Рабочий лист на тему:

Теорема о трех перпендикулярах

Геометрия10 класс10 заданий

Реши задачу

Типы заданий

Реши задачу

10 класс · средний

Ф.И.
Класс

Теорема о трёх перпендикулярах — это ключ к решению большинства задач на расстояния и углы в пространстве. Сегодня мы научимся видеть эти связи в различных фигурах.

№1 · БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

1 ШАГ · 1 БАЛЛ

1. Определение наклонной

Из точки к плоскости проведена наклонная длиной $25$ см. Её проекция на эту плоскость равна $7$ см. Найдите расстояние от точки до плоскости.

№2 · БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

1 ШАГ · 1 БАЛЛ

2. Угол между наклонной и плоскостью

Отрезок $M A$ перпендикулярен плоскости квадрата $A B C D$ . Найдите расстояние от точки $M$ до вершины $B$ , если $M A = 12$ см, а сторона квадрата равна $5$ см.

№3 · БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

1 ШАГ · 1 БАЛЛ

3. Проекция в прямоугольнике

В прямоугольнике $A B C D$ сторона $A B = 6$ см, $A D = 8$ см. К плоскости прямоугольника проведен перпендикуляр $O K$ , где $O$ — точка пересечения диагоналей. Найдите длину проекции наклонной $K A$ на плоскость прямоугольника.

№4 · БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

1 ШАГ · 1 БАЛЛ

4. Связь наклонной и проекции

Из точки $M$ к плоскости проведены две наклонные, длины которых относятся как $5 : 6$ . Найдите расстояние от точки до плоскости, если проекции наклонных равны $9$ см и $16$ см.

№5 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

2 ШАГА · 2 БАЛЛА

5. Расстояние до стороны квадрата

Через вершину $A$ квадрата $A B C D$ со стороной $6$ см проведен перпендикуляр $M A$ к его плоскости. Найдите расстояние от точки $M$ до прямой $C D$ , если $M A = 8$ см.

№6 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

2 ШАГА · 2 БАЛЛА

6. Точка над центром треугольника

Точка $S$ удалена от каждой из сторон правильного треугольника $A B C$ на $13$ см. Сторона треугольника равна $103$ см. Найдите расстояние от точки $S$ до плоскости треугольника.

+5 заданий в этом листе

Зарегистрируйтесь — и соберите свой рабочий лист по этой теме за минуту: заданий столько, сколько нужно.

№7 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

3 ШАГА · 3 БАЛЛА

7. Перпендикуляр из вершины прямого угла

В треугольнике $A B C$ угол $C$ прямой, $A C = 15$ см, $B C = 20$ см. Отрезок $C D$ перпендикулярен плоскости треугольника и равен $12$ см. Найдите расстояние от точки $D$ до гипотенузы $A B$ .

№8 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

3 ШАГА · 3 БАЛЛА

8. Расстояние до стороны ромба

Диагонали ромба равны $12$ см и $16$ см. Точка $M$ находится на расстоянии $8$ см от плоскости ромба и одинаково удалена от всех его сторон. Найдите это расстояние.

№9 · ПОВЫШЕННЫЙ УРОВЕНЬ

МНОГОШАГОВОЕ · 4 БАЛЛА

9. Угол между плоскостями

Двугранный угол равен $4 5^{\circ}$ . Точка $A$ находится внутри угла и удалена от его граней на $2$ см и $3$ см. Найдите расстояние от точки $A$ до ребра двугранного угла.

№10 · ПОВЫШЕННЫЙ УРОВЕНЬ

НЕСТАНДАРТНЫЙ ПРИЕМ · 5 БАЛЛОВ

10. Расстояние до прямой в трапеции

В равнобедренной трапеции $A B C D$ основания равны $10$ см и $26$ см, а высота — $6$ см. Через вершину $B$ проведен перпендикуляр $B K$ к плоскости трапеции длиной $10$ см. Найдите расстояние от точки $K$ до прямой $C D$ .

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Похожие рабочие листы

Перпендикулярность прямых и плоскостей

10 класс · сложный

Ф.И.
Класс

Приготовься к серьёзному вызову: сегодня мы исследуем самые строгие отношения в стереометрии. Задачи потребуют от тебя безупречного знания признаков и умения видеть скрытые связи в пространстве.

№1 · ТЕОРИЯ

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 1 БАЛЛ

1. Истина или ложь

Определите истинность следующих утверждений о перпендикулярности в пространстве.

Если прямая перпендикулярна двум сторонам треугольника, то она перпендикулярна и третьей его стороне.
Две прямые в пространстве, перпендикулярные третьей прямой, всегда параллельны между собой.
Через любую точку прямой в пространстве можно провести бесконечное множество перпендикулярных ей прямых.
Если прямая параллельна плоскости, то она перпендикулярна любому перпендикуляру к этой плоскости.

№2 · КЛАССИФИКАЦИЯ

6 ОБЪЕКТОВ · 2 БАЛЛА

2. Распределение по категориям

Распределите пары геометрических объектов в зависимости от их взаимного расположения.

Слова для распределения: Прямая $a$ и плоскость $α$ , если $a ∥ b$ и $b ⊥ α$ , Боковое ребро прямой призмы и её основание, Прямые $a$ и $b$ , если $a ∥ α$ и $b ⊥ α$ (нет, это ошибка), Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, Прямая, перпендикулярная плоскости, и любая прямая в этой плоскости, Плоскости $α$ и $β$ , если прямая $a ⊥ α$ и $a ⊥ β$

Параллельны

Перпендикулярны

Перпендикулярность прямой и плоскости: перпендикулярные прямые в пространстве, прямые параллельные и перпендикулярные к плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорема о прямой

Рабочий листГеометрия10 класс13 заданий

Введение в стереометрию

10 класс · средний

Ф.И.
Класс

Начнём погружение в мир трёхмерных фигур! Мы вспомним основные аксиомы, научимся «видеть» невидимые линии и строить сечения куба и пирамиды.

№1 · АКСИОМЫ

1 БАЛЛ

1. Условия задания плоскости

Выберите условие, при котором через указанные объекты можно провести единственную плоскость:

Три точки, лежащие на одной прямой
Прямая и точка, не лежащая на ней
Две пересекающиеся точки
Любые четыре точки пространства

№2 · ПОНЯТИЯ

1 БАЛЛ

2. Основные объекты стереометрии

Соотнесите геометрический объект и его описание в пространстве.

Точка
Прямая
Плоскость
Пространство

Бесконечна в обе стороны, не имеет толщины
Множество всех точек, изучаемых в стереометрии
Не имеет размера, обозначается заглавной латинской буквой
Бесконечная ровная поверхность, не имеющая толщины

Понятие об аксиоматическом построении стереометрии: аксиомы стереометрии и следствия из них; Сечения многогранников; Начальные сведения о кубе и пирамиде, их развертки и модели; Знакомство с

Рабочий листГеометрия10 класс20 заданий

Перпендикулярность в пространстве

10 класс · средний

Ф.И.
Класс

В пространстве прямой угол встречается повсюду — от стен зданий до сложных конструкций. Изучим свойства перпендикуляров и наклонных, чтобы научиться находить кратчайшие расстояния.

№1 · ТЕОРИЯ

3 СТРОКИ · 1 БАЛЛ

1. Признаки и определения

Заполните пропущенные элементы в таблице теоретических фактов.

Объект	Условие перпендикулярности	Свойство
Прямая и плоскость		Прямая $⊥$ любой прямой в этой плоскости
Две плоскости	Одна из плоскостей проходит через прямую, $⊥$ другой плоскости
		Прямые могут быть пересекающимися или скрещивающимися

№2 · АНАЛИЗ

КУБ · 2 БАЛЛА

2. Перпендикулярность в кубе

Рассмотрите модель куба $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ и ответьте на вопросы.

Укажите любую грань, перпендикулярную ребру $A A_{1}$ .
Каково взаимное положение прямых $A_{1} B_{1}$ и $B C$ ?

Перпендикулярность в пространстве

Рабочий листГеометрия10 класс10 заданий

Другие темы по геометрии для 10 класса

Перпендикулярность прямой и плоскости: перпендикулярные прямые в пространстве, прямые параллельные и перпендикулярные к плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорема о прямой Понятие об аксиоматическом построении стереометрии: аксиомы стереометрии и следствия из них; Сечения многогранников; Начальные сведения о кубе и пирамиде, их развертки и модели; Знакомство с Перпендикулярность в пространстве Метод следов для построения сечений. Свойства пересечений прямых и плоскостей Изображение сечений пирамиды, куба и призмы, проходящих через их рёбра, и пересечений полученных плоскостей Перпендикуляр и наклонные: расстояние от точки до плоскости, расстояние от прямой до плоскости Правила изображения на рисунках: изображения плоскостей, параллельных прямых (отрезков), середины отрезка; основные понятия стереометрии: точка, прямая, плоскость, пространство Основные понятия стереометрии: точка, прямая, плоскость, пространство; Правила изображения на рисунках: изображения плоскостей, параллельных прямых (отрезков), середины отрезка; Понятия: пересекающиес Аксиомы стереометрии и следствия Призма и параллелепипед Векторы в пространстве Основные понятия стереометрии: точка, прямая, плоскость, пространство

Чем удобны рабочие листы Нейрум

По действующей программеТемы и задания совпадают со школьной программой 1–11 классов. Открыли — дали классу, без правок.
Готово к печати, с ответамиPDF в формате A4 и ключ ответов на отдельной странице. Скачали, распечатали, раздали — без правок в Word.
Свой лист за минутуНе нашли нужный? ИИ-конструктор соберёт лист по вашей теме, классу и типам заданий.

Вопросы и ответы

Как скачать рабочий лист «Теорема о трех перпендикулярах»?

Зарегистрируйтесь бесплатно — лист сохранится в личном кабинете, откуда его можно скачать в PDF и распечатать.

Сколько заданий в листе и какие они?

В листе 10 заданий: реши задачу.

Соответствует ли лист ФГОС?

Да, задания ориентированы на школьную программу по геометрии для 10 класса по ФГОС.

Можно ли изменить задания под свой класс?

Да. После регистрации лист открывается в конструкторе: задания можно заменить, перегенерировать или добавить новые.