Рабочий лист на тему:

Параллельные прямые и плоскости

Геометрия11 класс30 заданий

Реши задачу

Типы заданий

Реши задачу

11 класс · средний

Ф.И.
Класс

Разберём типовые задачи на параллельность и сечения многогранников. Чертежи помогут увидеть связь между пропорциями отрезков и свойствами фигур.

№1 · СЕЧЕНИЯ ПИРАМИДЫ

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

1. Пропорциональные отрезки в треугольнике

В треугольнике $A B C$ точки $P$ и $Q$ лежат соответственно на сторонах $A B$ и $A C$ , причём $P Q ∥ B C$ . Найдите $A Q$ , если $A P = 8$ см, $A B = 14$ см и $A C = 21$ см.

№2 · СЕЧЕНИЯ ПРИЗМЫ

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

2. Сторона параллельного сечения

В треугольной призме плоскость, параллельная основаниям, пересекает боковое ребро $B B_{1}$ в точке $K$ . Известно, что $B K : K B_{1} = 3 : 4$ . Сторона основания $B C = 18$ см. Найдите длину соответствующего отрезка параллельного сечения.

№3 · ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

3. Признак параллельности плоскостей

Плоскость $γ$ содержит две пересекающиеся прямые $m$ и $n$ , а плоскость $δ$ — две пересекающиеся прямые $p$ и $q$ . Известно, что $m ∥ p$ и $n ∥ q$ . Объясните, почему $γ ∥ δ$ .

№4 · СЕЧЕНИЯ ТЕТРАЭДРА

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

4. Площадь параллельного сечения

В тетраэдре $S D E F$ плоскость, параллельная основанию $D E F$ , пересекает рёбра $S D$ , $S E$ и $S F$ в точках $D_{1}$ , $E_{1}$ и $F_{1}$ . Известно, что $S D_{1} : S D = 3 : 7$ . Найдите отношение площадей треугольников $D_{1} E_{1} F_{1}$ и $D E F$ .

№5 · ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

5. Отрезки между параллельными плоскостями

Две параллельные плоскости пересекают стороны угла с вершиной $O$ в точках $C$ , $D$ и $C_{1}$ , $D_{1}$ . Известно, что $O C = 6$ см, $O C_{1} = 14$ см и $O D = 9$ см. Найдите $O D_{1}$ , если точки $C$ и $C_{1}$ лежат на одном луче, а $D$ и $D_{1}$ — на другом.

№6 · ЧЕРТЁЖ И СЕЧЕНИЕ

ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

6. Сечение параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед $K L M N K_{1} L_{1} M_{1} N_{1}$ имеет размеры $K L = 8$ см, $K N = 3$ см и $K K_{1} = 6$ см. Плоскость проходит через точки $K$ , $M$ и $K_{1}$ . Найдите площадь сечения.

№7 · ПЛОЩАДЬ СЕЧЕНИЯ

ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

7. Сечение куба диагональной плоскостью

В кубе $K L M N K_{1} L_{1} M_{1} N_{1}$ с ребром $8$ см плоскость проходит через диагональ основания $K M$ и ребро $L L_{1}$ . Найдите площадь получившегося сечения.

№8 · ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ СЕЧЕНИЙ

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

8. Доказательство параллельности сечений

В тетраэдре $S D E F$ точки $P$ и $Q$ лежат на рёбрах $S D$ и $S E$ , причём $S P : P D = S Q : QE = 2 : 3$ . Докажите, что плоскость $F P Q$ параллельна плоскости $F D E$ .

№9 · СЕЧЕНИЕ КОНУСА

ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

9. Площадь параллельного основания сечения

В конусе плоскость, параллельная основанию, пересекает высоту на расстоянии $6$ см от вершины. Высота конуса равна $15$ см, площадь основания равна $200 π$ см $^{2}$ . Найдите площадь сечения.

№10 · СЕЧЕНИЕ ЦИЛИНДРА

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

10. Форма сечения цилиндра

Цилиндр пересечён плоскостью, параллельной его основаниям. Радиус основания цилиндра равен $7$ см. Какую фигуру представляет сечение и чему равна его площадь?

№11 · ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

11. Расстояние между сечениями

Параллельные плоскости $μ$ и $ν$ пересекают рёбра $S A$ и $S B$ пирамиды $S A B C D$ в точках $P$ , $Q$ и $P_{1}$ , $Q_{1}$ . Известно, что $S P = 4$ см, $S P_{1} = 10$ см, а расстояние между плоскостями равно $18$ см. Найдите расстояние от вершины $S$ до плоскости $μ$ , если плоскость $ν$ расположена дальше от $S$ .

№12 · СЕЧЕНИЕ ПРИЗМЫ

ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

12. Периметр параллельного сечения

В прямой треугольной призме основание имеет стороны $7$ см, $24$ см и $25$ см. Плоскость, параллельная основаниям, пересекает боковые рёбра. Найдите периметр сечения.

№13 · ПРОПОРЦИИ В ПИРАМИДЕ

ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

13. Объём части пирамиды

В пирамиде плоскость, параллельная основанию, проходит через точки боковых рёбер, делящие их от вершины в отношении $2 : 3$ . Объём всей пирамиды равен $250$ см $^{3}$ . Найдите объём верхней части пирамиды.

№14 · ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

14. Прямая, параллельная сечению

В параллелепипеде $K L M N K_{1} L_{1} M_{1} N_{1}$ докажите, что прямая $K_{1} N_{1}$ параллельна плоскости $K L M N$ . Укажите признак, который используется.

№15 · КОМПЛЕКСНАЯ ЗАДАЧА

ЗАДАЧА · 4 БАЛЛА

15. Площадь сечения пирамиды

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A B C D$ сторона основания равна $10$ см, а высота равна $18$ см. Плоскость, параллельная основанию, делит высоту в отношении $1 : 2$ , считая от вершины. Найдите площадь сечения и объём верхней малой пирамиды.

№1 · СЕЧЕНИЯ ПИРАМИДЫ

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

1. Пропорциональные отрезки в треугольнике

В треугольнике $A B C$ точки $M$ и $N$ лежат соответственно на сторонах $A B$ и $A C$ , причём $M N ∥ B C$ . Найдите $A N$ , если $A M = 6$ см, $A B = 10$ см и $A C = 15$ см.

+15 заданий в этом листе

Зарегистрируйтесь — и соберите свой рабочий лист по этой теме за минуту: заданий столько, сколько нужно.

№2 · СЕЧЕНИЯ ПРИЗМЫ

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

2. Сторона параллельного сечения

В треугольной призме плоскость, параллельная основаниям, пересекает боковое ребро $A A_{1}$ в точке $M$ . Известно, что $A M : M A_{1} = 2 : 3$ . Сторона основания $A B = 15$ см. Найдите длину соответствующего отрезка параллельного сечения.

№3 · ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

3. Признак параллельности плоскостей

В пространстве плоскость $α$ содержит две пересекающиеся прямые $a$ и $b$ , а плоскость $β$ содержит две пересекающиеся прямые $c$ и $d$ . Известно, что $a ∥ c$ и $b ∥ d$ . Объясните, почему $α ∥ β$ .

№4 · СЕЧЕНИЯ ТЕТРАЭДРА

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

4. Параллельное основанию сечение

В тетраэдре $S A B C$ плоскость, параллельная основанию $A B C$ , пересекает рёбра $S A$ , $S B$ и $S C$ в точках $A_{1}$ , $B_{1}$ и $C_{1}$ . Известно, что $S A_{1} : S A = 2 : 5$ . Найдите отношение площадей треугольников $A_{1} B_{1} C_{1}$ и $A B C$ .

№5 · ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

5. Отрезки между параллельными плоскостями

Две параллельные плоскости пересекают стороны угла с вершиной $O$ в точках $A$ , $B$ и $A_{1}$ , $B_{1}$ . Известно, что $O A = 4$ см, $O A_{1} = 10$ см и $O B = 6$ см. Найдите $O B_{1}$ , если точки $A$ и $A_{1}$ лежат на одном луче, а $B$ и $B_{1}$ — на другом.

№6 · ЧЕРТЁЖ И СЕЧЕНИЕ

ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

6. Сечение параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ имеет размеры $A B = 6$ см, $A D = 4$ см и $A A_{1} = 8$ см. Плоскость проходит через точки $A$ , $C$ и $A_{1}$ . Найдите площадь сечения.

№7 · ПЛОЩАДЬ СЕЧЕНИЯ

ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

7. Сечение куба диагональной плоскостью

В кубе $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ с ребром $6$ см плоскость проходит через диагональ основания $A C$ и ребро $B B_{1}$ . Найдите площадь получившегося сечения.

№8 · ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ СЕЧЕНИЙ

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

8. Доказательство параллельности сечений

В тетраэдре $S A B C$ точки $M$ и $N$ лежат на рёбрах $S A$ и $S B$ , причём $S M : M A = S N : N B = 1 : 2$ . Докажите, что плоскость $C M N$ параллельна плоскости $C A B$ .

№9 · СЕЧЕНИЕ КОНУСА

ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

9. Площадь параллельного основания сечения

В конусе плоскость, параллельная основанию, пересекает высоту на расстоянии $4$ см от вершины. Высота конуса равна $10$ см, площадь основания равна $225 π$ см $^{2}$ . Найдите площадь сечения.

№10 · СЕЧЕНИЕ ЦИЛИНДРА

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

10. Форма сечения цилиндра

Цилиндр пересечён плоскостью, параллельной его основаниям. Радиус основания цилиндра равен $5$ см. Какую фигуру представляет сечение и чему равна его площадь?

№11 · ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

11. Расстояние между сечениями

Параллельные плоскости $α$ и $β$ пересекают рёбра $S A$ и $S B$ пирамиды $S A B C D$ в точках $M$ , $N$ и $M_{1}$ , $N_{1}$ . Известно, что $S M = 3$ см, $S M_{1} = 9$ см, а расстояние между плоскостями равно $12$ см. Найдите расстояние от вершины $S$ до плоскости $α$ , если плоскость $β$ расположена дальше от $S$ .

№12 · СЕЧЕНИЕ ПРИЗМЫ

ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

12. Периметр параллельного сечения

В прямой треугольной призме основание имеет стороны $5$ см, $12$ см и $13$ см. Плоскость, параллельная основаниям, пересекает боковые рёбра. Найдите периметр сечения.

№13 · ПРОПОРЦИИ В ПИРАМИДЕ

ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

13. Объём части пирамиды

В пирамиде плоскость, параллельная основанию, проходит через середины всех боковых рёбер. Объём всей пирамиды равен $96$ см $^{3}$ . Найдите объём верхней части пирамиды, расположенной между вершиной и сечением.

№14 · ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

14. Прямая, параллельная сечению

В параллелепипеде $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ докажите, что прямая $A_{1} B_{1}$ параллельна плоскости $A B C D$ . Укажите признак, который используется.

№15 · КОМПЛЕКСНАЯ ЗАДАЧА

ЗАДАЧА · 4 БАЛЛА

15. Площадь сечения пирамиды

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A B C D$ сторона основания равна $12$ см, а высота равна $15$ см. Плоскость, параллельная основанию, делит высоту в отношении $2 : 3$ , считая от вершины. Найдите площадь сечения и объём верхней малой пирамиды.

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Другие темы по геометрии для 11 класса

Скалярное произведение векторов и угол между векторами Параллельные прямые и плоскости: угол между скрещивающимися прямыми Объем цилиндра, конуса; объем шара и площадь сферы Нахождение производных функций Решение задач, связанных с применением правил действий с векторами; Прямоугольная система координат в пространстве; Координаты вектора; Простейшие задачи в координатах; Угол между векторами Построение сечений в тетраэдре, параллелепипеде Конус, сфера, шар Планиметрия на ЕГЭ Цилиндр и конус: площади поверхности, сечения, развертка Конус: образующая, высота, осевое сечение Площадь боковой и полной поверхности конуса Простейшие задачи в координатах. Многогранники в декартовой системе координат

Чем удобны рабочие листы Нейрум

По действующей программеТемы и задания совпадают со школьной программой 1–11 классов. Открыли — дали классу, без правок.
Готово к печати, с ответамиPDF в формате A4 и ключ ответов на отдельной странице. Скачали, распечатали, раздали — без правок в Word.
Свой лист за минутуНе нашли нужный? ИИ-конструктор соберёт лист по вашей теме, классу и типам заданий.

Вопросы и ответы

Как скачать рабочий лист «Параллельные прямые и плоскости: параллельные сечения»?

Зарегистрируйтесь бесплатно — лист сохранится в личном кабинете, откуда его можно скачать в PDF и распечатать.

Сколько заданий в листе и какие они?

В листе 30 заданий: реши задачу.

Соответствует ли лист ФГОС?

Да, задания ориентированы на школьную программу по геометрии для 11 класса по ФГОС.

Можно ли изменить задания под свой класс?

Да. После регистрации лист открывается в конструкторе: задания можно заменить, перегенерировать или добавить новые.

Параллельные прямые и плоскости

Типы заданий

1. Пропорциональные отрезки в треугольнике

2. Сторона параллельного сечения

3. Признак параллельности плоскостей

4. Площадь параллельного сечения

5. Отрезки между параллельными плоскостями

6. Сечение параллелепипеда

7. Сечение куба диагональной плоскостью

8. Доказательство параллельности сечений

9. Площадь параллельного основания сечения

10. Форма сечения цилиндра

11. Расстояние между сечениями

12. Периметр параллельного сечения

13. Объём части пирамиды

14. Прямая, параллельная сечению

15. Площадь сечения пирамиды

1. Пропорциональные отрезки в треугольнике

2. Сторона параллельного сечения

3. Признак параллельности плоскостей

4. Параллельное основанию сечение

5. Отрезки между параллельными плоскостями

6. Сечение параллелепипеда

7. Сечение куба диагональной плоскостью

8. Доказательство параллельности сечений

9. Площадь параллельного основания сечения

10. Форма сечения цилиндра

11. Расстояние между сечениями

12. Периметр параллельного сечения

13. Объём части пирамиды

14. Прямая, параллельная сечению

15. Площадь сечения пирамиды

Похожие рабочие листы

Скалярное произведение векторов и угол между векторами