Углы при параллельных прямых

3 БАЛЛА

12. Уравнения углов

Найдите значение переменной $x$, если данные углы являются внутренними односторонними при параллельных прямых.

5 БАЛЛОВ

13. Сечение параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $A{A}_1$ и $C{C}_1$ соответственно. Докажите, что прямые $MD$ и $N{B}_1$ скрещиваются, и найдите угол между ними, если $AB=BC=A{A}_1=2$.

4 БАЛЛА

14. Свойства в пространстве

Определите, являются ли данные утверждения верными для любых трех прямых $a,b,c$ в пространстве.

1. Если $a\parallel b$ и $b\perp c$, то $a\perp c$.ИстинаЛожь
2. Если $a\perp c$ и $b\perp c$, то $a\parallel b$.ИстинаЛожь
3. Если прямая $a$ пересекает прямую $b$, а прямая $b$ параллельна $c$, то $a$ обязательно пересекает $c$.ИстинаЛожь

5 БАЛЛОВ

15. Комбинированная задача

Даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ под углом $30^{\circ }$. Под каким углом прямая $a$ пересекает плоскость $\beta$?

• $30^{\circ }$
• $60^{\circ }$
• $150^{\circ }$
• Угол может быть любым

ЗАДАЧА С ЧЕРТЕЖОМ · 5 БАЛЛОВ

16. Углы в пространственной конструкции

Дана правильная четырёхугольная призма $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. На ребре $B{B}^{\prime }$ отмечена точка $K$, а на ребре $D{D}^{\prime }$ — точка $M$ так, что $BK=\frac{1}{4}B{B}^{\prime }$, а $DM=\frac{3}{4}D{D}^{\prime }$. Плоскость, проходящая через точки $A,K,M$, пересекает ребро $C{C}^{\prime }$ в точке $L$. Найдите угол между прямыми $KL$ и $AM$, если известно, что основание призмы — квадрат со стороной $4$, а высота призмы $A{A}^{\prime }=8$. Ответ обоснуйте через свойства параллельных плоскостей и углов при секущей.

АНАЛИЗ УТВЕРЖДЕНИЙ · 3 БАЛЛА

17. Параллельность и углы в пространстве

Оцените истинность следующих утверждений, опираясь на аксиомы стереометрии и свойства углов при параллельных прямых. Учитывайте, что прямые могут не лежать в одной плоскости.

1. Если две прямые в пространстве перпендикулярны третьей прямой, то они обязательно параллельны между собой.ИстинаЛожь
2. Если при пересечении двух прямых третьей (секущей) сумма внутренних односторонних углов равна $180^{\circ }$, то эти прямые лежат в одной плоскости и параллельны.ИстинаЛожь
3. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести бесконечное множество прямых, скрещивающихся с данной, но все они будут образовывать равные соответственные углы с любой их общей секущей.ИстинаЛожь
4. Если две стороны одного угла соответственно параллельны двум сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо их сумма составляет $180^{\circ }$.ИстинаЛожь

ВЫБОР ВАРИАНТА · 2 БАЛЛА

18. Проектирование лестничного марша

Инженер проектирует металлическую лестницу, где перила (прямая $a$) должны быть строго параллельны основанию лестницы (прямая $b$). Для проверки параллельности он измерил угол между вертикальной опорой (секущая $c$) и перилами, который составил $122^{\circ }$. Каким должен быть угол $\alpha$ между этой же опорой и основанием лестницы, чтобы конструкция считалась верной, если известно, что опора установлена под тупым углом к направлению подъёма? Выберите верное математическое условие.

• $\alpha =122^{\circ }$, так как это соответственные углы при $a\parallel b$.
• $\alpha =58^{\circ }$, так как сумма внутренних односторонних углов должна быть $180^{\circ }$.
• $\alpha =122^{\circ }$, так как вертикальные углы всегда равны независимо от параллельности.
• $\alpha =90^{\circ }$, так как опора должна быть перпендикулярна основанию по СНиП.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ЧЕРТЁЖ · 5 БАЛЛОВ

19. Свойства углов в пространственной конструкции

Рассмотрим две параллельные прямые $a$ и $b$, лежащие в плоскости $\alpha$. Прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $A$, а прямую $b$ в точке $B$. Через точку $A$ проведена прямая $d$, не лежащая в плоскости $\alpha$, такая, что угол между прямой $d$ и прямой $c$ равен $74°$. Через точку $B$ в полуплоскости относительно прямой $c$, не содержащей прямую $d$, проведена прямая $e$, параллельная $d$. Найдите величину угла между прямой $e$ и прямой $b$, если известно, что накрест лежащий угол при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $c$ в два раза меньше угла между $d$ и $c$. В ответе запишите только числовое значение в градусах.

1 БАЛЛ

20. Виды углов

Распределите пары углов по их названиям при пересечении двух прямых секущей.

Слова для распределения: Внутренние углы по разные стороны от секущей, Внутренние углы по одну сторону от секущей, Внешние углы по разные стороны от секущей, Внешние углы по одну сторону от секущей