Рабочий лист на тему:

Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников

Подтемы: Решение треугольников, Практическое применение доказанных теорем, Теорема косинусов, теорема синусов, Формулы приведения, Определение тригонометрических функций углов от 0° до 180°

Геометрия9 класс30 заданий

Реши примерыРеши задачуКраткий ответ

Типы заданий

Реши примерыРеши задачуКраткий ответ

Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников

9 класс · дифференцированный

Ф.И.
Класс

Сегодня мы закрепим навыки работы с теоремами синусов и косинусов. Эти инструменты позволяют найти любой элемент треугольника, зная лишь три его части.

№1 · ПРИМЕРЫ

1 ВЫРАЖЕНИЕ · 1 БАЛЛ

1. Значения тригонометрических функций

Вычислите значение выражения, используя формулы приведения.

cos 12 0^{\circ}

№2 · ЗАДАЧА

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ · 1 БАЛЛ

2. Нахождение стороны треугольника

В треугольнике $A B C$ стороны $A B = 5$ , $A C = 8$ , а угол между ними $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите длину стороны $B C$ .

№3 · КРАТКИЙ ОТВЕТ

ТЕОРЕМА СИНУСОВ · 1 БАЛЛ

3. Отношение стороны к синусу угла

В треугольнике сторона $a = 10$ , а противолежащий ей угол $α = 3 0^{\circ}$ . Чему равно отношение $\frac{a}{s i n α}$ ?

№4 · ПРИМЕРЫ

1 ВЫРАЖЕНИЕ · 1 БАЛЛ

4. Формулы приведения

Найдите значение синуса тупого угла.

sin 15 0^{\circ}

№5 · ЗАДАЧА

РАДИУС ОКРУЖНОСТИ · 1 БАЛЛ

5. Радиус описанной окружности

Найдите радиус $R$ окружности, описанной около треугольника, если его сторона равна $63$ , а противолежащий ей угол равен $6 0^{\circ}$ .

№6 · КРАТКИЙ ОТВЕТ

ОСНОВНОЕ ТОЖДЕСТВО · 1 БАЛЛ

6. Косинус угла

Угол $α$ — острый угол треугольника. Найдите $cos α$ , если $sin α = 0, 8$ .

№7 · ПРИМЕРЫ

1 ВЫРАЖЕНИЕ · 1 БАЛЛ

7. Тангенс угла

Вычислите значение тангенса угла $13 5^{\circ}$ .

tg 13 5^{\circ}

№8 · ЗАДАЧА

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ · 1 БАЛЛ

8. Квадрат стороны

В треугольнике стороны равны 3 и 4, а угол между ними $9 0^{\circ}$ . Найдите квадрат третьей стороны, используя теорему косинусов.

№9 · КРАТКИЙ ОТВЕТ

ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ · 1 БАЛЛ

9. Связь синусов

Чему равно значение $sin (18 0^{\circ} - α)$ , если $sin α = 0, 25$ ?

№10 · ПРИМЕРЫ

1 ВЫРАЖЕНИЕ · 1 БАЛЛ

10. Косинус тупого угла

Вычислите значение косинуса угла $15 0^{\circ}$ .

cos 15 0^{\circ}

№11 · ПРИМЕРЫ

2 ВЫРАЖЕНИЯ · 2 БАЛЛА

11. Упрощение выражений

Упростите выражения, используя тригонометрические формулы для углов от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ .

sin^{2} 4 0^{\circ} + cos^{2} 14 0^{\circ}

cos 11 0^{\circ} + cos 7 0^{\circ}

№12 · ЗАДАЧА

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ · 2 БАЛЛА

12. Нахождение угла треугольника

В треугольнике стороны равны $a = 7$ , $b = 8$ , $c = 13$ . Найдите величину угла, лежащего против стороны $c$ .

№13 · КРАТКИЙ ОТВЕТ

ТЕОРЕМА СИНУСОВ · 2 БАЛЛА

13. Сторона треугольника

В треугольнике $A B C$ известно, что $B C = 42$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ . Найдите длину стороны $A B$ .

№14 · ПРИМЕРЫ

ВЫЧИСЛЕНИЯ · 2 БАЛЛА

14. Площадь треугольника

Вычислите площадь треугольника, если две его стороны равны 10 см и 12 см, а угол между ними равен $15 0^{\circ}$ .

\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot sin 15 0^{\circ}

№15 · ЗАДАЧА

ГЕОГРАФИЯ · 2 БАЛЛА

15. Межпредметная задача: Навигация

Корабль прошел 10 км на север, а затем повернул на северо-восток (под углом $13 5^{\circ}$ к прежнему курсу) и прошел еще $52$ км. На каком расстоянии от начальной точки он оказался?

№16 · КРАТКИЙ ОТВЕТ

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ · 2 БАЛЛА

16. Вид треугольника

Определите вид треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) со сторонами 5, 7 и 9.

+15 заданий в этом листе

Зарегистрируйтесь — и соберите свой рабочий лист по этой теме за минуту: заданий столько, сколько нужно.

№17 · ПРИМЕРЫ

ВЫРАЖЕНИЯ · 2 БАЛЛА

17. Значение выражения

Найдите значение выражения $23 cos 15 0^{\circ} - 4 sin 12 0^{\circ}$ .

23 \cdot (- \frac{3}{2}) - 4 \cdot \frac{3}{2}

№18 · ЗАДАЧА

БИССЕКТРИСА · 2 БАЛЛА

18. Длина биссектрисы

В треугольнике $A B C$ стороны $A B = 6$ , $A C = 10$ , а угол $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите площадь этого треугольника.

№19 · КРАТКИЙ ОТВЕТ

ТЕОРЕМА СИНУСОВ · 2 БАЛЛА

19. Синус угла

В треугольнике $A B C$ сторона $A B = 12$ , $B C = 10$ , $sin A = 0, 5$ . Найдите $sin C$ .

№20 · ЗАДАЧА

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ · 2 БАЛЛА

20. Диагонали параллелограмма

Стороны параллелограмма равны 6 см и 10 см, а один из его углов равен $6 0^{\circ}$ . Найдите длину меньшей диагонали.

№21 · ПРИМЕРЫ

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО · 3 БАЛЛА

21. Тригонометрическое тождество

Найдите значение выражения, если $tg α = - 2$ и угол $α$ тупой.

\frac{s i n α + c o s α}{s i n α - c o s α}

№22 · ЗАДАЧА

МЕДИАНА · 3 БАЛЛА

22. Медиана треугольника

В треугольнике $A B C$ стороны $A B = 8$ , $B C = 10$ , $A C = 12$ . Найдите длину медианы $B M$ , проведенной к стороне $A C$ .

№23 · КРАТКИЙ ОТВЕТ

ПЛОЩАДЬ · 3 БАЛЛА

23. Площадь четырехугольника

Найдите площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого равны 12 и 16 и пересекаются под углом $15 0^{\circ}$ .

№24 · ПРИМЕРЫ

СЛОЖНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ · 3 БАЛЛА

24. Радиус вписанной окружности

Найдите радиус вписанной окружности треугольника со сторонами 13, 14, 15.

\frac{S}{p} (где S = 84, p = 21)

№25 · ЗАДАЧА

БИССЕКТРИСА · 3 БАЛЛА

25. Угол между медианой и высотой

В треугольнике $A B C$ стороны $A B = 5$ , $B C = 7$ . Найдите отношение синусов углов $A$ и $C$ .

№26 · КРАТКИЙ ОТВЕТ

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ · 3 БАЛЛА

26. Сторона вписанного многоугольника

В окружность радиуса $R$ вписан треугольник, углы которого относятся как $1 : 2 : 3$ . Найдите отношение его сторон.

№27 · ПРИМЕРЫ

ВЫРАЖЕНИЯ · 3 БАЛЛА

27. Тригонометрическая сумма

Вычислите значение выражения $sin^{2} 1 0^{\circ} + sin^{2} 2 0^{\circ} + \dots + sin^{2} 17 0^{\circ} + sin^{2} 18 0^{\circ}$ .

\sum_{k = 1}^{18} sin^{2} (10 k^{\circ})

№28 · ЗАДАЧА

ОКРУЖНОСТЬ · 3 БАЛЛА

28. Хорда окружности

Хорда делит окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как $1 : 5$ . Найдите длину хорды, если радиус окружности равен 10.

№29 · КРАТКИЙ ОТВЕТ

ПРИКЛАДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ · 3 БАЛЛА

29. Расстояние между объектами

Два самолета вылетели из одного аэропорта одновременно. Один летит на запад со скоростью 600 км/ч, другой — на юг со скоростью 800 км/ч. Через какое время расстояние между ними составит 2000 км?

№30 · ЗАДАЧА

ТЕОРЕМА СИНУСОВ · 3 БАЛЛА

30. Сторона треугольника

В треугольнике $A B C$ угол $A$ равен $4 5^{\circ}$ , угол $B$ равен $7 5^{\circ}$ , а сторона $A B = 22$ . Найдите сторону $A C$ .

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Другие темы по геометрии для 9 класса

Определение синуса, косинуса и тангенса Нахождение сторон и углов в треугольнике Решение задач на теорему Пифагора Законы сложения векторов Переместительный и сочетательный закон сложения векторов Умножение векторов Определение тригонометрических функций углов от 0° до 180°; Теорема косинусов, теорема синусов; Решение треугольников; Практическое применение доказанных теорем Ключевые формулы площадей Решение задач с помощью векторов Практикум «Действия с векторами»; Применение векторов к решению задач Формула площади четырехугольника через диагонали и угол между ними Применение векторов для решения задач физики

Чем удобны рабочие листы Нейрум

По действующей программеТемы и задания совпадают со школьной программой 1–11 классов. Открыли — дали классу, без правок.
Готово к печати, с ответамиPDF в формате A4 и ключ ответов на отдельной странице. Скачали, распечатали, раздали — без правок в Word.
Свой лист за минутуНе нашли нужный? ИИ-конструктор соберёт лист по вашей теме, классу и типам заданий.

Вопросы и ответы

Как скачать рабочий лист «Решение треугольников; Практическое применение доказанных теорем; Теорема косинусов, теорема синусов; Формулы приведения; Определение тригонометрических функций углов от 0° до 180°»?

Зарегистрируйтесь бесплатно — лист сохранится в личном кабинете, откуда его можно скачать в PDF и распечатать.

Сколько заданий в листе и какие они?

В листе 30 заданий: реши примеры, реши задачу, краткий ответ.

Соответствует ли лист ФГОС?

Да, задания ориентированы на школьную программу по геометрии для 9 класса по ФГОС.

Можно ли изменить задания под свой класс?

Да. После регистрации лист открывается в конструкторе: задания можно заменить, перегенерировать или добавить новые.

Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников

Типы заданий

1. Значения тригонометрических функций

2. Нахождение стороны треугольника

3. Отношение стороны к синусу угла

4. Формулы приведения

5. Радиус описанной окружности

6. Косинус угла

7. Тангенс угла

8. Квадрат стороны

9. Связь синусов

10. Косинус тупого угла

11. Упрощение выражений

12. Нахождение угла треугольника

13. Сторона треугольника

14. Площадь треугольника

15. Межпредметная задача: Навигация

16. Вид треугольника

17. Значение выражения

18. Длина биссектрисы

19. Синус угла

20. Диагонали параллелограмма

21. Тригонометрическое тождество

22. Медиана треугольника

23. Площадь четырехугольника

24. Радиус вписанной окружности

25. Угол между медианой и высотой

26. Сторона вписанного многоугольника

27. Тригонометрическая сумма

28. Хорда окружности

29. Расстояние между объектами

30. Сторона треугольника

Похожие рабочие листы

Определение синуса, косинуса и тангенса

Нахождение сторон и углов в треугольнике

Решение задач на теорему Пифагора

Другие темы по геометрии для 9 класса

Чем удобны рабочие листы Нейрум

Вопросы и ответы