Рабочий лист на тему:

Теорема о пропорциональных отрезках

Геометрия9 класс20 заданий

Реши примерыРеши задачу

Типы заданий

Реши примерыРеши задачу

9 класс · средний

Ф.И.
Класс

Теорема о пропорциональных отрезках — фундамент подобия и ключ к решению сложных задач на ОГЭ. Сегодня мы научимся видеть скрытые отношения в геометрических фигурах.

№1 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 1 БАЛЛ

1. Пропорции в отрезках

Найдите неизвестное значение $x$ из данных пропорциональных отношений.

\frac{x}{15} = \frac{4}{5}

\frac{6}{x} = \frac{18}{12}

\frac{3}{7} = \frac{x}{21}

№2 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

2. Параллельные прямые на угле

На сторонах угла с вершиной $O$ отмечены точки $A, B$ и $C, D$ так, что $A C ∥ B D$ . Известно, что $O A = 3$ см, $A B = 9$ см, $O C = 4$ см. Найдите длину отрезка $C D$ .

Параллельные прямые AC и BD

№3 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 1 БАЛЛ

3. Свойство биссектрисы

Используя свойство биссектрисы треугольника ( $\frac{a}{b} = \frac{a _{1}}{b _{1}}$ ), найдите неизвестную сторону или отрезок.

Если A B = 8, B C = 12, A D = 6, то D C

Если A B = 10, A D = 5, D C = 7, то B C

Если B C = 15, A D = 4, D C = 6, то A B

№4 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

4. Деление отрезка в отношении

Отрезок $M N$ длиной 48 см разделен точкой $K$ на два отрезка в отношении $3 : 5$ , считая от точки $M$ . Найдите длину большего из полученных отрезков.

Отрезок MN

№5 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

2 УРАВНЕНИЯ · 2 БАЛЛА

5. Алгебра в геометрии

Решите уравнения, составленные по теореме о пропорциональных отрезках.

\frac{x}{x + 8} = \frac{3}{5}

\frac{x - 3}{4} = \frac{4}{x + 3}

№6 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

6. Подобные треугольники и параллельность

В треугольнике $A B C$ со стороной $A C = 36$ см проведена прямая $K L ∥ A C$ ( $K \in A B, L \in B C$ ). Найдите длину отрезка $K L$ , если $B K : K A = 2 : 1$ .

Треугольник ABC с секущей KL

№7 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 2 БАЛЛА

7. Площади и отношения

Найдите отношение площадей подобных треугольников, если известны отношения их сходственных сторон $k$ .

k = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{S _{1}}{S _{2}}

k = 2.5 \Rightarrow \frac{S _{1}}{S _{2}}

k = \frac{7}{3} \Rightarrow \frac{S _{1}}{S _{2}}

№8 · СЛОЖНЫЙ УРОВЕНЬ

ЗАДАЧА · 4 БАЛЛА

8. Теорема Менелая

В треугольнике $A B C$ на стороне $A B$ взята точка $M$ так, что $A M : M B = 2 : 3$ , а на стороне $B C$ — точка $N$ так, что $B N : N C = 1 : 2$ . Прямая $M N$ пересекает продолжение стороны $A C$ в точке $K$ . Найдите отношение $C K : A K$ .

Применение теоремы Менелая

№9 · СЛОЖНЫЙ УРОВЕНЬ

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 3 БАЛЛА

9. Средние пропорциональные

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит её на отрезки $a_{c}$ и $b_{c}$ . Найдите неизвестные элементы ( $h$ — высота, $a$ — катет).

a_{c} = 4, b_{c} = 25 \Rightarrow h

h = 8, a_{c} = 4 \Rightarrow b_{c}

a_{c} = 3, c = 12 \Rightarrow a

№10 · СЛОЖНЫЙ УРОВЕНЬ

ЗАДАЧА · 5 БАЛЛОВ

10. Пересечение чевиан

В треугольнике $A B C$ на сторонах $A B$ и $B C$ взяты точки $K$ и $L$ так, что $A K : K B = 1 : 2$ и $B L : L C = 3 : 1$ . Отрезки $A L$ и $C K$ пересекаются в точке $O$ . Найдите отношение $A O : O L$ .

Пересечение отрезков AL и CK

№1 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 1 БАЛЛ

1. Пропорции в отрезках

Найдите неизвестное значение $x$ из данных пропорциональных отношений.

\frac{x}{12} = \frac{5}{3}

\frac{7}{x} = \frac{14}{10}

\frac{4}{9} = \frac{x}{18}

+10 заданий в этом листе

Зарегистрируйтесь — и соберите свой рабочий лист по этой теме за минуту: заданий столько, сколько нужно.

№2 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

2. Параллельные прямые на угле

На сторонах угла с вершиной $O$ отмечены точки $A, B$ и $C, D$ так, что $A C ∥ B D$ . Известно, что $O A = 4$ см, $A B = 6$ см, $O C = 6$ см. Найдите длину отрезка $C D$ .

Параллельные прямые AC и BD

№3 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 1 БАЛЛ

3. Свойство биссектрисы

Если A B = 6, B C = 9, A D = 4, то D C

Если A B = 5, A D = 2, D C = 4, то B C

Если B C = 12, A D = 3, D C = 4, то A B

№4 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

4. Деление отрезка в отношении

Отрезок $M N$ длиной 35 см разделен точкой $K$ на два отрезка в отношении $2 : 3$ , считая от точки $M$ . Найдите длину большего из полученных отрезков.

Отрезок MN

№5 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

2 УРАВНЕНИЯ · 2 БАЛЛА

5. Алгебра в геометрии

Решите уравнения, составленные по теореме о пропорциональных отрезках.

\frac{x}{x + 5} = \frac{2}{7}

\frac{x - 1}{4} = \frac{6}{x + 1}

№6 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

6. Подобные треугольники и параллельность

В треугольнике $A B C$ со стороной $A C = 20$ см проведена прямая $K L ∥ A C$ ( $K \in A B, L \in B C$ ). Найдите длину отрезка $K L$ , если $B K : K A = 3 : 2$ .

Треугольник ABC с секущей KL

№7 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 2 БАЛЛА

7. Площади и отношения

Найдите отношение площадей подобных треугольников, если известны отношения их сходственных сторон $k$ .

k = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{S _{1}}{S _{2}}

k = 1.5 \Rightarrow \frac{S _{1}}{S _{2}}

k = \frac{5}{2} \Rightarrow \frac{S _{1}}{S _{2}}

№8 · СЛОЖНЫЙ УРОВЕНЬ

ЗАДАЧА · 4 БАЛЛА

8. Теорема Менелая

В треугольнике $A B C$ на стороне $A B$ взята точка $M$ так, что $A M : M B = 1 : 2$ , а на стороне $B C$ — точка $N$ так, что $B N : N C = 3 : 2$ . Прямая $M N$ пересекает продолжение стороны $A C$ в точке $K$ . Найдите отношение $C K : A K$ .

Применение теоремы Менелая

№9 · СЛОЖНЫЙ УРОВЕНЬ

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 3 БАЛЛА

9. Средние пропорциональные

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит её на отрезки $a_{c}$ и $b_{c}$ . Найдите неизвестные элементы ( $h$ — высота, $a, b$ — катеты, $c$ — гипотенуза).

a_{c} = 9, b_{c} = 16 \Rightarrow h

h = 6, a_{c} = 4 \Rightarrow b_{c}

a_{c} = 2, c = 8 \Rightarrow a

№10 · СЛОЖНЫЙ УРОВЕНЬ

ЗАДАЧА · 5 БАЛЛОВ

10. Пересечение чевиан

В треугольнике $A B C$ на сторонах $A B$ и $B C$ взяты точки $K$ и $L$ так, что $A K : K B = 2 : 1$ и $B L : L C = 1 : 2$ . Отрезки $A L$ и $C K$ пересекаются в точке $O$ . Найдите, в каком отношении точка $O$ делит отрезок $A L$ , считая от вершины $A$ .

Пересечение отрезков AL и CK

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Другие темы по геометрии для 9 класса

Вычитание векторов Векторы коллинеарные и сонаправленные Касательная к окружности Решение треугольника Повторение, обобщение, систематизация знаний Хорда Понятие о преобразовании подобия; Соответственные элементы подобных фигур; Теорема о произведении отрезков хорд, теорема о произведении отрезков секущих, теорема о квадрате касательной; Применение в Векторы Повторение основных понятий и методов курсов 7-9 классов, обобщение и систематизация знаний Признаки равенства треугольников Повторение темы векторов Подобие треугольников

Чем удобны рабочие листы Нейрум

По действующей программеТемы и задания совпадают со школьной программой 1–11 классов. Открыли — дали классу, без правок.
Готово к печати, с ответамиPDF в формате A4 и ключ ответов на отдельной странице. Скачали, распечатали, раздали — без правок в Word.
Свой лист за минутуНе нашли нужный? ИИ-конструктор соберёт лист по вашей теме, классу и типам заданий.

Вопросы и ответы

Как скачать рабочий лист «Теорема о пропорциональных отрезках»?

Зарегистрируйтесь бесплатно — лист сохранится в личном кабинете, откуда его можно скачать в PDF и распечатать.

Сколько заданий в листе и какие они?

В листе 20 заданий: реши примеры, реши задачу.

Соответствует ли лист ФГОС?

Да, задания ориентированы на школьную программу по геометрии для 9 класса по ФГОС.

Можно ли изменить задания под свой класс?

Да. После регистрации лист открывается в конструкторе: задания можно заменить, перегенерировать или добавить новые.

Теорема о пропорциональных отрезках

Типы заданий

1. Пропорции в отрезках

2. Параллельные прямые на угле

3. Свойство биссектрисы

4. Деление отрезка в отношении

5. Алгебра в геометрии

6. Подобные треугольники и параллельность

7. Площади и отношения

8. Теорема Менелая

9. Средние пропорциональные

10. Пересечение чевиан

1. Пропорции в отрезках

2. Параллельные прямые на угле

3. Свойство биссектрисы

4. Деление отрезка в отношении

5. Алгебра в геометрии

6. Подобные треугольники и параллельность

7. Площади и отношения

8. Теорема Менелая

9. Средние пропорциональные

10. Пересечение чевиан

Похожие рабочие листы

Вычитание векторов

Векторы коллинеарные и сонаправленные

Касательная к окружности

Другие темы по геометрии для 9 класса

Чем удобны рабочие листы Нейрум

Вопросы и ответы