Модуль действительного числа

РАССТОЯНИЕ · 2 БАЛЛА

4. Расстояние между точками на прямой

Найдите расстояние $\rho (c,d)$ между точками $C(5,8)$ и $D(-11,3)$ на координатной прямой, используя формулу модуля разности координат.

ПРОПУСКИ · 2 БАЛЛА

5. Раскрытие модуля в выражении

Заполните пропуски в рассуждении при упрощении выражения $\frac{|a-b|}{|b-a|}$ при условии, что $a\ne b$.

Заметим, что выражения под модулем являются противоположными: $b-a=-(a-b)$. Так как модуль противоположных чисел равен, то $|b-a|=\underline{}$. Подставив это в дробь, получим $\frac{|a-b|}{\square }$. После сокращения дроби окончательный результат равен .

4 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

6. Сравнение модуля суммы и суммы модулей

Сравните значения выражений $|x+y|$ и $|x|+|y|$ для указанных пар чисел, используя знаки $<,>,=$.

ТАБЛИЦА · 2 БАЛЛА

7. Свойства квадрата и модуля

Заполните таблицу для проверки тождества $|x{|}^2=x^2$ для различных действительных чисел.

ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

8. Упрощение с радикалом и модулем

Упростите выражение $\sqrt{x^2-8x+16}+|x-6|$, если известно, что $4\le x\le 6$.

ТЕЗИСЫ · 3 БАЛЛА

9. Свойство модуля разности

Используя неравенство треугольника $|x+y|\le |x|+|y|$, докажите, что $|a-b|\ge |a|-|b|$. Опишите логику доказательства по шагам.

ГРАФИК · 3 БАЛЛА

10. Интерпретация расстояния

На координатной прямой отмечены точки $P(-4)$ и $Q(6)$. Найдите координаты всех точек $X(x)$, сумма расстояний от которых до точек $P$ и $Q$ равна $14$. Составьте уравнение и решите его.

1 ВЫБОР · 1 БАЛЛ

1. Алгебраическое определение модуля

Выберите верную запись аналитического определения модуля для любого действительного числа $x$.

• $|x|=\{\begin{array}{l}x,\text{ если }x\ge 0\\ -x,\text{ если }x<0\end{array}$
• $|x|=\{\begin{array}{l}x,\text{ если }x>0\\ -x,\text{ если }x\le 0\end{array}$
• $|x|=x$ для любого $x\in \mathbb{R}$
• $|x|=-x$ для любого $x\in \mathbb{R}$

3 ПРИМЕРА · 1 БАЛЛ

2. Модуль отрицательного числа

Вычислите значения выражений, используя определение модуля.

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 1 БАЛЛ

3. Истинность свойств модуля

Отметьте, какие из данных утверждений о свойствах модуля являются верными для любых действительных чисел $a$ и $b$.

1. $|a^2|=a^2$ИстинаЛожь
2. $|a+b|=|a|+|b|$ всегдаИстинаЛожь
3. $|a\cdot b|=|a|\cdot |b|$ИстинаЛожь
4. $|a|=-a$, если $a<0$ИстинаЛожь

РАССТОЯНИЕ · 2 БАЛЛА

4. Расстояние между точками на прямой

Найдите расстояние $\rho (a,b)$ между точками $A(-12,5)$ и $B(4,2)$ на координатной прямой, используя формулу через модуль.

ПРОПУСКИ · 2 БАЛЛА

5. Раскрытие модуля в выражении

Заполните пропуски в процессе упрощения выражения $\frac{|x-1|}{|1-x|}$ при условии, что $x\ne 1$.

Так как $|1-x|=|-(x-1)|$, а по свойству модуля $|-a|=|a|$, то $|1-x|=\underline{}$. Тогда исходное выражение принимает вид $\frac{|x-1|}{\square }$, что после сокращения равно .

4 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

6. Сравнение модуля суммы и суммы модулей

Сравните значения выражений $|a+b|$ и $|a|+|b|$ для заданных чисел.

ТАБЛИЦА · 2 БАЛЛА

7. Свойства квадрата и модуля

Заполните таблицу, проверяя тождество $|x{|}^2=x^2$ для различных значений $x$.

ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

8. Упрощение с радикалом и модулем

Упростите выражение $\sqrt{x^2-6x+9}+|x-5|$, если известно, что $3\le x\le 5$.

ТЕЗИСЫ · 3 БАЛЛА

9. Неравенство треугольника для разности

Рассуждая аналогично доказательству неравенства треугольника $|a+b|\le |a|+|b|$, докажите свойство $||a|-|b||\le |a-b|$. Опишите основные шаги доказательства.

ГРАФИК · 3 БАЛЛА

10. Интерпретация расстояния

Даны две точки на координатной прямой: $A(-5)$ и $B(7)$. Найдите координаты всех точек $M(x)$, сумма расстояний от которых до точек $A$ и $B$ в точности равна $16$. Запишите соответствующее уравнение с использованием знаков модуля и решите его аналитически.