Рабочий лист на тему:

Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников

Подтемы: Практическое применение доказанных теорем

Геометрия9 класс14 заданий

Краткий ответРеши примерыРеши задачуТаблица

Типы заданий

Краткий ответРеши примерыРеши задачуТаблица

Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников

9 класс · средний

Ф.И.
Класс

Разберём один треугольник от известных данных до всех его элементов: потренируем выбор теорем и вычисления, которые нужны в геодезии и навигации.

№1 · КРАТКИЙ ОТВЕТ

1 ВЕЛИЧИНА · 1 БАЛЛ

1. Третья сторона по теореме косинусов

В треугольнике ABC известны стороны $b = 7$ см и $c = 9$ см, а угол $A = 6 0^{\circ}$ . Найдите сторону $a$ с помощью теоремы косинусов. Запишите точное значение.

№2 · ВЫЧИСЛЕНИЯ

2 ВЫРАЖЕНИЯ · 1 БАЛЛ

2. Промежуточные вычисления для угла

Выполните вычисления, необходимые для дальнейшего нахождения угла $B$ в том же треугольнике: $b = 7$ см, $c = 9$ см, $A = 6 0^{\circ}$ , $a = 67$ см.

7^{2} + 9^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 9 \cdot cos 6 0^{\circ}

\frac{67 + 9 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 67}

№3 · РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

1 УГОЛ · 3 БАЛЛА

3. Угол B по теореме косинусов

Для треугольника ABC известны $a = 67$ см, $b = 7$ см и $c = 9$ см. Найдите угол $B$ , используя теорему косинусов. Ответ округлите до десятых долей градуса.

№4 · КРАТКИЙ ОТВЕТ

1 УГОЛ · 1 БАЛЛ

4. Третий угол треугольника

В треугольнике ABC угол $A = 6 0^{\circ}$ , а угол $B \approx 32, 3^{\circ}$ . Найдите угол $C$ . Ответ округлите до десятых долей градуса.

№1 · ТАБЛИЦА

3 СТРОКИ · 1 БАЛЛ

1. Формулы теорем

Заполните пропуски в таблице: восстановите недостающую формулу или обозначение, используя теоремы синусов и косинусов.

Что известно	Что можно найти	Формула
Две стороны и угол между ними	Третью сторону
Сторона и два угла	Стороны
Три стороны	Угол

№2 · РЕШЕНИЕ

1 ЗАДАЧА · 1 БАЛЛ

2. Косинус тупого угла

Вычислите значение $cos 12 0^{\circ}$ .

№3 · ТАБЛИЦА

3 СТРОКИ · 1 БАЛЛ

3. Формулы приведения

Заполните таблицу значениями тригонометрических выражений, используя формулы приведения.

Выражение	Преобразование	Значение
$sin (18 0^{\circ} - 3 5^{\circ})$	$sin 3 5^{\circ}$
$cos (18 0^{\circ} - 6 0^{\circ})$	$- cos 6 0^{\circ}$
$sin (18 0^{\circ} - 4 5^{\circ})$	$sin 4 5^{\circ}$

№4 · РЕШЕНИЕ

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

4. Сторона по двум сторонам и углу

В треугольнике $A B C$ известны $b = 7$ см, $c = 9$ см и $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите сторону $a$ .

+7 заданий в этом листе

Зарегистрируйтесь — и соберите свой рабочий лист по этой теме за минуту: заданий столько, сколько нужно.

№5 · ТАБЛИЦА

3 СТРОКИ · 2 БАЛЛА

5. Выбор неизвестной стороны

Заполните таблицу: найдите неизвестную сторону по теореме синусов. Ответы округлите до сотых.

Известные данные	Формула для неизвестной стороны	Ответ
$a = 10$ см, $A = 3 0^{\circ}$ , $B = 4 5^{\circ}$	$b = \frac{a s i n B}{s i n A}$
$b = 12$ см, $B = 6 0^{\circ}$ , $C = 3 0^{\circ}$	$c = \frac{b s i n C}{s i n B}$
$c = 8$ см, $C = 4 5^{\circ}$ , $A = 3 0^{\circ}$	$a = \frac{c s i n A}{s i n C}$

№6 · РЕШЕНИЕ

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

6. Нахождение угла по трём сторонам

В треугольнике стороны равны $a = 5$ см, $b = 6$ см, $c = 7$ см. Найдите угол $A$ с точностью до целого градуса.

№7 · ТАБЛИЦА

3 СТРОКИ · 2 БАЛЛА

7. Площадь через две стороны и угол

Заполните таблицу по формуле площади треугольника $S = \frac{1}{2} b c sin A$ .

$b$ и $c$	$A$	Площадь $S$
$6$ см и $8$ см	$3 0^{\circ}$
$5$ см и $10$ см	$9 0^{\circ}$
$7$ см и $4$ см	$6 0^{\circ}$

№8 · РЕШЕНИЕ

1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

8. Диагональ и расстояние

Два пункта $A$ и $B$ находятся на одной стороне реки. Из точки $C$ на другом берегу измерили $A C = 13$ м, $B C = 15$ м и угол $A C B = 6 0^{\circ}$ . Найдите расстояние $A B$ .

№9 · ТАБЛИЦА

3 СТРОКИ · 3 БАЛЛА

9. Полное решение треугольника

Заполните таблицу: для каждого треугольника найдите недостающую сторону или угол, выбрав теорему, которая непосредственно использует данные строки.

Данные	Выбранная теорема	Результат
$a = 8$ см, $b = 11$ см, $C = 12 0^{\circ}$
$a = 6$ см, $A = 3 5^{\circ}$ , $B = 8 0^{\circ}$
$a = 9$ см, $b = 7$ см, $c = 5$ см

№10 · РЕШЕНИЕ

1 ЗАДАЧА · 4 БАЛЛА

10. Практическое восстановление треугольника

Чтобы определить расстояние между пунктами $A$ и $B$ , выбрали доступную точку $C$ . Измерили $A C = 120$ м, $B C = 150$ м и угол $A C B = 4 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ с точностью до метра. Затем найдите площадь треугольника $A B C$ с точностью до квадратного метра.

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Другие темы по геометрии для 9 класса

Решение задач на нахождение площади треугольников и четырёхугольников различными способами Углы, вписанные в окружность Теорема о произведении отрезков хорд, секущих и касательной Площадь выпуклого многоугольника Теорема синусов и косинус Уравнение прямой. Уравнение окружности Теорема косинусов, теорема синусов; Решение треугольников; Практическое применение доказанных теорем; Формулы приведения; Определение тригонометрических функций углов от 0° до 180°Подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними Декартовы координаты точек на плоскости; Уравнение прямой; Уравнение окружности; Координаты точек пересечения окружности и прямой; Метод координат при решении геометрических задач, практических задач Решение треугольников; Теорема косинусов, теорема синусов; Формулы приведения; Определение тригонометрических функций углов от 0° до 180°Подобие треугольников и теорема Пифагора

Чем удобны рабочие листы Нейрум

По действующей программеТемы и задания совпадают со школьной программой 1–11 классов. Открыли — дали классу, без правок.
Готово к печати, с ответамиPDF в формате A4 и ключ ответов на отдельной странице. Скачали, распечатали, раздали — без правок в Word.
Свой лист за минутуНе нашли нужный? ИИ-конструктор соберёт лист по вашей теме, классу и типам заданий.

Вопросы и ответы

Как скачать рабочий лист «Практическое применение доказанных теорем»?

Зарегистрируйтесь бесплатно — лист сохранится в личном кабинете, откуда его можно скачать в PDF и распечатать.

Сколько заданий в листе и какие они?

В листе 14 заданий: краткий ответ, реши примеры, реши задачу, таблица.

Соответствует ли лист ФГОС?

Да, задания ориентированы на школьную программу по геометрии для 9 класса по ФГОС.

Можно ли изменить задания под свой класс?

Да. После регистрации лист открывается в конструкторе: задания можно заменить, перегенерировать или добавить новые.

Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников

Подтемы: Практическое применение доказанных теорем

Типы заданий

1. Третья сторона по теореме косинусов

2. Промежуточные вычисления для угла

3. Угол B по теореме косинусов

4. Третий угол треугольника

1. Формулы теорем

2. Косинус тупого угла

3. Формулы приведения

4. Сторона по двум сторонам и углу

5. Выбор неизвестной стороны

6. Нахождение угла по трём сторонам

7. Площадь через две стороны и угол

8. Диагональ и расстояние

9. Полное решение треугольника

10. Практическое восстановление треугольника

Похожие рабочие листы

Решение задач на нахождение площади треугольников и четырёхугольников различными способами

Углы, вписанные в окружность

Теорема о произведении отрезков хорд, секущих и касательной

Другие темы по геометрии для 9 класса

Чем удобны рабочие листы Нейрум

Вопросы и ответы