Прямые и плоскости в пространстве. Параллельность прямых и плоскостей

3 СРАВНЕНИЯ · 2 БАЛЛА

7. Сравни положения прямых

Для каждого пункта поставьте знак $<$, $>$ или $=$ так, чтобы сравнение было логически верным по числу общих точек: слева указано число общих точек, справа — характеристика. Используйте условные значения: 0 — нет общих точек, 1 — одна общая точка, 2 — совпадающие прямые.

1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

8. Докажи скрещивание рёбер

В тетраэдре $ABCD$ докажите, что прямые $AB$ и $CD$ являются скрещивающимися.

1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

9. Сечение призмы

В треугольной призме $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ плоскость через точки $M\in A{A}_1$ и $N\in B{B}_1$ параллельна прямой $AC$. Докажите, что линия пересечения этой плоскости с гранью $BC{C}_1{B}_1$ параллельна $AC$, и укажите, какую теорему о параллельных прямых нужно применить.

4 ШАГА · 4 БАЛЛА

10. Докажи параллельность плоскостей

В параллелепипеде $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ рассмотрим плоскости $A{B}_1{D}_1$ и $CD{A}_1$. Докажите, что эти плоскости параллельны, если известно, что $A{B}_1\parallel CD$ и $A{D}_1\parallel CB$.

1. Следовательно, по признаку параллельности плоскостей $A{B}_1{D}_1\parallel CD{A}_1$.
2. Плоскость $A{B}_1{D}_1$ содержит две пересекающиеся прямые, соответственно параллельные двум пересекающимся прямым плоскости $CD{A}_1$.
3. По условию $A{B}_1\parallel CD$ и $A{D}_1\parallel CB$.
4. В первой плоскости рассмотрим пересекающиеся прямые $A{B}_1$ и $A{D}_1$; во второй — пересекающиеся прямые $CD$ и $CB$.
5. Запишем, какие плоскости требуется сравнить: $A{B}_1{D}_1$ и $CD{A}_1$.