Пересекающиеся плоскости, прямая и плоскость, полупространство

1 БАЛЛ

3. Линия пересечения

Выберите верное утверждение о взаимном расположении плоскостей.

• Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
• Две различные плоскости могут иметь только одну общую точку.
• Если три точки одной плоскости лежат в другой плоскости, то плоскости всегда совпадают.
• Любые две плоскости в пространстве обязательно пересекаются.

3 БАЛЛА

4. Точка пересечения в кубе

В кубе $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ точка $M$ — середина ребра $A{A}_1$. Пересекает ли прямая $M{C}_1$ плоскость основания $ABC$? Если да, опишите, где лежит точка пересечения.

3 БАЛЛА

5. Пересечение плоскостей в тетраэдре

Дан тетраэдр $SABC$. Точка $M$ лежит на ребре $SA$, точка $N$ — на ребре $SB$. Постройте прямую, по которой пересекаются плоскости $(MNC)$ и $(ABC)$.

2 БАЛЛА

6. Определение плоскости

Решите количественные задачи на основе аксиом стереометрии.

2 БАЛЛА

7. Полупространства

Плоскость $\alpha$ разбивает пространство на два полупространства. Выберите верное утверждение.

• Если точки A и B лежат в разных полупространствах, то отрезок AB пересекает плоскость $\alpha$.
• Если точки A и B лежат в одном полупространстве, то прямая AB не может пересекать плоскость $\alpha$.
• Любая прямая, пересекающая плоскость $\alpha$, лежит только в одном полупространстве.
• Граница полупространства не принадлежит ни одному из этих полупространств.

4 БАЛЛА

8. Сложное сечение

В кубе $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ отмечены точки $P$ на $A{A}_1$, $Q$ на $C{C}_1$ и $R$ на $C_1{D}_1$. Постройте линию пересечения плоскости $(PQR)$ с гранью $ABCD$.

1 БАЛЛ

9. Взаимное расположение в пространстве

На чертеже изображена плоскость $\alpha$ и две прямые $a$ и $b$. Определите по рисунку, какая из прямых пересекает плоскость, а какая лежит в ней. Укажите точку пересечения прямой с плоскостью.

2 БАЛЛА

10. Взаимное расположение в пространстве

Дан куб $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$. Точка $P$ — середина ребра $C{C}_1$, точка $Q$ лежит на ребре $A{A}_1$ так, что $AQ:Q{A}_1=1:2$. Постройте линию пересечения плоскости $(B_{1}PQ)$ с плоскостью нижнего основания $(ABC)$. Укажите положение точки $S$, в которой эта линия пересекает прямую $BC$.