Угол между плоскостями в многогранниках

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 1 БАЛЛ

9. Угол между гранями многогранника

Определите истинность утверждений о вычислении угла между гранями многогранника.

1. Для нахождения угла между плоскостями можно использовать нормальные векторы этих плоскостей.ИстинаЛожь
2. Абсолютное значение скалярного произведения нормалей позволяет получить острый или прямой угол между плоскостями.ИстинаЛожь
3. Если угол между нормальными векторами равен $120^{\circ }$, то угол между плоскостями равен $120^{\circ }$.ИстинаЛожь
4. Параллельные плоскости имеют одинаковые или противоположные нормальные векторы.ИстинаЛожь

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

10. Угол между гранями тетраэдра по нормалям

Две грани многогранника заданы плоскостями $\alpha :x+y=0$ и $\beta :x-z=0$. Найдите угол между этими гранями.

КООРДИНАТЫ · 2 БАЛЛА

1. Угол между двумя плоскостями

В прямоугольном параллелепипеде $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ заданы координаты вершин: $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $D(0;3;0)$, $A_1(0;0;12)$. Найдите угол между плоскостями $A_{1}BD$ и $ABCD$.

НОРМАЛИ ПЛОСКОСТЕЙ · 1 БАЛЛ

2. Формула угла между плоскостями

Выберите единственную верную формулу для острого угла между плоскостями с нормалями ${\vec{n}}_1$ и ${\vec{n}}_2$.

• $\cos \phi =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}$
• $\cos \phi =\frac{{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2}{|{\vec{n}}_1|+|{\vec{n}}_2|}$
• $\sin \phi =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}$
• $\cos \phi =|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|({\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2)$

УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТЕЙ · 2 БАЛЛА

3. Угол по уравнениям плоскостей

Найдите острый угол между плоскостями $\alpha :2x-y+2z-5=0$ и $\beta :x+2y+2z+1=0$.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ · 1 БАЛЛ

4. Когда плоскости перпендикулярны

Плоскости заданы уравнениями $\alpha :x+2y-z=0$ и $\beta :2x-y+z=0$. Выберите верное утверждение.

• Плоскости перпендикулярны, так как скалярное произведение их нормалей равно нулю.
• Плоскости параллельны, так как их нормали имеют одинаковую длину.
• Угол между плоскостями равен $45^{\circ }$, так как в уравнениях есть коэффициенты $1$ и $2$.
• Плоскости перпендикулярны, если сумма свободных членов равна нулю.

ПИРАМИДА · 3 БАЛЛА

5. Угол между боковой гранью и основанием

В прямой квадратной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна $6$, высота $SO=4$, где $O$ — центр квадрата. Найдите косинус угла между боковой гранью $SAB$ и основанием $ABCD$.