Решение уравнений с модулем

1 ШАГ · 1 БАЛЛ

1. Простейшее уравнение

Чтобы решить уравнение вида $|x-a|=b$ при $b\ge 0$, нужно рассмотреть два случая: $x-a=b$ или $x-a=-b$. Например, для $|x-1|=4$: $x-1=4\Rightarrow x=5$; $x-1=-4\Rightarrow x=-3$. Ответ: $-3;5$. Найдите все корни уравнения $|x-7|=4$.

• $3;11$
• $11$
• $-3;11$
• $3$

1 ШАГ · 1 БАЛЛ

2. Условие существования корней

Образец: $|x|=-5$. Так как модуль любого числа всегда неотрицателен ($|a|\ge 0$), данное уравнение не имеет решений (0 корней). Укажите количество корней уравнения $|0,5x-12|=-3$.

2 ШАГА · 2 БАЛЛА

3. Линейное уравнение с модулем

Чтобы решить уравнение вида $|ax+b|=c$, рассмотрите два случая: $ax+b=c$ и $ax+b=-c$. Решите уравнение и запишите сумму его корней: $|2x-7|=3$.

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 2 БАЛЛА

4. Истинность суждений

Определите истинность утверждений о свойствах модуля и методах решения уравнений. Образец проверки: для уравнения $|x-5|=-2$ мы видим, что модуль равен отрицательному числу, значит, корней нет — утверждение о наличии корней было бы ложным.

1. Уравнение $|f(x)|=g(x)$ равносильно совокупности систем, в одной из которых $g(x)\ge 0$.ИстинаЛожь
2. Любое уравнение вида $|f(x)|=|g(x)|$ равносильно уравнению $(f(x){)}^2=(g(x){)}^2$.ИстинаЛожь
3. График функции $y=|kx+b|$ всегда расположен строго выше оси абсцисс ($Ox$).ИстинаЛожь
4. При решении уравнения $|x-a|=b$ методом интервалов критической точкой является $x=a$.ИстинаЛожь

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ

5. Метод замены

Изучите образец решения и заполните пропуски для уравнения $x^2-4|x|-5=0$.

Алгоритм: 1. Замените $x^2$ на $|x{|}^2$. 2. Введите $t=|x|$, $t\ge 0$. 3. Решите уравнение относительно $t$. 4. Вернитесь к $|x|$. Решение: Уравнение $|x{|}^2-4|x|-5=0$. Пусть $|x|=t$. Получаем $t^2-4t-5=0$. Корни этого уравнения: $t_1=5$ и $t_2=$ . Условию $t\ge 0$ удовлетворяет только $t=$ . Следовательно, $|x|=5$, откуда корни $x$ равны .