }$.
• $b=6\sin 40^{\circ }$ см, потому что сторона равна синусу угла.
• Треугольник существует, $C=70^{\circ }$, а $b=6$ см.