Теорема Менелая

1 БАЛЛ

1. Базовое отношение

В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $N$. Прямая $MN$ пересекает продолжение стороны $AC$ за точку $C$ в точке $K$. Известно, что $\frac{AM}{MB}=2$ и $\frac{BN}{NC}=3$. Найдите значение отношения $\frac{CK}{AK}$. Ответ запишите в виде десятичной дроби.

2 БАЛЛА

2. Поиск отрезка

В треугольнике $ABC$ точка $D$ лежит на $AB$ ($AD=4,DB=2$), точка $E$ лежит на $BC$ ($BE=3,EC=5$). Прямая $DE$ пересекает прямую $AC$ в точке $F$. Найдите длину отрезка $CF$, если $AC=10$.

1 БАЛЛ

3. Выбор формулировки

Для треугольника $ABC$, изображенного на чертеже, выберите верную запись теоремы Менелая, связывающую отношения отрезков на его сторонах и их продолжениях.

• $\frac{AM}{MB}\cdot \frac{BN}{NC}\cdot \frac{CK}{KA}=1$
• $\frac{AM}{AB}\cdot \frac{BN}{BC}\cdot \frac{CK}{AC}=1$
• $\frac{MB}{MA}\cdot \frac{NB}{NC}\cdot \frac{KC}{KA}=1$
• $\frac{AM}{MB}\cdot \frac{CN}{NB}\cdot \frac{AK}{KC}=1$

2 БАЛЛА

4. Отношение медиан

На выносном чертеже грани $ABC$ треугольника проведена чевиана $AD$ и медиана $BM$, которые пересекаются в точке $O$. Известно, что $BD:DC=3:1$. В каком отношении точка $O$ делит медиану $BM$, считая от вершины $B$? Ответ запишите в виде отношения (например, 2:3).

3 БАЛЛА

5. Пересечение чевиан

В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ взяты точки $D$ и $E$ такие, что $AD:DB=3:2$, $BE:EC=2:5$. Отрезки $AE$ и $CD$ пересекаются в точке $O$. Найдите отношение $AO:OE$.