Прямые и плоскости в пространстве. Параллельность прямых и плоскостей

1 БАЛЛ

1. Прямые в кубе

В кубе $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ рассмотрите прямые $A{D}_1$ и $B{C}_1$. Укажите их взаимное расположение (параллельны, пересекаются или скрещиваются).

1 БАЛЛ

2. Пропорции отрезков

Отрезки $AB$ и $BC$ лежат на одной прямой. Их параллельные проекции на плоскость $\alpha$ равны $A_1{B}_1=12$ см и $B_1{C}_1=18$ см. Найдите длину $AB$, если $BC=15$ см.

2 БАЛЛА

3. Свойства параллельных плоскостей

Даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$. Выберите верное утверждение.

• Прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$.
• Прямая $a$ обязательно пересекает любую прямую в плоскости $\beta$.
• В плоскости $\beta$ не существует прямых, параллельных $a$.
• Любая плоскость, проходящая через $a$, пересекает $\beta$ по прямой, скрещивающейся с $a$.

2 БАЛЛА

4. Средние линии в пространстве

В тетраэдре $DABC$ точки $M,N,P,Q$ — середины ребер $DA,DB,BC,AC$ соответственно. Каков вид четырехугольника $MNPQ$?

3 БАЛЛА

5. Пересекающиеся прямые между плоскостями

Две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересечены двумя прямыми. Одна прямая пересекает плоскости в точках $A$ и $C$, другая — в точках $B$ и $D$. Прямые пересекаются в точке $O$, лежащей между плоскостями. Найдите $OB$, если $AO=4$, $OC=6$, $BD=15$.

2 БАЛЛА

6. Признак параллельности

Укажите достаточное условие параллельности прямой $a$ и плоскости $\alpha$.

• Прямая $a$ параллельна некоторой прямой $b$, лежащей в плоскости $\alpha$.
• Прямая $a$ не имеет общих точек с прямой $c$, лежащей в плоскости $\alpha$.
• Прямая $a$ лежит в плоскости $\gamma$, которая параллельна плоскости $\alpha$.
• Существует плоскость, проходящая через $a$ и пересекающая $\alpha$.

2 БАЛЛА

7. Количество прямых

Через точку $M$, не принадлежащую плоскости $\alpha$, проведена прямая $a$, параллельная $\alpha$. Сколько существует в плоскости $\alpha$ прямых, параллельных $a$?