Касательная к окружности

СЛОЖНЫЙ ЧЕРТЁЖ · 4 БАЛЛА

9. Общая касательная

На рисунке изображены две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ и их общая внешняя касательная $AB$. Найдите длину отрезка $AB$, если радиусы равны $10$ и $2$, а расстояние $O_1{O}_2=17$.

ВЧИСЛЕНИЯ · 5 БАЛЛОВ

10. Радиус вписанной окружности

В прямоугольный треугольник с катетами $6$ и $8$ вписана окружность. Найдите расстояние от вершины прямого угла до точки касания окружности с катетом.

КОМБИНИРОВАННАЯ · 5 БАЛЛОВ

11. Описанная трапеция

Равнобедренная трапеция описана около окружности. Боковая сторона трапеции равна $10$ см. Найдите периметр этой трапеции.

5 БАЛЛОВ

12. Угол между касательными

К окружности с центром в точке $O$ из точки $M$ проведены две касательные $MA$ и $MB$ ($A$ и $B$ — точки касания). Найдите расстояние от точки $M$ до центра окружности, если известно, что расстояние между точками касания $AB=24$, а радиус окружности $R=15$. Ответ дайте с обоснованием решения.

3 БАЛЛА

13. Свойства и признаки касательных

Оцените истинность утверждений о взаимном расположении прямой и окружности, а также о свойствах касательных. Будьте внимательны: формулировки могут содержать тонкие неточности.

1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то такая прямая называется касательной.ИстинаЛожь
2. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.ИстинаЛожь
3. Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести ровно две касательные к этой окружности.ИстинаЛожь
4. Если прямая перпендикулярна радиусу окружности в любой его точке, то она является касательной к этой окружности.ИстинаЛожь
5. Центр окружности, вписанной в угол, равноудалён от сторон этого угла и лежит на его биссектрисе.ИстинаЛожь

1 ВАРИАНТ · 4 БАЛЛА

14. Вписанная окружность в трапецию

В равнобедренную трапецию, основания которой равны $8$ и $18$, вписана окружность. Найдите радиус этой окружности, используя свойства касательных и метрические соотношения в трапеции.

• $6$
• $12$
• $\sqrt{26}$
• $6.5$
• $9$

ЧЕРТЕЖ · 3 БАЛЛА

15. Касание двух окружностей

На чертеже изображены две окружности разных радиусов, которые касаются внешним образом в точке $K$. К ним проведена общая внешняя касательная, которая касается первой окружности в точке $A$, а второй — в точке $B$. Известно, что радиусы окружностей равны $R=9$ и $r=4$. Найдите длину отрезка касательной $AB$ и докажите, что угол $\angle AKB$ является прямым. Постройте на чертеже отрезки $AK$ и $BK$.