Рабочий лист на тему:

Тождественные преобразования рациональных выражений

Алгебра10 класс50 заданий

Краткий ответМножественный выбор

Типы заданий

Краткий ответМножественный выбор

10 класс · средний

Ф.И.
Класс

Вспомним, как сокращать дроби и выполнять действия с ними. Эти навыки — фундамент для решения сложных уравнений и анализа функций в старшей школе.

№1 · СОКРАЩЕНИЕ

1 БАЛЛ

1. Сокращение дроби

Сократите рациональную дробь $\frac{x ^{2} - 16}{x ^{2} - 8 x + 16}$ . В ответ запишите полученное выражение.

№2 · ОДЗ

1 БАЛЛ

2. Область допустимых значений

Укажите все значения переменной $x$ , при которых выражение $\frac{x - 3}{x ( x + 4 )}$ имеет смысл.

$x \neq = 0$ и $x \neq = - 4$
$x \neq = 3$
$x \neq = - 4$
$x$ — любое число

№3 · УМНОЖЕНИЕ

1 БАЛЛ

3. Произведение дробей

Выполните умножение: $\frac{9 y ^{2}}{x} \cdot \frac{x ^{2}}{3 y}$ . Ответ запишите в виде упрощенного выражения.

№4 · СЛОЖЕНИЕ

3 БАЛЛА · СЛОЖНЫЙ

4. Применение нестандартных методов разложения

Упростите выражение, используя метод выделения полного квадрата для преобразования числителя первой дроби: $\frac{x ^{4} + 64}{x ^{2} - 4 x + 8} - 4 x$ .

$x^{2} + 8$
$x^{2} + 4 x + 8$
$x^{2} - 8 x + 8$
$x^{2} - 8$

№5 · ДЕЛЕНИЕ

3 БАЛЛА · СЛОЖНОЕ

5. Деление рациональных выражений

Выполните деление и максимально упростите результат: $\frac{a ^{4} + a ^{2} + 1}{a ^{3} + 1} \div \frac{a ^{2} + a + 1}{a ^{2} - a + 1}$ .

№6 · СЛОЖНОЕ СОКРАЩЕНИЕ

2 БАЛЛА

6. Метод выделения полного квадрата

Сократите рациональную дробь $\frac{a ^{4} + 4 b ^{4}}{a ^{2} - 2 ab + 2 b ^{2}}$ , предварительно применив тождественное преобразование к числителю.

$a^{2} + 2 ab + 2 b^{2}$
$a^{2} - 2 ab + 2 b^{2}$
$a^{2} + 2 b^{2}$
$(a + 2 b)^{2}$

№7 · ВЫЧИТАНИЕ

3 БАЛЛА

7. Многошаговое упрощение

Упростите рациональное выражение: $\frac{x}{x ^{2} - 9} - \frac{1}{x ^{2} - 3 x} - \frac{x - 2}{x ^{2} + 3 x}$ .

№8 · ВЫЧИСЛЕНИЕ

1 БАЛЛ

8. Значение выражения

Найдите значение выражения $\frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ при $x = 98$ .

$100$
$96$
$98$
$102$

№9 · МНОГОЭТАЖНЫЕ ДРОБИ

2 БАЛЛА

9. Упрощение сложной дроби

Упростите выражение: $\frac{1 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{2}{x}}$ .

№10 · ТОЖДЕСТВА

1 БАЛЛ

10. Ложные тождества

Какое из следующих выражений НЕ является тождественно равным дроби $\frac{x}{y}$ (при $y \neq = 0$ и допустимых значениях параметров)?

$\frac{x ^{2}}{y ^{2}}$
$\frac{a x}{a y}$
$\frac{x \cdot x}{y \cdot x}$
$\frac{- 2 x}{- 2 y}$

№11 · СЛОЖНОЕ УПРОЩЕНИЕ

3 БАЛЛА

11. Метод выделения полного квадрата

Сократите рациональную дробь $\frac{x ^{4} + x ^{2} + 1}{x ^{2} - x + 1}$ , применив метод дополнения до полного квадрата. В ответ запишите упрощённое выражение.

№12 · ЗНАМЕНАТЕЛЬ

2 БАЛЛА · СЛОЖНЫЙ

12. Общий знаменатель для системы дробей

Укажите наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{1}{x ^{2} - 5 x + 6}$ , $\frac{1}{x ^{2} - x - 6}$ и $\frac{1}{x ^{2} - 9}$ .

$(x^{2} - 4) (x^{2} - 9)$
$(x - 3) (x - 2) (x + 3)$
$x (x - 2) (x - 3) (x + 3)$
$(x^{2} - 5 x + 6) (x^{2} - x - 6)$

№13 · СТЕПЕНЬ

2 БАЛЛА

13. Сложное преобразование

Упростите рациональное выражение, используя свойства степени: $\frac{a ^{- 3} - b ^{- 3}}{a ^{- 1} - b ^{- 1}} \cdot \frac{ab}{a ^{2} + ab + b ^{2}}$ .

№14 · КОМБИНАЦИЯ

3 БАЛЛА

14. Телескопическое упрощение

Упростите выражение, используя метод разложения дробей на разность: $\frac{1}{x ^{2} + x} + \frac{1}{x ^{2} + 3 x + 2} + \frac{1}{x ^{2} + 5 x + 6}$ .

№1 · СОКРАЩЕНИЕ

1 БАЛЛ

1. Сокращение дроби

Сократите рациональную дробь $\frac{x ^{2} - 25}{x ^{2} - 10 x + 25}$ . В ответ запишите полученное выражение.

№2 · ОДЗ

1 БАЛЛ

2. Область допустимых значений

Укажите все значения переменной $x$ , при которых выражение $\frac{x - 3}{x ( x + 4 )}$ имеет смысл.

$x \neq = 0$ и $x \neq = - 4$
$x \neq = 0$ и $x \neq = 4$
$x \neq = 3$
$x$ — любое число

№3 · УМНОЖЕНИЕ

1 БАЛЛ

3. Произведение дробей

Выполните умножение: $\frac{9 x ^{2}}{y} \cdot \frac{y ^{2}}{3 x}$ . Ответ запишите в виде упрощенного выражения.

№4 · СЛОЖЕНИЕ

3 БАЛЛА · СЛОЖНЫЙ

4. Применение нестандартных методов разложения

Упростите выражение, используя метод выделения полного квадрата для преобразования числителя первой дроби: $\frac{x ^{4} + 4}{x ^{2} - 2 x + 2} - 2 x$ .

$x^{2} + 2$
$x^{2} + 2 x + 2$
$x^{2} - 2$
$x^{2} - 4 x + 2$

№5 · ДЕЛЕНИЕ

3 БАЛЛА · СЛОЖНОЕ

5. Деление рациональных выражений

Выполните деление и максимально упростите результат: $\frac{x ^{4} + x ^{2} + 1}{x ^{3} + 1} \div \frac{x ^{2} + x + 1}{x ^{2} - 1}$ .

№6 · СЛОЖНОЕ СОКРАЩЕНИЕ

2 БАЛЛА

6. Метод выделения полного квадрата

Сократите рациональную дробь $\frac{x ^{4} + 4 y ^{4}}{x ^{2} - 2 x y + 2 y ^{2}}$ , предварительно преобразовав числитель.

$x^{2} + 2 x y + 2 y^{2}$
$x^{2} + 2 y^{2}$
$x^{2} - 2 y^{2}$
$(x + 2 y)^{2}$

№7 · ВЫЧИТАНИЕ

3 БАЛЛА

7. Многошаговое упрощение

Упростите рациональное выражение: $\frac{a}{a ^{2} - 9} - \frac{1}{a ^{2} + 3 a} - \frac{a + 1}{a ^{2} - 3 a}$ .

№9 · МНОГОЭТАЖНЫЕ ДРОБИ

2 БАЛЛА

9. Упрощение сложной дроби

Упростите выражение: $\frac{\frac{1}{a} - 1}{\frac{1}{a} + 1}$ .

№10 · ТОЖДЕСТВА

1 БАЛЛ

10. Ложные тождества

Какое из следующих выражений НЕ является тождественно равным дроби $\frac{a}{b}$ (при $b \neq = 0$ и допустимых значениях параметров)?

$\frac{a + 1}{b + 1}$
$\frac{a c}{b c}$
$\frac{a ^{3}}{a ^{2} b}$
$\frac{- a}{- b}$

№11 · СЛОЖНОЕ УПРОЩЕНИЕ

3 БАЛЛА

11. Метод выделения полного квадрата

Сократите рациональную дробь $\frac{x ^{4} + 3 x ^{2} + 4}{x ^{2} + x + 2}$ , применив метод дополнения до полного квадрата. В ответ запишите упрощённое выражение.

№12 · ЗНАМЕНАТЕЛЬ

2 БАЛЛА · СЛОЖНЫЙ

12. Общий знаменатель для системы дробей

Укажите наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{1}{x ^{2} + 3 x + 2}$ , $\frac{1}{x ^{2} + x - 2}$ и $\frac{1}{x ^{2} - 1}$ .

$(x - 1) (x + 1) (x + 2)$
$(x + 1) (x + 2) (x - 2)$
$(x^{2} - 1) (x^{2} - 4)$
$(x + 1)^{2} (x + 2) (x - 1)$

№13 · СТЕПЕНЬ

2 БАЛЛА

13. Сложное преобразование

Упростите выражение: $\frac{x ^{- 3} - y ^{- 3}}{x ^{- 1} - y ^{- 1}} \cdot \frac{x y}{x ^{2} + x y + y ^{2}}$ .

+25 заданий в этом листе

Зарегистрируйтесь — и соберите свой рабочий лист по этой теме за минуту: заданий столько, сколько нужно.

№14 · КОМБИНАЦИЯ

3 БАЛЛА

14. Телескопическое упрощение

Упростите выражение: $\frac{1}{x ^{2} + x} + \frac{1}{x ^{2} + 3 x + 2} + \frac{1}{x ^{2} + 5 x + 6}$ .

№2 · ОДЗ

1 БАЛЛ

2. Область допустимых значений

Укажите все значения переменной $x$ , при которых выражение $\frac{2 x - 3}{( x + 1 ) ( x - 3 )}$ имеет смысл.

$x \neq = - 1$ и $x \neq = 3$
$x \neq = 1, 5$
$x \neq = 1$ и $x \neq = - 3$
$x$ — любое число

№3 · УМНОЖЕНИЕ

1 БАЛЛ

3. Произведение дробей

Выполните умножение: $\frac{9 x ^{3}}{y ^{2}} \cdot \frac{y ^{3}}{3 x ^{2}}$ . Ответ запишите в виде упрощенного выражения.

№4 · СЛОЖЕНИЕ

3 БАЛЛА · СЛОЖНЫЙ

4. Применение нестандартных методов разложения

Упростите выражение, используя метод выделения полного квадрата для преобразования числителя первой дроби: $\frac{a ^{4} + 64}{a ^{2} - 4 a + 8} - 4 a$ .

$a^{2} + 8$
$a^{2} + 4 a + 8$
$a^{2} - 8$
$a^{2} + 4 a$

№5 · ДЕЛЕНИЕ

3 БАЛЛА · СЛОЖНОЕ

5. Деление рациональных выражений

Выполните деление и максимально упростите результат: $\frac{x ^{4} + x ^{2} y ^{2} + y ^{4}}{x ^{3} - y ^{3}} \div \frac{x ^{2} - x y + y ^{2}}{x ^{2} - y ^{2}}$ .

№6 · СЛОЖНОЕ СОКРАЩЕНИЕ

2 БАЛЛА

6. Метод выделения полного квадрата

Сократите рациональную дробь $\frac{x ^{4} + 64 y ^{4}}{x ^{2} + 4 x y + 8 y ^{2}}$ , предварительно применив тождественное преобразование к числителю.

$x^{2} - 4 x y + 8 y^{2}$
$x^{2} + 8 y^{2}$
$x^{2} - 8 y^{2}$
$(x - 4 y)^{2}$

№7 · ВЫЧИТАНИЕ

3 БАЛЛА

7. Многошаговое упрощение

Упростите рациональное выражение: $\frac{x}{x ^{2} - 9} - \frac{1}{x ^{2} - 3 x} - \frac{x - 2}{x ^{2} + 3 x}$ .

№8 · ВЫЧИСЛЕНИЕ

1 БАЛЛ

8. Значение выражения

Найдите значение выражения $\frac{x ^{2} - 4}{x + 2}$ при $x = 102$ .

$100$
$104$
$102$
$98$

№9 · МНОГОЭТАЖНЫЕ ДРОБИ

2 БАЛЛА

9. Упрощение сложной дроби

Упростите выражение: $\frac{a - \frac{4}{a}}{1 + \frac{2}{a}}$ .

№10 · ТОЖДЕСТВА

1 БАЛЛ

10. Ложные тождества

Какое из следующих выражений НЕ является тождественно равным дроби $\frac{a}{b}$ (при условии $b \neq = 0$ и допустимых значениях параметров)?

$\frac{a - k}{b - k}$
$\frac{a c}{b c}$
$\frac{- a}{- b}$
$\frac{a ^{3}}{a ^{2} b}$

№11 · СЛОЖНОЕ УПРОЩЕНИЕ

3 БАЛЛА

11. Метод выделения полного квадрата

Сократите рациональную дробь $\frac{x ^{4} + x ^{2} + 1}{x ^{2} + x + 1}$ , применив метод дополнения до полного квадрата. В ответ запишите упрощённое выражение.

№12 · ЗНАМЕНАТЕЛЬ

2 БАЛЛА · СЛОЖНЫЙ

12. Общий знаменатель для системы дробей

Укажите наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{1}{x ^{2} + 3 x + 2}$ , $\frac{1}{x ^{2} + x - 2}$ и $\frac{1}{x ^{2} - 1}$ .

$(x^{2} - 1) (x + 2)$
$(x + 1) (x + 2) (x - 1)^{2}$
$(x^{2} + 3 x + 2) (x^{2} - 1)$
$x^{3} - x^{2} - x + 1$

№13 · СТЕПЕНЬ

2 БАЛЛА

13. Сложное преобразование

Упростите выражение, применяя свойства степени и формулы сокращенного умножения: $\frac{x ^{- 3} - y ^{- 3}}{x ^{- 1} - y ^{- 1}} \cdot \frac{x y}{x ^{2} + x y + y ^{2}}$ .

№14 · КОМБИНАЦИЯ

3 БАЛЛА

14. Телескопическое упрощение

Упростите выражение: $\frac{1}{x ^{2} + x} + \frac{1}{x ^{2} + 3 x + 2} + \frac{1}{x ^{2} + 5 x + 6}$ .

№1 · СОКРАЩЕНИЕ

1 БАЛЛ

1. Сокращение дроби

Сократите рациональную дробь $\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + 6 x + 9}$ . В ответ запишите полученное выражение.

№2 · ОДЗ

1 БАЛЛ

2. Область допустимых значений

Укажите все значения переменной $x$ , при которых выражение $\frac{x + 5}{x ( x - 2 )}$ имеет смысл.

$x \neq = 0$ и $x \neq = 2$
$x \neq = 2$
$x \neq = - 5$
$x$ — любое число

№3 · УМНОЖЕНИЕ

1 БАЛЛ

3. Произведение дробей

Выполните умножение: $\frac{4 a ^{2}}{b} \cdot \frac{b ^{2}}{8 a}$ . Ответ запишите в виде упрощенного выражения.

№4 · СЛОЖЕНИЕ

3 БАЛЛА · СЛОЖНЫЙ

4. Применение нестандартных методов разложения

Упростите выражение, используя метод выделения полного квадрата для преобразования числителя первой дроби: $\frac{x ^{4} + 4}{x ^{2} + 2 x + 2} + 2 x$ .

$x^{2} + 2$
$x^{2} - 2 x + 2$
$x^{2} + 2 x$
$x^{2} + 4$

№5 · ДЕЛЕНИЕ

3 БАЛЛА · СЛОЖНОЕ

5. Деление рациональных выражений

Выполните деление и максимально упростите результат, используя разложение на множители (в том числе метод дополнения до полного квадрата): $\frac{a ^{4} + a ^{2} + 1}{a ^{3} - 1} \div \frac{a ^{2} - a + 1}{a ^{2} - 1}$ .

№6 · СЛОЖНОЕ СОКРАЩЕНИЕ

2 БАЛЛА

6. Метод выделения полного квадрата

Сократите рациональную дробь $\frac{a ^{4} + 4 b ^{4}}{a ^{2} + 2 ab + 2 b ^{2}}$ , предварительно применив тождественное преобразование к числителю.

$a^{2} - 2 ab + 2 b^{2}$
$a^{2} + 2 b^{2}$
$a^{2} - 2 b^{2}$
$(a - 2 b)^{2}$

№7 · ВЫЧИТАНИЕ

3 БАЛЛА

7. Многошаговое упрощение

Упростите рациональное выражение, выполнив вычитание дробей и максимально сократив полученный результат: $\frac{x}{x ^{2} - 4} - \frac{1}{x ^{2} - 2 x} - \frac{x - 1}{x ^{2} + 2 x}$ .

№8 · ВЫЧИСЛЕНИЕ

1 БАЛЛ

8. Значение выражения

Найдите значение выражения $\frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ при $x = 99$ .

$100$
$98$
$101$
$99$

№9 · МНОГОЭТАЖНЫЕ ДРОБИ

2 БАЛЛА

9. Упрощение сложной дроби

Упростите выражение: $\frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$ .

№10 · ТОЖДЕСТВА

1 БАЛЛ

10. Ложные тождества

Какое из следующих выражений НЕ является тождественно равным дроби $\frac{x}{y}$ (при условии $y \neq = 0$ и допустимых значениях параметров)?

$\frac{x + a}{y + a}$
$\frac{x ^{2}}{x y}$
$\frac{- x}{- y}$
$\frac{2 x}{2 y}$

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Другие темы по алгебре для 10 класса

Пределы Синус, косинус и тангенс числового аргумента Решение систем уравнений методом Крамера Матрицы Синус, косинус и тангенс числового аргумента; Основные тригонометрические формулы; Преобразование тригонометрических выражений; Решение тригонометрических уравнений Уравнения Вычисления и преобразования Действия над положительными и отрицательными числами, обыкновенными и десятичными дробями. Действия со степенями, формулы сокращенного умножения.Логическая алгебраическая олимпиадная Бином Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов.Показательные уравнения и неравенства Исследование функций с помощью производной

Чем удобны рабочие листы Нейрум

По действующей программеТемы и задания совпадают со школьной программой 1–11 классов. Открыли — дали классу, без правок.
Готово к печати, с ответамиPDF в формате A4 и ключ ответов на отдельной странице. Скачали, распечатали, раздали — без правок в Word.
Свой лист за минутуНе нашли нужный? ИИ-конструктор соберёт лист по вашей теме, классу и типам заданий.

Вопросы и ответы

Как скачать рабочий лист «Тождественные преобразования рациональных выражений»?

Зарегистрируйтесь бесплатно — лист сохранится в личном кабинете, откуда его можно скачать в PDF и распечатать.

Сколько заданий в листе и какие они?

В листе 50 заданий: краткий ответ, множественный выбор.

Соответствует ли лист ФГОС?

Да, задания ориентированы на школьную программу по алгебре для 10 класса по ФГОС.

Можно ли изменить задания под свой класс?

Да. После регистрации лист открывается в конструкторе: задания можно заменить, перегенерировать или добавить новые.

Тождественные преобразования рациональных выражений

Типы заданий

1. Сокращение дроби

2. Область допустимых значений

3. Произведение дробей

4. Применение нестандартных методов разложения

5. Деление рациональных выражений

6. Метод выделения полного квадрата

7. Многошаговое упрощение

8. Значение выражения

9. Упрощение сложной дроби

10. Ложные тождества

11. Метод выделения полного квадрата

12. Общий знаменатель для системы дробей

13. Сложное преобразование

14. Телескопическое упрощение

1. Сокращение дроби

2. Область допустимых значений

3. Произведение дробей

4. Применение нестандартных методов разложения

5. Деление рациональных выражений

6. Метод выделения полного квадрата

7. Многошаговое упрощение

9. Упрощение сложной дроби

10. Ложные тождества

11. Метод выделения полного квадрата

12. Общий знаменатель для системы дробей

13. Сложное преобразование

14. Телескопическое упрощение

2. Область допустимых значений

3. Произведение дробей

4. Применение нестандартных методов разложения

5. Деление рациональных выражений

6. Метод выделения полного квадрата

7. Многошаговое упрощение

8. Значение выражения

9. Упрощение сложной дроби

10. Ложные тождества

11. Метод выделения полного квадрата

12. Общий знаменатель для системы дробей

13. Сложное преобразование

14. Телескопическое упрощение

1. Сокращение дроби

2. Область допустимых значений

3. Произведение дробей

4. Применение нестандартных методов разложения

5. Деление рациональных выражений

6. Метод выделения полного квадрата

7. Многошаговое упрощение

8. Значение выражения

9. Упрощение сложной дроби

10. Ложные тождества

Похожие рабочие листы

Пределы

Синус, косинус и тангенс числового аргумента

Решение систем уравнений методом Крамера

Другие темы по алгебре для 10 класса

Чем удобны рабочие листы Нейрум

Вопросы и ответы