Рабочий лист на тему:

Теорема Птолемея

Геометрия9 класс20 заданий

Множественный выборЗаполни пропускиРеши примерыТаблицаСоединениеИстина / ЛожьСравни числаНайти лишнееРеши задачуКраткий ответ

Типы заданий

Теорема Птолемея

9 класс · дифференцированный

Ф.И.
Класс

Разберём теорему Птолемея и научимся применять её к вписанным четырёхугольникам. Задачи будут усложняться — внимательно записывай данные и искомую величину.

№1 · ФОРМУЛА

1 ВОПРОС · 1 БАЛЛ

1. Связь диагоналей и сторон

Выберите формулу теоремы Птолемея для вписанного четырёхугольника $A B C D$ .

$A C \cdot B D = A B + B C + C D + A D$
$A C \cdot B D = A B \cdot B C + C D \cdot A D$
$A C + B D = A B \cdot C D + B C \cdot A D$
$A C \cdot B D = A B \cdot C D + B C \cdot A D$

№2 · ПРОПУСКИ

2 ПРОПУСКА · 1 БАЛЛ

2. Запись теоремы Птолемея

Заполните пропуски в формуле теоремы Птолемея.

$A C \cdot B D = A B \cdot \underline{ab c} + \underline{ab c} \cdot A D$

№3 · ВЫЧИСЛЕНИЕ

1 ВЫРАЖЕНИЕ · 1 БАЛЛ

3. Произведение диагоналей

В выпуклом вписанном четырёхугольнике стороны равны $A B = 3$ , $B C = 4$ , $C D = 5$ , $A D = 6$ , а диагональ $A C = 5$ . Найдите $B D$ по теореме Птолемея.

\frac{3 \cdot 5 + 4 \cdot 6}{5}

№4 · ТАБЛИЦА

3 СТРОКИ · 2 БАЛЛА

4. Поиск неизвестной диагонали

В каждой строке примените теорему Птолемея и заполните пропущенную величину. Все четырёхугольники вписанные.

Дано	Вычисление	Искомая величина
$A B = 3$ , $B C = 4$ , $C D = 5$ , $A D = 6$ , $A C = 5$
$A B = 4$ , $B C = 6$ , $C D = 8$ , $A D = 3$ , $B D = 5$
$A B = 5$ , $B C = 7$ , $C D = 3$ , $A D = 4$ , $A C = 6$

№5 · СОПОСТАВЛЕНИЕ

4 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

5. Элементы формулы и их роль

Соедините обозначение с его ролью в теореме Птолемея для вписанного четырёхугольника $A B C D$ .

№6 · ВЕРНО ИЛИ НЕТ

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 2 БАЛЛА

6. Условия применения теоремы

Определите истинность утверждений с точки зрения условий и формулы теоремы Птолемея.

Теорема Птолемея применяется к вписанному четырёхугольнику.
В формуле произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.
В формуле теоремы Птолемея произведение диагоналей равно произведению всех четырёх сторон.
Для четырёхугольника $A B C D$ в формуле участвуют произведения $A B \cdot C D$ и $B C \cdot A D$ .

№7 · СРАВНЕНИЕ

3 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

7. Сравнение произведений в формуле

Сравните левую и правую части равенства теоремы Птолемея для указанных данных. В каждой строке поставьте знак сравнения между выражениями.

6 \cdot 10

3 \cdot 8 + 4 \cdot 9

5 \cdot 12

4 \cdot 7 + 6 \cdot 8

7 \cdot 9

5 \cdot 6 + 4 \cdot 8

№8 · ЛИШНИЙ ЭЛЕМЕНТ

4 ЭЛЕМЕНТА · 3 БАЛЛА

8. Выбор данных для теоремы

Найдите лишнюю запись. Три записи могут быть сторонами или диагоналями одного вписанного четырёхугольника и участвовать в применении теоремы Птолемея; одна запись не является произведением двух противоположных сторон или произведением диагоналей.

$A C \cdot B D$
$A B \cdot C D$
$A B \cdot B C$
$B C \cdot A D$

№9 · ЗАДАЧА С ЧЕРТЕЖОМ

3 ШАГА · 4 БАЛЛА

9. Диагональ вписанного четырёхугольника

Дано: выпуклый вписанный четырёхугольник $A B C D$ изображён на чертеже; $A B = 4$ см, $B C = 6$ см, $C D = 8$ см, $A D = 3$ см, $B D = 5$ см. Найдите диагональ $A C$ . Запишите формулу, подставьте данные и вычислите ответ.

Вписанный четырёхугольник $A B C D$

№10 · ЗАДАЧА С ЧЕРТЕЖОМ

4 ШАГА · 5 БАЛЛОВ

10. Нахождение стороны по диагоналям

Дано: выпуклый вписанный четырёхугольник $A B C D$ изображён на чертеже; $A C = 9$ см, $B D = 8$ см, $A B = 5$ см, $B C = 7$ см, $C D = 4$ см. Найдите сторону $A D$ . Запишите решение по теореме Птолемея и укажите единицу измерения.

Вписанный четырёхугольник $A B C D$

№1 · ЗАДАЧА

ВПИСАННЫЙ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК · 1 БАЛЛ

1. Применяем теорему Птолемея

Артём рассматривает вписанный четырёхугольник ABCD. Его стороны равны AB = 3 см, BC = 4 см, CD = 6 см, DA = 8 см, а диагональ AC = 10 см. Найдите диагональ BD.

+10 заданий в этом листе

Зарегистрируйтесь — и соберите свой рабочий лист по этой теме за минуту: заданий столько, сколько нужно.

№2 · ПРОПУСКИ

ФОРМУЛА · 1 БАЛЛ

2. Восстанавливаем формулу Птолемея

Артём записывает основное соотношение для вписанного четырёхугольника. Заполните пропуски в формуле.

$A C \cdot B D =$ $\cdot$ $+$ $\cdot$

№3 · КРАТКИЙ ОТВЕТ

ПРИЗНАК ПРИМЕНЕНИЯ · 1 БАЛЛ

3. Когда работает теорема

Артём выбирает фигуру для применения теоремы Птолемея. Как называется четырёхугольник, вершины которого лежат на одной окружности? Запишите термин.

№4 · ЗАДАЧА

НЕИЗВЕСТНАЯ СТОРОНА · 2 БАЛЛА

4. Находим сторону по диагоналям

Артём решает задачу о вписанном четырёхугольнике ABCD. Известно: AB = 5 см, BC = 6 см, CD = 7 см, AC = 8 см, BD = 10 см. Найдите сторону AD.

№5 · ПРОПУСКИ

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФОРМУЛЫ · 2 БАЛЛА

5. Выражаем диагональ

Артём преобразует теорему Птолемея, чтобы найти диагональ AC. Заполните пропуски.

$AC = \frac{$ $\cdot$ $+$ $\cdot$ $}{$ $}$

№6 · КРАТКИЙ ОТВЕТ

ПРОВЕРКА ДАННЫХ · 2 БАЛЛА

6. Находим произведение диагоналей

Артём знает, что стороны вписанного четырёхугольника равны 4 см, 5 см, 6 см и 7 см. Найдите сумму произведений противоположных сторон: $A B \cdot C D + B C \cdot A D$ , если сторонам в порядке ABCD соответствуют эти четыре числа.

№7 · ЗАДАЧА

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА · 3 БАЛЛА

7. Находим диагональ с дробными данными

Артём рассматривает вписанный четырёхугольник ABCD. Даны стороны AB = 4 см, BC = 5 см, CD = 6 см, AD = 7 см и диагональ AC = 5 см. Найдите диагональ BD.

№8 · ПРООБРАЗОВАНИЕ

ПРОПУСКИ · 4 БАЛЛА

8. Связываем диагональ и периметр

Артём выводит формулу для суммы произведений противоположных сторон. Заполните пропуски, используя теорему Птолемея.

$A B \cdot C D + B C \cdot A D =$ $\cdot$

№9 · КРАТКИЙ ОТВЕТ

РАЗБОР ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ · 4 БАЛЛА

9. Восстанавливаем сторону

Артём рассматривает вписанный четырёхугольник ABCD. Известно, что AC = 9 см, BD = 12 см, AB = 3 см, CD = 8 см и BC = 6 см. Найдите AD.

№10 · ЗАДАЧА

МНОГОШАГОВАЯ ЗАДАЧА · 5 БАЛЛОВ

10. Исследуем две диагонали

Артём работает с вписанным четырёхугольником ABCD. Стороны равны AB = 5 см, BC = 7 см, CD = 9 см, AD = 11 см. Диагональ AC на 4 см больше диагонали BD. Найдите обе диагонали.

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Типы заданий

Создайте дополнительно

Другие темы по геометрии для 9 класса

Применение теорем синусов и косинусов при решении задач на вычисления Тригонометрия. Теорема синусов. Решение треугольников Решение задач на нахождение площади треугольников и четырёхугольников различными способами Углы, вписанные в окружность Практическое применение доказанных теорем Теорема о произведении отрезков хорд, секущих и касательной Площадь выпуклого многоугольника Теорема синусов и косинус Уравнение прямой. Уравнение окружности Теорема косинусов, теорема синусов; Решение треугольников; Практическое применение доказанных теорем; Формулы приведения; Определение тригонометрических функций углов от 0° до 180°Подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними

Чем удобны рабочие листы Нейрум

По действующей программеТемы и задания совпадают со школьной программой 1–11 классов. Открыли — дали классу, без правок.
Готово к печати, с ответамиPDF в формате A4 и ключ ответов на отдельной странице. Скачали, распечатали, раздали — без правок в Word.
Свой лист за минутуНе нашли нужный? ИИ-конструктор соберёт лист по вашей теме, классу и типам заданий.

Вопросы и ответы

Как скачать рабочий лист «Теорема Птолемея»?

Зарегистрируйтесь бесплатно — лист сохранится в личном кабинете, откуда его можно скачать в PDF и распечатать.

Сколько заданий в листе и какие они?

В листе 20 заданий: множественный выбор, заполни пропуски, реши примеры, таблица, соединение, истина / Ложь, сравни числа, найти лишнее, реши задачу, краткий ответ.

Соответствует ли лист ФГОС?

Да, задания ориентированы на школьную программу по геометрии для 9 класса по ФГОС.

Можно ли изменить задания под свой класс?

Да. После регистрации лист открывается в конструкторе: задания можно заменить, перегенерировать или добавить новые.

Теорема Птолемея

Типы заданий

1. Связь диагоналей и сторон

2. Запись теоремы Птолемея

3. Произведение диагоналей

4. Поиск неизвестной диагонали

5. Элементы формулы и их роль

6. Условия применения теоремы

7. Сравнение произведений в формуле

8. Выбор данных для теоремы

9. Диагональ вписанного четырёхугольника

10. Нахождение стороны по диагоналям

1. Применяем теорему Птолемея

2. Восстанавливаем формулу Птолемея

3. Когда работает теорема

4. Находим сторону по диагоналям

5. Выражаем диагональ

6. Находим произведение диагоналей

7. Находим диагональ с дробными данными

8. Связываем диагональ и периметр

9. Восстанавливаем сторону

10. Исследуем две диагонали

Похожие рабочие листы

Применение теорем синусов и косинусов при решении задач на вычисления

Тригонометрия. Теорема синусов. Решение треугольников

Решение задач на нахождение площади треугольников и четырёхугольников различными способами

Другие темы по геометрии для 9 класса

Чем удобны рабочие листы Нейрум

Вопросы и ответы