Рабочий лист на тему:

Равносильные уравнения и неравенства

Алгебра10 класс50 заданий

Реши примерыТаблицаРеши задачуНайти лишнееКраткий ответ

Типы заданий

Реши примерыТаблицаРеши задачуНайти лишнееКраткий ответ

10 класс · простой

Ф.И.
Класс

Сегодня мы закрепим навыки работы с равносильными преобразованиями. Это поможет тебе безошибочно упрощать задачи и уверенно готовиться к экзаменам.

№1 · КОРНИ УРАВНЕНИЙ

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 1 БАЛЛ

1. Проверка корней

Вычислите значение левой части выражения при заданном значении переменной, чтобы убедиться, является ли число корнем.

3 x - 12 при x = 4

x^{2} - 16 при x = - 4

4 x + 8 при x = 3

№2 · РАВНОСИЛЬНОСТЬ

ТАБЛИЦА · 2 БАЛЛА

2. Пары уравнений

Сравните пары уравнений и определите, равносильны ли они на множестве действительных чисел.

Первое уравнение	Второе уравнение	Равносильны? (Да/Нет)
$x - 5 = 0$	$3 x = 15$
$x^{2} = 9$	$x = 3$
$\frac{x - 2}{x - 2} = 1$	$x = x$

№3 · РЕШЕНИЕ

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

3. Линейное уравнение

Решите линейное уравнение $4 (x - 3) = 2 x + 6$ , применяя равносильные преобразования.

№4 · ЛОГИКА

ВЫБОР · 1 БАЛЛ

4. Лишнее уравнение

Найдите среди предложенных уравнений то, которое имеет отличный от остальных набор корней.

$x + 3 = 7$
$2 x = 8$
$x^{2} = 16$
$x - 1 = 3$

№5 · КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

5. Решение через дискриминант

Решите полное квадратное уравнение $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ .

№6 · РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ПРИМЕРЫ · 1 БАЛЛ

6. Простейшие дроби

Убедитесь, что при заданном значении $x$ числитель дроби обращается в ноль.

x - 6 в \frac{x - 6}{x + 1} = 0 при x = 6

3 x + 9 в \frac{3 x + 9}{x} = 0 при x = - 3

x^{2} - 4 в \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = 0 при x = 2

№7 · ОДЗ

ТАБЛИЦА · 2 БАЛЛА

7. Область определения

Определите знаменатель и значение переменной, при которой выражение не имеет смысла.

Выражение	Знаменатель	Ограничение (x ≠ ...)
$\frac{8}{x - 5}$
$\frac{x + 3}{x + 6}$
$\frac{1}{4 x - 12}$

№8 · РЕШЕНИЕ

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

8. Рациональное уравнение

Найдите корни рационального уравнения $\frac{x - 5}{x + 3} = 0$ , учитывая ОДЗ.

№9 · НЕРАВЕНСТВА

ПРИМЕРЫ · 1 БАЛЛ

9. Проверка неравенств

Определите истинность числового неравенства при подстановке конкретного значения переменной.

x + 4 > 6 при x = 3

3 x \leq 12 при x = 5

- x < 2 при x = - 3

№10 · ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ТАБЛИЦА · 2 БАЛЛА

10. Свойства неравенств

Опишите переход между неравенствами и укажите, является ли он равносильным.

Исходное	Результат	Действие	Равносильно?
$x + 4 > 12$	$x > 8$
$4 x < 20$	$x < 5$
$- 3 x > 9$	$x > - 3$

№11 · ТЕОРИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ · 1 БАЛЛ

11. Понятие равносильности

Сформулируйте основное определение: какие два уравнения (или неравенства) называют равносильными?

№12 · УЧЕБНИК

АЛИМОВ 10-11 · 1 БАЛЛ

12. Работа с теорией

Используя учебник Ш.А. Алимова, ответьте: считаются ли равносильными два неравенства, если оба они не имеют решений?

№13 · ИТОГ

КРАТКИЙ ОТВЕТ · 1 БАЛЛ

13. Условие равносильности

Как называются математические операции, которые не меняют множество корней уравнения?

№14 · ОШИБКИ

ВЫБОР · 1 БАЛЛ

14. Нарушение равносильности

Выберите логический переход, в котором была допущена ошибка, приводящая к потере корней или появлению лишних.

$x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6$
$x^{2} = 36 \Rightarrow x = 6$
$3 x = 12 \Rightarrow x = 4$
$x + 2 = 2 \Rightarrow x = 0$

№15 · ЛОГИКА

ВЫБОР · 1 БАЛЛ

15. Лишнее неравенство

Укажите неравенство, область решений которого не совпадает с решениями остальных трех выражений.

$x > 3$
$3 x > 9$
$x - 3 > 0$
$x^{2} > 9$

№16 · СИСТЕМЫ

ПРИМЕРЫ · 1 БАЛЛ

16. Проверка систем

Проверьте, является ли пара чисел $(x; y) = (3; 2)$ решением систем уравнений.

x + y = 5 и x - y = 1

2 x - y = 4 и x + y = 5

x^{2} + y^{2} = 10 и x y = 6

№17 · СИСТЕМЫ

ПРИМЕРЫ · 1 БАЛЛ

17. Равносильные системы

Является ли пара чисел $(2; - 2)$ решением данных систем уравнений? Запишите «Да» или «Нет».

{3 x + 2 y = 2 x - y = 4

{x^{2} + y^{2} = 8 2 x + y = 2

{\frac{x + 2}{y + 4} = 2 x + y = 0

{x + 2 = 2 x y = - 4

№18 · ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ТАБЛИЦА · 2 БАЛЛА

18. Равносильные переходы

Проанализируйте преобразования и определите их тип и корректность с точки зрения сохранения равносильности.

Переход	Тип действия	Сохранена равносильность?
$x = 5 \Rightarrow x^{2} = 25$
$x - 4 = 3 \Rightarrow x = 7$
$x = 4 \Rightarrow x = 16$

№19 · ГРАФИКА

ГРАФИК · 3 БАЛЛА

19. Корни по графику

Рассмотрите график функции $f (x) = x^{2} - 1$ . Назовите абсциссы точек пересечения графика с осью $O x$ (корни уравнения $x^{2} - 1 = 0$ ).

$y = x^{2} - 1$

№20 · ПУСТОЕ МНОЖЕСТВО

ВЫБОР · 1 БАЛЛ

20. Уравнения с корнями

Найдите среди приведенных уравнений то, которое имеет хотя бы одно решение.

$x^{2} + 4 = 0$
$∣ x ∣ = - 1$
$0 \cdot x = 2$
$x^{2} = 4$

№1 · КОРНИ УРАВНЕНИЙ

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 1 БАЛЛ

1. Проверка корней

Найдите значение левой части уравнения при заданном $x$ , чтобы проверить, является ли число корнем.

3 x - 15 при x = 5

x^{2} - 16 при x = - 4

2 x + 8 при x = 3

№2 · РАВНОСИЛЬНОСТЬ

ТАБЛИЦА · 2 БАЛЛА

2. Пары уравнений

Определите, являются ли уравнения в парах равносильными на множестве действительных чисел.

Первое уравнение	Второе уравнение	Равносильны? (Да/Нет)
$x - 5 = 0$	$4 x = 20$
$x^{2} = 9$	$x = 3$
$\frac{x - 1}{x - 1} = 1$	$x = x$

№3 · РЕШЕНИЕ

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

3. Линейное уравнение

Решите уравнение $4 (x - 3) = 2 x + 2$ , используя равносильные преобразования.

№4 · ЛОГИКА

ВЫБОР · 1 БАЛЛ

4. Лишнее уравнение

Найдите уравнение, которое НЕ является равносильным остальным трем (имеет другой набор корней).

$x + 4 = 9$
$2 x = 10$
$x^{2} = 25$
$x - 1 = 4$

№5 · КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

5. Решение через дискриминант

Решите квадратное уравнение $x^{2} - 8 x + 12 = 0$ .

№6 · РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ПРИМЕРЫ · 1 БАЛЛ

6. Простейшие дроби

Найдите значение числителя при заданном $x$ .

x - 3 в \frac{x - 3}{x + 5} = 0 при x = 3

3 x + 9 в \frac{3 x + 9}{x} = 0 при x = - 3

x^{2} - 4 в \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = 0 при x = 2

+25 заданий в этом листе

Зарегистрируйтесь — и соберите свой рабочий лист по этой теме за минуту: заданий столько, сколько нужно.

№7 · ОДЗ

ТАБЛИЦА · 2 БАЛЛА

7. Область определения

Заполните таблицу ограничений для переменных в рациональных выражениях.

Выражение	Знаменатель	Ограничение (x ≠ ...)
$\frac{8}{x - 5}$
$\frac{x + 2}{x + 6}$
$\frac{1}{3 x - 12}$

№8 · РЕШЕНИЕ

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

8. Рациональное уравнение

Решите уравнение $\frac{x - 7}{x + 3} = 0$ . Укажите ОДЗ.

№9 · НЕРАВЕНСТВА

ПРИМЕРЫ · 1 БАЛЛ

9. Проверка неравенств

Верно ли неравенство при указанном значении $x$ ?

x + 6 > 10 при x = 5

3 x \leq 15 при x = 6

- x < 2 при x = - 3

№10 · ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ТАБЛИЦА · 2 БАЛЛА

10. Свойства неравенств

Укажите, какое действие было совершено над первым неравенством, чтобы получить второе, и является ли оно равносильным.

Исходное	Результат	Действие	Равносильно?
$x + 6 > 15$	$x > 9$
$3 x < 12$	$x < 4$
$- x > 2$	$x > - 2$

№11 · ТЕОРИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ · 1 БАЛЛ

11. Понятие равносильности

Запишите определение: какие два уравнения называются равносильными?

№12 · УЧЕБНИК

АЛИМОВ 10-11 · 1 БАЛЛ

12. Работа с теорией

Согласно учебнику Алимова, к какому уравнению приводит умножение обеих частей исходного уравнения на число $k \neq = 0$ ?

№13 · ИТОГ

КРАТКИЙ ОТВЕТ · 1 БАЛЛ

13. Условие равносильности

Как называются преобразования, которые переводят уравнение в другое уравнение, имеющее те же корни?

№14 · ОШИБКИ

ВЫБОР · 1 БАЛЛ

14. Нарушение равносильности

Выберите переход, при котором была ПОТЕРЯНА равносильность.

$x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6$
$x^{2} = 49 \Rightarrow x = 7$
$3 x = 12 \Rightarrow x = 4$
$x + 5 = 5 \Rightarrow x = 0$

№15 · ЛОГИКА

ВЫБОР · 1 БАЛЛ

15. Лишнее неравенство

Найдите неравенство, множество решений которого отличается от остальных.

$x > 4$
$3 x > 12$
$x - 4 > 0$
$x^{2} > 16$

№16 · СИСТЕМЫ

ПРИМЕРЫ · 1 БАЛЛ

16. Проверка систем

Является ли пара $(x; y) = (3; 2)$ решением системы?

x + y = 5 и x - y = 1

x + 2 y = 7 и 2 x - y = 4

x^{2} + y^{2} = 13 и x y = 5

№17 · СИСТЕМЫ

ПРИМЕРЫ · 1 БАЛЛ

17. Равносильные системы

Определите, является ли пара чисел $(2; - 1)$ решением предложенных систем уравнений. В ответе запишите «Да» или «Нет».

{3 x + 2 y = 4 x - y = 3

{x^{2} + y^{2} = 5 x + 2 y = 0

{\frac{x + 2}{y + 3} = 2 2 x - y = 5

{x + 2 = 2 x y = - 2

№18 · ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ТАБЛИЦА · 2 БАЛЛА

18. Равносильные переходы

Определите тип преобразования (сложение, умножение, возведение в степень) и его корректность.

Переход	Тип действия	Сохранена равносильность?
$x = 5 \Rightarrow x^{2} = 25$
$x - 2 = 6 \Rightarrow x = 8$
$x = 3 \Rightarrow x = 9$

№19 · ГРАФИКА

ГРАФИК · 3 БАЛЛА

19. Корни по графику

На рисунке изображен график функции $f (x) = x^{2} - 9$ . Используя график, найдите корни уравнения $x^{2} - 9 = 0$ .

$y = x^{2} - 9$

№20 · ПУСТОЕ МНОЖЕСТВО

ВЫБОР · 1 БАЛЛ

20. Уравнения без корней

Найдите уравнение, которое имеет хотя бы один корень (остальные корней не имеют).

$x^{2} + 9 = 0$
$∣ x ∣ = - 5$
$0 \cdot x = 7$
$x^{2} = 1$

№1 · КОРНИ УРАВНЕНИЙ

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 1 БАЛЛ

1. Проверка корней

Найдите значение левой части уравнения при заданном $x$ , чтобы проверить, является ли число корнем.

3 x - 12 при x = 4

x^{2} - 16 при x = - 4

4 x + 8 при x = 3

№2 · РАВНОСИЛЬНОСТЬ

ТАБЛИЦА · 2 БАЛЛА

2. Пары уравнений

Определите, являются ли уравнения в парах равносильными на множестве действительных чисел.

Первое уравнение	Второе уравнение	Равносильны? (Да/Нет)
$x - 5 = 0$	$3 x = 15$
$x^{2} = 9$	$x = 3$
$x = - 1$	$x + 1 = x$

№3 · РЕШЕНИЕ

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

3. Линейное уравнение

Решите уравнение $4 (x - 3) = 2 x + 6$ , используя равносильные преобразования.

№4 · ЛОГИКА

ВЫБОР · 1 БАЛЛ

4. Лишнее уравнение

Найдите уравнение, которое НЕ является равносильным остальным трем (имеет другой набор корней).

$x + 4 = 6$
$2 x = 4$
$x^{2} = 4$
$x - 5 = - 3$

№5 · КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

5. Решение через дискриминант

Решите квадратное уравнение $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ .

№6 · РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ПРИМЕРЫ · 1 БАЛЛ

6. Простейшие дроби

Найдите значение числителя при заданном $x$ .

x - 6 в \frac{x - 6}{x + 3} = 0 при x = 6

3 x + 9 в \frac{3 x + 9}{x - 1} = 0 при x = - 3

x^{2} - 4 в \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = 0 при x = 2

№7 · ОДЗ

ТАБЛИЦА · 2 БАЛЛА

7. Область определения

Заполните таблицу ограничений для переменных в рациональных выражениях.

Выражение	Знаменатель	Ограничение (x ≠ ...)
$\frac{7}{x - 4}$
$\frac{x + 2}{x + 5}$
$\frac{1}{3 x - 12}$

№8 · РЕШЕНИЕ

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

8. Рациональное уравнение

Решите уравнение $\frac{x - 5}{x + 3} = 0$ . Укажите ОДЗ.

№9 · НЕРАВЕНСТВА

ПРИМЕРЫ · 1 БАЛЛ

9. Проверка неравенств

Верно ли неравенство при указанном значении $x$ ?

x + 4 > 6 при x = 2

3 x \leq 15 при x = 5

- x < 2 при x = - 3

№10 · ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ТАБЛИЦА · 2 БАЛЛА

10. Свойства неравенств

Исходное	Результат	Действие	Равносильно?
$x + 5 > 12$	$x > 7$
$3 x < 18$	$x < 6$
$- 2 x > 10$	$x > - 5$

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Типы заданий

Реши примерыТаблицаРеши задачуНайти лишнееКраткий ответ

Создайте дополнительно

Другие темы по алгебре для 10 класса

Вектор Неравенства. Решение неравенств Параметр Радианная мера угла Определения синуса, косинуса и тангенса угла Множество, операции над множествами, диаграммы Эйлера-Венна. Использование теоретико-множественного аппарата для описания реальных процессов и явлений в профессиональной деятельности, при решении задач из других дисциплин Арифметический корень n-ой степени Определитель матрицы. Прямоугольная матрица без квадратных матриц Определитель матрицы Формула включения-исключения Синус и косинус. Тангенс и котангенс Тождественные выражения

Чем удобны рабочие листы Нейрум

По действующей программеТемы и задания совпадают со школьной программой 1–11 классов. Открыли — дали классу, без правок.
Готово к печати, с ответамиPDF в формате A4 и ключ ответов на отдельной странице. Скачали, распечатали, раздали — без правок в Word.
Свой лист за минутуНе нашли нужный? ИИ-конструктор соберёт лист по вашей теме, классу и типам заданий.

Вопросы и ответы

Как скачать рабочий лист «Равносильные уравнения и неравенства»?

Зарегистрируйтесь бесплатно — лист сохранится в личном кабинете, откуда его можно скачать в PDF и распечатать.

Сколько заданий в листе и какие они?

В листе 50 заданий: реши примеры, таблица, реши задачу, найти лишнее, краткий ответ.

Соответствует ли лист ФГОС?

Да, задания ориентированы на школьную программу по алгебре для 10 класса по ФГОС.

Можно ли изменить задания под свой класс?

Да. После регистрации лист открывается в конструкторе: задания можно заменить, перегенерировать или добавить новые.

Равносильные уравнения и неравенства

Типы заданий

1. Проверка корней

2. Пары уравнений

3. Линейное уравнение

4. Лишнее уравнение

5. Решение через дискриминант

6. Простейшие дроби

7. Область определения

8. Рациональное уравнение

9. Проверка неравенств

10. Свойства неравенств

11. Понятие равносильности

12. Работа с теорией

13. Условие равносильности

14. Нарушение равносильности

15. Лишнее неравенство

16. Проверка систем

17. Равносильные системы

18. Равносильные переходы

19. Корни по графику

20. Уравнения с корнями

1. Проверка корней

2. Пары уравнений

3. Линейное уравнение

4. Лишнее уравнение

5. Решение через дискриминант

6. Простейшие дроби

7. Область определения

8. Рациональное уравнение

9. Проверка неравенств

10. Свойства неравенств

11. Понятие равносильности

12. Работа с теорией

13. Условие равносильности

14. Нарушение равносильности

15. Лишнее неравенство

16. Проверка систем

17. Равносильные системы

18. Равносильные переходы

19. Корни по графику

20. Уравнения без корней

1. Проверка корней

2. Пары уравнений

3. Линейное уравнение

4. Лишнее уравнение

5. Решение через дискриминант

6. Простейшие дроби

7. Область определения

8. Рациональное уравнение

9. Проверка неравенств

10. Свойства неравенств

Похожие рабочие листы

Вектор

Неравенства. Решение неравенств

Параметр

Другие темы по алгебре для 10 класса

Чем удобны рабочие листы Нейрум

Вопросы и ответы