Тождество, модуль, натуральная степень числа

ВЫБОР · 1 БАЛЛ

1. Свойства модуля в Андах

На привале в Андах Матик размышляет о свойствах абсолютной величины. Какое из утверждений о модуле числа $a$ всегда является ложным?

• Модуль любого числа — число неотрицательное.
• $|a|=|-a|$ для любого рационального числа $a$.
• Существует такое число $a$, что $|a|<0$.
• Если $|a|=0$, то $a=0$.

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 2 БАЛЛА

2. Секретные координаты Матика

Матик исследует высоту величайших горных вершин. Чтобы расшифровать данные GPS-трекера, упростите выражения, применяя свойства натуральной степени и тождество $|a{|}^2=a^2$. Помните, что модуль числа всегда неотрицателен.

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 2 БАЛЛА

3. Глубины океанов с Матиком

Матик спускается в глубоководные впадины, чтобы изучить давление воды. Чтобы узнать глубину погружения в километрах, упростите числовые выражения, используя свойства степеней. Будьте внимательны со знаками при возведении в степень.

ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

4. Глубина впадины Гхорб

Матик изучает впадину Гхорб, где находится Мёртвое море. Уровень воды $h$ в метрах относительно мирового океана там отрицателен и находится в границах $-440<h<-420$. Упростите выражение, используя свойства модуля: $|h+400|+|h+450|$. Запишите пошаговое раскрытие модулей.

ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

5. Температура на вершине Килиманджаро

Температура воздуха $t$ на вершине горы удовлетворяет условию $-15<t<-5$. Упростите выражение, раскрыв знаки модуля: $|t+20|-|t+3|$. Запишите подробное решение.

ВЕРНО/НЕВЕРНО · 2 БАЛЛА

6. Истинность в пустыне Сахара

Матик проверяет свои записи. Какие из этих равенств являются тождествами (верны при любых допустимых значениях переменных)? В ответе укажите напиример: ИИИЛЛЛ.

1. $|x{|}^2=x^2$ИстинаЛожь
2. $(a-b{)}^2=(b-a{)}^2$ИстинаЛожь
3. $|a+b|=|a|+|b|$ для любых $a$ и $b$ИстинаЛожь
4. $(-x{)}^3=x^3$ при любом $x$ИстинаЛожь
5. $|a\cdot b|=|a|\cdot |b|$ИстинаЛожь

ВЕРНО/НЕВЕРНО · 2 БАЛЛА

7. Истинность в горах Гималаях

Матик поднимается на вершину Эвереста и проверяет свойства степеней и модулей. Какие из утверждений верны для любых допустимых значений переменных? В ответе укажите напиример: ИИИЛЛЛ.

1. $|x|=|-x|$ для любого действительного числа $x$ИстинаЛожь
2. $a^n\cdot a^m=a^{n\cdot m}$ для любого $a>0$ и натуральных $n,m$ИстинаЛожь
3. $|x^2|=x^2$ при любом значении $x$ИстинаЛожь
4. $(x-y{)}^3=(y-x{)}^3$ для любых $x$ и $y$ИстинаЛожь
5. Равенство $\frac{x^2-a^2}{x-a}=x+a$ является тождеством на всей числовой осиИстинаЛожь
6. $|a-b|=|b-a|$ для любых значений $a$ и $b$ИстинаЛожь

ПАРЫ · 2 БАЛЛА

8. Высоты гор и свойства степеней

Матик совершает восхождение на знаменитые вершины мира. Для успешного подъёма ему нужно соотнести выражения, содержащие модули и степени, с их тождественно равными аналогами. Учтите, что переменная всегда отрицательна ( ),а к — нечётное натуральное число. В ответе укажите последователность букв, например: АБВГ.

ПАРЫ · 2 БАЛЛА

9. Матик на вершинах гор

Матик исследует высокогорные озёра и ледники. Чтобы проложить безопасный маршрут, помогите ему сопоставить математические выражения с их упрощённым видом, учитывая условие, что переменная $a$ — отрицательное число ($a<0$). В ответе укажите последователность букв, например: АБВГ

ЛИШНЕЕ · 2 БАЛЛА

10. Лишний маршрут в Альпах

Матик исследует глубину горных озёр и записывает характеристики рельефа с помощью тождественных преобразований. Найдите выражение, которое не равно остальным при всех допустимых значениях переменной $x$.

1. $|x{|}^4\cdot x^2$
2. $(x^3{)}^2$
3. $|x^3{|}^2$
4. $|-x{|}^5\cdot |x|$
5. все выражения тождественны

ЛИШНЕЕ · 2 БАЛЛА

11. Снежные заносы Аконкагуа

Матик исследует климатические модели Анд. Он записал четыре выражения, три из которых тождественно равны между собой при любых значениях переменной $x$. Найдите «лишнее» выражение, которое нарушает эту закономерность.

1. $|x^2\cdot (-x{)}^2|$
2. $(-x^2{)}^2$
3. $x^3\cdot |x|$
4. $|-x{|}^4$
5. все выражения тождественны

ЧЕРТЕЖ · 4 БАЛЛА

12. Путь по меридиану

На координатной прямой отмечены точки $M$, $A$ и $T$, соответствующие стоянкам Матика. Найдите значение выражения $|M-A|+|A-T|$, используя данные чертежа.