Теоремы Чевы и Менелая

2 БАЛЛА

7. Истина или ложь

Определите истинность утверждений о свойствах конфигураций в треугольнике.

1. Медианы треугольника являются чевианами и всегда пересекаются в одной точке.ИстинаЛожь
2. Теорема Менелая применима только в том случае, если секущая не параллельна ни одной из сторон.ИстинаЛожь
3. Если произведение отношений в теореме Чевы равно 2, чевианы все равно пересекутся в одной точке.ИстинаЛожь
4. Точка пересечения высот остроугольного треугольника может быть найдена с помощью теоремы Чевы.ИстинаЛожь

4 БАЛЛА

8. Отношение отрезков на чевиане

В треугольнике $ABC$ точка $M$ делит сторону $AB$ в отношении $AM:MB=1:2$, а точка $K$ делит сторону $BC$ в отношении $BK:KC=3:2$. Отрезки $AK$ и $CM$ пересекаются в точке $O$. В каком отношении точка $O$ делит отрезок $AK$?

5 БАЛЛОВ

9. Сложная конфигурация

Дан треугольник $ABC$. На сторонах $AB$ и $BC$ взяты точки $P$ и $Q$ такие, что $AP:PB=1:1$ (медиана) и $BQ:QC=1:2$. Отрезки $AQ$ и $CP$ пересекаются в точке $S$. Прямая $BS$ пересекает сторону $AC$ в точке $R$. Найдите отношение $AR:RC$.

1 БАЛЛ

10. Обратная теорема Чевы

Для чего используется обратная теорема Чевы?

• Для доказательства того, что три прямые пересекаются в одной точке.
• Для нахождения площади треугольника по трем сторонам.
• Для доказательства параллельности двух прямых в треугольнике.
• Для вычисления радиуса вписанной окружности.