Рациональные и дробно-рациональные уравнения и неравенства

1 НЕРАВЕНСТВО · 3 БАЛЛА

1. Решаем дробно-рациональное неравенство

Решите неравенство $\frac{x^2-7x+10}{x^2-4}>0$. Укажите область допустимых значений, разложите числитель и знаменатель на множители и запишите ответ в виде объединения промежутков.

1 УРАВНЕНИЕ · 4 БАЛЛА

2. Рациональное уравнение с нестандартной заменой

Решите уравнение ${\left(\frac{x+1}{x-3}\right)}^2-4\frac{x+1}{x-3}+3=0$. Запишите область допустимых значений и выполните проверку найденного корня.

1 НЕРАВЕНСТВО · 3 БАЛЛА

3. Рациональное неравенство с несколькими критическими точками

Решите неравенство $\frac{1}{x-2}+\frac{2}{x+1}>1$. Выполните преобразования, учитывая область допустимых значений, и запишите ответ в виде объединения промежутков.

1 ВЫБОР · 1 БАЛЛ

4. Решение дробно-рационального неравенства

Решите неравенство методом интервалов и выберите множество его решений: $$\frac{x-3}{x+2}\le \frac{x+1}{x-2}.$$ Учтите ограничения на переменную и включение граничных точек.

• $(-2;\frac{1}{2}]\cup (2;+\infty )$
• $(-2;\frac{1}{2})\cup (2;+\infty )$
• $(-\infty ;-2)\cup [\frac{1}{2};2)$
• $(-\infty ;-2)\cup (\frac{1}{2};2]$

1 ПРОПУСК · 1 БАЛЛ

5. Алгоритм решения

Заполните пропуск в записи алгоритма решения дробно-рационального уравнения.

Перед сокращением или умножением на выражение необходимо записать .

6 ШАГОВ · 3 БАЛЛА

6. Восстановите алгоритм решения

Расположите этапы решения дробно-рационального неравенства с приведением к единой дроби и методом интервалов в правильном порядке.

1. Найти нули числителя и знаменателя, затем расположить все критические точки по возрастанию.
2. Нанести найденные точки на числовую прямую и определить знаки выражения на каждом промежутке.
3. Записать ограничения на переменную, исключив значения, при которых знаменатель равен нулю.
4. Выбрать промежутки, на которых знак выражения соответствует знаку неравенства; учесть включение или исключение нулевых точек.
5. Разложить на множители числитель и знаменатель полученной дроби.
6. Перенести все слагаемые в одну часть и привести выражение к единой дроби.

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 2 БАЛЛА

7. Проверь ход решения

Определите, истинны или ложны утверждения о решении рациональных уравнений и неравенств. Оценивайте только математическую правильность рассуждений, учитывая ОДЗ и изменение знака при умножении неравенства.

1. Уравнение $\frac{x^2-7x+12}{x-3}=0$ имеет ровно один корень: $x=4$, поскольку значение $x=3$ исключается из ОДЗ.ИстинаЛожь
2. В неравенстве $\frac{x+2}{x-4}\le 0$ точку $x=4$ нужно включить в ответ, потому что после подстановки знаменатель обращается в ноль.ИстинаЛожь
3. При решении неравенства $(x+5)(3x-2)>0$ можно разделить обе части на $x+5$ без изменения знака, поскольку это линейный множитель.ИстинаЛожь
4. Уравнение $\frac{x^2-16}{x-4}=0$ после сокращения сводится к $x+4=0$ при условии $x\ne 4$, поэтому его единственный корень равен $-4$.ИстинаЛожь

4 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

8. Соотнесите метод и ситуацию

Соедините каждый метод решения с ситуацией, в которой он применяется наиболее уместно.

1 НЕРАВЕНСТВО · 3 БАЛЛА

9. Метод интервалов

Решите неравенство $\frac{(x-4)(x+2)}{x-1}<0$. Запишите ответ в виде объединения промежутков.

1 УРАВНЕНИЕ · 3 БАЛЛА

10. Замена переменной

Решите уравнение $\frac{x^2-9}{x-3}=2$. Учтите область допустимых значений.