Рабочий лист на тему:

Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников

Q: Как скачать рабочий лист «Самостоятельная работа «Теоремы синусов и косинусов»»?

Зарегистрируйтесь бесплатно — лист сохранится в личном кабинете, откуда его можно скачать в PDF и распечатать.

Q: Сколько заданий в листе и какие они?

В листе 30 заданий: множественный выбор, краткий ответ, заполни пропуски, истина / Ложь, соединение, реши примеры, сравни числа, реши задачу, таблица, найти лишнее, последовательность.

Q: Соответствует ли лист ФГОС?

Да, задания ориентированы на школьную программу по геометрии для 9 класса по ФГОС.

Q: Можно ли изменить задания под свой класс?

Да. После регистрации лист открывается в конструкторе: задания можно заменить, перегенерировать или добавить новые.

Подтемы: Самостоятельная работа «Теоремы синусов и косинусов»

Геометрия9 класс30 заданий

Множественный выборКраткий ответЗаполни пропускиИстина / ЛожьСоединениеРеши примерыСравни числаРеши задачуТаблицаНайти лишнееПоследовательность

Типы заданий

Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников

9 класс · дифференцированный

Ф.И.
Класс

Проверь, как теоремы синусов и косинусов помогают находить неизвестные стороны и углы треугольника. Задачи будут постепенно усложняться — выбирай способ решения внимательно.

№1 · ФОРМУЛА

1 ВЫРАЖЕНИЕ · 1 БАЛЛ

1. Теорема косинусов

Выберите формулу, которая выражает квадрат стороны a через стороны b и c и угол A между ними.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$
$a^{2} = b^{2} + c^{2} + 2 b c cos A$
$a = b + c - 2 b c cos A$
$a^{2} = b^{2} - c^{2} - 2 b c cos A$

№2 · ЗНАЧЕНИЕ

1 ВЫРАЖЕНИЕ · 1 БАЛЛ

2. Косинус тупого угла

Найдите значение выражения $cos 12 0^{\circ}$ .

№3 · ФОРМУЛА

1 ПРОПУСК · 1 БАЛЛ

3. Теорема синусов

Вставьте пропущенную часть формулы теоремы синусов.

В треугольнике $A B C$ : $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n ab c}$

№4 · ИСТИНА И ЛОЖЬ

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 1 БАЛЛ

4. Свойства теорем

Определите истинность каждого утверждения о теоремах синусов и косинусов.

В теореме косинусов угол должен быть заключён между двумя известными сторонами.
Теорема синусов связывает стороны треугольника с синусами противолежащих углов.
Теорема косинусов применима только к прямоугольным треугольникам.
В треугольнике сумма углов равна $18 0^{\circ}$ .

№5 · СООТНЕСЕНИЕ

3 ПАРЫ · 1 БАЛЛ

5. Формула и её назначение

Соотнесите формулу с величиной, которую она позволяет найти непосредственно.

№6 · ВЫРАЖЕНИЯ

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 1 БАЛЛ

6. Базовые значения

Вычислите выражения.

cos 6 0^{\circ}

sin 9 0^{\circ}

sin 18 0^{\circ}

№7 · СРАВНЕНИЕ

2 СРАВНЕНИЯ · 1 БАЛЛ

7. Сравните значения

Сравните значения в каждой строке, поставив нужный знак.

cos 12 0^{\circ}

cos 6 0^{\circ}

sin 3 0^{\circ}

cos 6 0^{\circ}

№8 · ВЫЧИСЛЕНИЕ

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

8. Сторона по теореме косинусов

В треугольнике $A B C$ стороны $b = 7$ и $c = 9$ , а угол $A = 6 0^{\circ}$ . Найдите сторону $a$ .

№9 · ВЫЧИСЛЕНИЕ

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

9. Сторона по теореме синусов

В треугольнике $A B C$ сторона $a = 10$ , угол $A = 3 0^{\circ}$ , угол $B = 4 5^{\circ}$ . Найдите сторону $b$ .

№10 · ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ

3 ПРОПУСКА · 2 БАЛЛА

10. Преобразуйте значения

Заполните пропуски, используя формулы приведения.

$sin (18 0^{\circ} - α) = sin \underline{ab c}$ ; $cos (18 0^{\circ} - α) = \underline{ab c} cos α$ ; $sin (9 0^{\circ} - α) = cos \underline{ab c}$ .

№11 · ВЫБОР МЕТОДА

1 ВОПРОС · 2 БАЛЛА

11. Какую теорему применить?

В треугольнике известны две стороны и угол между ними. Какую теорему удобно применить для нахождения третьей стороны?

Теорему косинусов
Теорему синусов
Теорему о средней линии
Теорему о вписанном угле

№12 · ИСТИНА И ЛОЖЬ

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 2 БАЛЛА

12. Решение треугольника

Определите истинность утверждений о решении треугольника.

После нахождения двух углов третий угол можно найти вычитанием их суммы из $18 0^{\circ}$ .
Большей стороне треугольника противолежит меньший угол.
Если известны сторона и два угла, треугольник можно решить.
Синус угла треугольника всегда отрицателен.

№13 · ПРОПУСКИ

2 ПРОПУСКА · 2 БАЛЛА

13. Найдите угол

Заполните пропуски в рассуждении.

Если $sin A = \frac{1}{2}$ и $0^{\circ} < A < 18 0^{\circ}$ , то $A = \underline{ab c}$ или $A = \underline{ab c}$ .

№14 · СООТНЕСЕНИЕ

3 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

14. Данные и неизвестная

Соотнесите набор данных с величиной, которую можно найти первым действием.

№15 · ТАБЛИЦА

3 СТРОКИ · 2 БАЛЛА

15. Заполните таблицу

Вычислите неизвестную величину в каждой строке таблицы.

Данные	Формула	Ответ
$a = 6$ , $A = 3 0^{\circ}$ , $B = 9 0^{\circ}$	Теорема синусов
$b = 5$ , $c = 5$ , $A = 6 0^{\circ}$	Теорема косинусов
$A = 4 0^{\circ}$ , $B = 6 0^{\circ}$	Сумма углов

№16 · ЛИШНЕЕ

4 ЭЛЕМЕНТА · 2 БАЛЛА

16. Найдите лишнюю формулу

Выберите формулу, которая не относится непосредственно к теоремам синусов и косинусов.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$
$\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B}$
$S = \frac{1}{2} b c sin A$
$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

+15 заданий в этом листе

Зарегистрируйтесь — и соберите свой рабочий лист по этой теме за минуту: заданий столько, сколько нужно.

№17 · ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

4 ШАГА · 2 БАЛЛА

17. Алгоритм решения

Расположите шаги решения треугольника в правильном порядке.

Найти неизвестный угол по сумме углов или выбранной теореме.
Найти оставшуюся сторону по теореме синусов или косинусов.
Проверить, что найденные значения согласуются с условиями задачи.
Записать известные стороны и углы.

№18 · ВЫЧИСЛЕНИЕ

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

18. Угол по теореме косинусов

В треугольнике стороны $a = 5$ , $b = 7$ , $c = 8$ . Найдите угол $C$ , противолежащий стороне $c$ .

№19 · ПЛОЩАДЬ

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

19. Площадь через синус

Стороны треугольника равны $b = 8$ см и $c = 10$ см, угол между ними равен $3 0^{\circ}$ . Найдите площадь треугольника.

№20 · РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА

1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

20. Выберите теорему

В треугольнике $a = 8$ , $b = 11$ , $C = 12 0^{\circ}$ . Найдите сторону $c$ и объясните выбор теоремы.

№21 · ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА

1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

21. Расстояние до точки

Из пункта A до пункта B — 6 км, из пункта A до пункта C — 9 км, угол BAC равен $6 0^{\circ}$ . Найдите расстояние BC.

№22 · ДВА РЕШЕНИЯ

1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

22. Неоднозначный угол

В треугольнике $a = 6$ , $A = 3 5^{\circ}$ , $B = 8 0^{\circ}$ . Найдите сторону $b$ и угол $C$ .

№23 · ПЛОЩАДЬ И СТОРОНА

1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

23. Восстановите треугольник

В треугольнике $b = 10$ , $c = 14$ , $A = 6 0^{\circ}$ . Найдите сторону $a$ и площадь треугольника.

№24 · ВЫБОР УСЛОВИЯ

1 ВОПРОС · 3 БАЛЛА

24. Возможен ли треугольник?

Даны стороны $a = 4$ , $b = 5$ , $c = 10$ . Определите, существует ли треугольник с такими сторонами.

№25 · ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

25. Угол между сторонами

В треугольнике стороны $b = 7$ и $c = 8$ , а сторона $a = 9$ . Найдите угол $A$ между сторонами $b$ и $c$ . Ответ округлите до десятых градуса.

№26 · ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА

1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

26. Диагональ участка

Участок имеет форму треугольника. Две его стороны равны 18 м и 25 м, а угол между ними равен $12 0^{\circ}$ . Найдите третью сторону участка.

№27 · ПРОПУСКИ

3 ПРОПУСКА · 3 БАЛЛА

27. Полное решение треугольника

Заполните пропуски в решении треугольника.

Дано: $a = 10$ , $A = 3 0^{\circ}$ , $B = 4 5^{\circ}$ . Тогда $C = \underline{ab c}$ . По теореме синусов $b = 10 \cdot \frac{s i n 4 5 ^{\circ}}{s i n 3 0 ^{\circ}} = \underline{ab c}$ . Аналогично $c = 10 \cdot \frac{s i n 10 5 ^{\circ}}{s i n 3 0 ^{\circ}} \approx \underline{ab c}$ .

№28 · ТАБЛИЦА

3 СТРОКИ · 3 БАЛЛА

28. Анализ способов решения

Для каждого набора данных укажите подходящую теорему и найдите указанную величину.

Данные	Что найти	Теорема
$b = 6$ , $c = 8$ , $A = 6 0^{\circ}$
$a = 12$ , $A = 3 0^{\circ}$ , $B = 4 5^{\circ}$
$b = 9$ , $c = 10$ , $A = 12 0^{\circ}$

№29 · ИСТИНА И ЛОЖЬ

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 3 БАЛЛА

29. Проверь рассуждение

Определите истинность утверждений о вычислениях в треугольнике.

Если угол между двумя известными сторонами равен $12 0^{\circ}$ , то в теореме косинусов слагаемое $- 2 b c cos 12 0^{\circ}$ положительно.
Если $a = 10$ и $A = 3 0^{\circ}$ , то по теореме синусов для любой стороны b можно сразу записать $b = 10 sin B$ .
В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
При округлении промежуточных значений точность окончательного ответа всегда увеличивается.

№30 · КОМПЛЕКСНАЯ ЗАДАЧА

1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

30. Треугольник по трём данным

В треугольнике $A B C$ стороны $a = 7$ , $b = 9$ , $c = 12$ . Найдите угол $C$ и площадь треугольника. Ответ для угла округлите до десятых градуса.

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Типы заданий

Создайте дополнительно

Другие темы по геометрии для 9 класса

Определение синуса, косинуса и тангенса Нахождение сторон и углов в треугольнике Решение задач на теорему Пифагора Законы сложения векторов Переместительный и сочетательный закон сложения векторов Умножение векторов Определение тригонометрических функций углов от 0° до 180°; Теорема косинусов, теорема синусов; Решение треугольников; Практическое применение доказанных теорем Ключевые формулы площадей Решение задач с помощью векторов Практикум «Действия с векторами»; Применение векторов к решению задач Формула площади четырехугольника через диагонали и угол между ними Применение векторов для решения задач физики

Чем удобны рабочие листы Нейрум

По действующей программеТемы и задания совпадают со школьной программой 1–11 классов. Открыли — дали классу, без правок.
Готово к печати, с ответамиPDF в формате A4 и ключ ответов на отдельной странице. Скачали, распечатали, раздали — без правок в Word.
Свой лист за минутуНе нашли нужный? ИИ-конструктор соберёт лист по вашей теме, классу и типам заданий.

Вопросы и ответы

Как скачать рабочий лист «Самостоятельная работа «Теоремы синусов и косинусов»»?

Зарегистрируйтесь бесплатно — лист сохранится в личном кабинете, откуда его можно скачать в PDF и распечатать.

Сколько заданий в листе и какие они?

В листе 30 заданий: множественный выбор, краткий ответ, заполни пропуски, истина / Ложь, соединение, реши примеры, сравни числа, реши задачу, таблица, найти лишнее, последовательность.

Соответствует ли лист ФГОС?

Да, задания ориентированы на школьную программу по геометрии для 9 класса по ФГОС.

Можно ли изменить задания под свой класс?

Да. После регистрации лист открывается в конструкторе: задания можно заменить, перегенерировать или добавить новые.

Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников

Подтемы: Самостоятельная работа «Теоремы синусов и косинусов»

Типы заданий

1. Теорема косинусов

2. Косинус тупого угла

3. Теорема синусов

4. Свойства теорем

5. Формула и её назначение

6. Базовые значения

7. Сравните значения

8. Сторона по теореме косинусов

9. Сторона по теореме синусов

10. Преобразуйте значения

11. Какую теорему применить?

12. Решение треугольника

13. Найдите угол

14. Данные и неизвестная

15. Заполните таблицу

16. Найдите лишнюю формулу

17. Алгоритм решения

18. Угол по теореме косинусов

19. Площадь через синус

20. Выберите теорему

21. Расстояние до точки

22. Неоднозначный угол

23. Восстановите треугольник

24. Возможен ли треугольник?

25. Угол между сторонами

26. Диагональ участка

27. Полное решение треугольника

28. Анализ способов решения

29. Проверь рассуждение

30. Треугольник по трём данным

Похожие рабочие листы

Определение синуса, косинуса и тангенса

Нахождение сторон и углов в треугольнике

Решение задач на теорему Пифагора

Другие темы по геометрии для 9 класса

Чем удобны рабочие листы Нейрум

Вопросы и ответы