Рабочий лист на тему:

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Геометрия9 класс30 заданий

Множественный выборЗаполни пропускиИстина / ЛожьРеши задачуТаблицаСравни числаРеши примеры

Типы заданий

Множественный выборЗаполни пропускиИстина / ЛожьРеши задачуТаблицаСравни числаРеши примеры

разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

9 класс · дифференцированный

Ф.И.
Класс

Научимся представлять любой вектор на плоскости через два базовых направления. Это поможет решать сложные геометрические задачи с помощью простых алгебраических действий.

№1 · ТЕОРИЯ

1 ВЫБОР · 1 БАЛЛ

1. Условие разложения

При каком условии любой вектор плоскости можно единственным образом представить в виде $v = k_{1} a + k_{2} b$ ?

Векторы $a$ и $b$ неколлинеарны
Векторы $a$ и $b$ перпендикулярны
Векторы $a$ и $b$ имеют общую начальную точку
Векторы $a$ и $b$ противоположно направлены

№2 · ПРОПУСКИ

2 КОЭФФИЦИЕНТА · 1 БАЛЛ

2. Коэффициенты разложения

Найдите значения коэффициентов $x$ и $y$ для вектора $m = - 2 a + 1, 4 b$ .

В разложении $m = x a + y b$ коэффициенты принимают значения: $x =$ , $y =$ .

№3 · ИСТИННОСТЬ

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 1 БАЛЛ

3. Свойства векторов

Определите, являются ли данные утверждения верными или ложными.

Любые три вектора на плоскости всегда коллинеарны.
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам единственно.
Любой вектор можно разложить по двум коллинеарным векторам.
Коэффициенты разложения могут быть отрицательными числами.

№4 · ГЕОМЕТРИЯ

ЧЕРТЕЖ · 2 БАЛЛА

4. Разложение в треугольнике

В треугольнике $M K P$ точка $O$ — середина стороны $K P$ . Выразите вектор $M O$ через векторы $a = M K$ и $b = M P$ .

Медиана треугольника MKP

№5 · КООРДИНАТЫ

ТАБЛИЦА · 2 БАЛЛА

5. Координатный метод

Определите коэффициенты разложения вектора $c$ по базису $a$ и $b$ , используя их координаты.

Вектор $a$	Вектор $b$	Вектор $c$	Разложение $c = x a + y b$
$(1; 0)$	$(0; 1)$	$(- 4; 7)$
$(3; 2)$	$(1; 3)$	$(7; 7)$

№6 · СРАВНЕНИЕ

2 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

6. Сравнение коэффициентов

Сравните значения коэффициентов $x$ и $y$ в указанных разложениях.

x

при

v = 4 a - 6 b

y

при

v = 4 a - 6 b

x

при

u = 0, 8 a + 1, 2 b

y

при

u = 0, 8 a + 1, 2 b

№7 · ЛОГИКА

ВЫБОР · 2 БАЛЛА

7. Частные случаи разложения

Вектор $r$ представлен как $r = 0 a - 5 b$ . Сделайте вывод о взаимном расположении векторов.

Векторы $r$ и $b$ коллинеарны
Векторы $r$ и $a$ коллинеарны
Вектор $r$ является нулевым
Векторы $a$ и $b$ сонаправлены

№8 · МНОГОУГОЛЬНИК

ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

8. Разложение в параллелограмме

В параллелограмме $A B C D$ на стороне $C D$ отмечена точка $E$ такая, что $C E : E D = 1 : 3$ . Разложите вектор $A E$ по векторам $u = A B$ и $v = A D$ .

Параллелограмм ABCD, точка E на CD

№9 · СИСТЕМЫ

ВЫЧИСЛЕНИЕ · 3 БАЛЛА

9. Переход к новому базису

Вектор $c = 4 a - 2 b$ . Выразите его через базисные векторы $i$ и $j$ , если известно, что $a = 2 i + j$ и $b = i - 3 j$ .

1)Коэффициент при

i

2)Коэффициент при

j

№10 · ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

АНАЛИЗ · 3 БАЛЛА

10. Линейная зависимость

Даны векторы $p (4; 1)$ , $q (1; - 2)$ и $r (11; - 4)$ . Найдите такие числа $x$ и $y$ , чтобы выполнялось равенство $r = x p + y q$ .

№1 · ТЕОРИЯ

1 ВЫБОР · 1 БАЛЛ

1. Условие разложения

Выберите необходимое и достаточное условие, при котором любой вектор плоскости можно единственным образом разложить по векторам $a$ и $b$ .

Векторы $a$ и $b$ неколлинеарны
Векторы $a$ и $b$ перпендикулярны
Векторы $a$ и $b$ имеют общую начальную точку
Векторы $a$ и $b$ параллельны одной прямой

№2 · ПРОПУСКИ

2 КОЭФФИЦИЕНТА · 1 БАЛЛ

2. Коэффициенты разложения

Заполните пропуски в разложении вектора $m$ по векторам $a$ и $b$ , если известно, что $m = - 2 a + 1, 4 b$ .

В представлении $m = x a + y b$ коэффициенты равны: $x =$ , $y =$ .

№3 · ИСТИННОСТЬ

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 1 БАЛЛ

3. Свойства векторов

Оцените истинность утверждений о векторах на плоскости.

Любой вектор можно разложить по двум коллинеарным ненулевым векторам.
Если $a$ и $b$ неколлинеарны, то разложение вектора $c$ по ним единственно.
Коэффициенты разложения нулевого вектора по базису всегда равны нулю.
Разложение вектора возможно только по перпендикулярным векторам.

№4 · ГЕОМЕТРИЯ

ЧЕРТЕЖ · 2 БАЛЛА

4. Разложение через медиану

В треугольнике $M K P$ точка $O$ — середина стороны $K P$ . Разложите вектор $M O$ по векторам $m = M K$ и $p = M P$ . Запишите итоговую формулу.

Треугольник MKP с медианой MO

№5 · КООРДИНАТЫ

ТАБЛИЦА · 2 БАЛЛА

5. Координатный метод

Используя координаты векторов, найдите коэффициенты разложения $x$ и $y$ вектора $c$ по векторам $a$ и $b$ .

Вектор $a$	Вектор $b$	Вектор $c$	Разложение $c = x a + y b$
$(0; 1)$	$(1; 0)$	$(4; 7)$
$(3; 1)$	$(1; 3)$	$(8; 8)$

№6 · СРАВНЕНИЕ

2 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

6. Сравнение коэффициентов

Сравните значения коэффициентов $x$ и $y$ в заданных разложениях вектора $v = x a + y b$ .

x

при

v = 4 a + 6 b

y

при

v = 4 a + 6 b

x

при

v = - 1 a - 5 b

y

при

v = - 1 a - 5 b

+15 заданий в этом листе

Зарегистрируйтесь — и соберите свой рабочий лист по этой теме за минуту: заданий столько, сколько нужно.

№7 · ЛОГИКА

ВЫБОР · 2 БАЛЛА

7. Коллинеарность и разложение

Вектор $r$ разложен по векторам $a$ и $b$ следующим образом: $r = 0 a - 3 b$ . Какое утверждение верно?

Векторы $r$ и $b$ коллинеарны
Векторы $r$ и $a$ коллинеарны
Вектор $r$ равен вектору $a$
Векторы $a$ и $b$ сонаправлены

№8 · МНОГОУГОЛЬНИК

ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

8. Разложение в параллелограмме

В параллелограмме $A B C D$ точка $E$ лежит на стороне $C D$ так, что $C E : E D = 1 : 3$ . Разложите вектор $A E$ по векторам $u = A B$ и $v = A D$ .

Параллелограмм ABCD, точка E на стороне CD

№9 · СИСТЕМЫ

ВЫЧИСЛЕНИЕ · 3 БАЛЛА

9. Нахождение базиса по сумме

Вектор $z$ выражен через векторы $a$ и $b$ как $z = 3 m - 2 n$ . Известно, что $m = 2 e_{1} + e_{2}$ и $n = e_{1} - 3 e_{2}$ , где $e_{1}, e_{2}$ — неколлинеарные векторы. Найдите коэффициенты разложения $z$ по $e_{1}$ и $e_{2}$ .

z_{1} (при e_{1})

z_{2} (при e_{2})

№10 · ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

АНАЛИЗ · 3 БАЛЛА

10. Линейная зависимость

Даны векторы $p (1; 2)$ , $q (3; - 1)$ и $r (7; 7)$ . Найдите такие числа $x$ и $y$ , чтобы выполнялось равенство $r = x p + y q$ .

№1 · ТЕОРИЯ

1 ВЫБОР · 1 БАЛЛ

1. Условие разложения

Векторы $a$ и $b$ неколлинеарны
Векторы $a$ и $b$ сонаправлены
Векторы $a$ и $b$ имеют равные длины
Один из векторов является нулевым

№2 · ПРОПУСКИ

2 КОЭФФИЦИЕНТА · 1 БАЛЛ

2. Коэффициенты разложения

Заполните пропуски в разложении вектора $p$ по векторам $a$ и $b$ , если известно, что $p = 3 a - 0, 5 b$ .

В представлении $p = x a + y b$ коэффициенты равны: $x =$ , $y =$ .

№3 · ИСТИННОСТЬ

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 1 БАЛЛ

3. Свойства векторов

Оцените истинность утверждений о векторах на плоскости.

Любые два вектора на плоскости коллинеарны.
Коэффициенты разложения по двум неколлинеарным векторам определяются единственным образом.
Нулевой вектор можно разложить по любым двум неколлинеарным векторам.
Если векторы коллинеарны, их можно использовать как базис для разложения любого вектора.

№4 · ГЕОМЕТРИЯ

ЧЕРТЕЖ · 2 БАЛЛА

4. Разложение в треугольнике

В треугольнике $A B C$ точка $M$ — середина стороны $B C$ . Разложите вектор $A M$ по векторам $b = A B$ и $c = A C$ . Запишите итоговую формулу.

Медиана треугольника

№5 · КООРДИНАТЫ

ТАБЛИЦА · 2 БАЛЛА

5. Координатный метод

Используя координаты векторов, найдите коэффициенты разложения $x$ и $y$ вектора $c$ по векторам $a$ и $b$ . Векторы заданы в декартовой системе координат.

Вектор $a$	Вектор $b$	Вектор $c$	Разложение $c = x a + y b$
$(1; 0)$	$(0; 1)$	$(3; - 2)$
$(2; 1)$	$(1; 2)$	$(5; 4)$

№6 · СРАВНЕНИЕ

2 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

6. Сравнение коэффициентов

Сравните коэффициенты $x$ и $y$ в разложении вектора $m = x a + y b$ .

x

при

m = 5 a + 2 b

y

при

m = 5 a + 2 b

x

при

m = - 3 a + 4 b

y

при

m = - 3 a + 4 b

№7 · ЛОГИКА

ВЫБОР · 2 БАЛЛА

7. Коллинеарность и разложение

Вектор $p$ разложен по векторам $a$ и $b$ : $p = 4 a + 0 b$ . Что можно сказать об этих векторах?

Векторы $p$ и $a$ коллинеарны
Векторы $p$ и $b$ коллинеарны
Вектор $p$ перпендикулярен $a$
Вектор $p$ является нулевым

№8 · МНОГОУГОЛЬНИК

ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

8. Разложение в параллелограмме

В параллелограмме $A B C D$ точка $K$ делит сторону $B C$ в отношении $B K : K C = 2 : 1$ . Разложите вектор $D K$ по векторам $a = A B$ и $b = A D$ .

Параллелограмм ABCD

№9 · СИСТЕМЫ

ВЫЧИСЛЕНИЕ · 3 БАЛЛА

9. Нахождение базиса по сумме

Вектор $x$ разложен по неколлинеарным векторам $e_{1}$ и $e_{2}$ . Известно, что $x = 2 p + 3 q$ , где $p = e_{1} - e_{2}$ и $q = 2 e_{1} + e_{2}$ . Найдите коэффициенты разложения вектора $x$ по $e_{1}$ и $e_{2}$ .

x_{1} (коэффициент при e_{1})

x_{2} (коэффициент при e_{2})

№10 · ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

АНАЛИЗ · 3 БАЛЛА

10. Линейная зависимость

Даны три вектора: $a (2; 3)$ , $b (- 1; 2)$ и $c (8; 5)$ . Докажите, что вектор $c$ можно разложить по векторам $a$ и $b$ , и найдите это разложение.

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Типы заданий

Множественный выборЗаполни пропускиИстина / ЛожьРеши задачуТаблицаСравни числаРеши примеры

Создайте дополнительно

Другие темы по геометрии для 9 класса

Определение синуса, косинуса и тангенса Нахождение сторон и углов в треугольнике Решение задач на теорему Пифагора Законы сложения векторов Переместительный и сочетательный закон сложения векторов Умножение векторов Определение тригонометрических функций углов от 0° до 180°; Теорема косинусов, теорема синусов; Решение треугольников; Практическое применение доказанных теорем Ключевые формулы площадей Решение задач с помощью векторов Практикум «Действия с векторами»; Применение векторов к решению задач Формула площади четырехугольника через диагонали и угол между ними Применение векторов для решения задач физики

Чем удобны рабочие листы Нейрум

По действующей программеТемы и задания совпадают со школьной программой 1–11 классов. Открыли — дали классу, без правок.
Готово к печати, с ответамиPDF в формате A4 и ключ ответов на отдельной странице. Скачали, распечатали, раздали — без правок в Word.
Свой лист за минутуНе нашли нужный? ИИ-конструктор соберёт лист по вашей теме, классу и типам заданий.

Вопросы и ответы

Как скачать рабочий лист «разложение вектора по двум неколлинеарным векторам»?

Зарегистрируйтесь бесплатно — лист сохранится в личном кабинете, откуда его можно скачать в PDF и распечатать.

Сколько заданий в листе и какие они?

В листе 30 заданий: множественный выбор, заполни пропуски, истина / Ложь, реши задачу, таблица, сравни числа, реши примеры.

Соответствует ли лист ФГОС?

Да, задания ориентированы на школьную программу по геометрии для 9 класса по ФГОС.

Можно ли изменить задания под свой класс?

Да. После регистрации лист открывается в конструкторе: задания можно заменить, перегенерировать или добавить новые.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Типы заданий

1. Условие разложения

2. Коэффициенты разложения

3. Свойства векторов

4. Разложение в треугольнике

5. Координатный метод

6. Сравнение коэффициентов

7. Частные случаи разложения

8. Разложение в параллелограмме

9. Переход к новому базису

10. Линейная зависимость

1. Условие разложения

2. Коэффициенты разложения

3. Свойства векторов

4. Разложение через медиану

5. Координатный метод

6. Сравнение коэффициентов

7. Коллинеарность и разложение

8. Разложение в параллелограмме

9. Нахождение базиса по сумме

10. Линейная зависимость

1. Условие разложения

2. Коэффициенты разложения

3. Свойства векторов

4. Разложение в треугольнике

5. Координатный метод

6. Сравнение коэффициентов

7. Коллинеарность и разложение

8. Разложение в параллелограмме

9. Нахождение базиса по сумме

10. Линейная зависимость

Похожие рабочие листы

Определение синуса, косинуса и тангенса

Нахождение сторон и углов в треугольнике

Решение задач на теорему Пифагора

Другие темы по геометрии для 9 класса

Чем удобны рабочие листы Нейрум

Вопросы и ответы