Множества рациональных и действительных чисел. Рациональные уравнения и неравенства

3 ШАГА · 3 БАЛЛА

1. Анализ давления в трубах

Максим установил, что давление в системе безопасно, если выполняется неравенство $\frac{(x-3{)}^2(x+5)}{(x-1)(x-7)}\le 0$. Решите это неравенство методом интервалов и запишите все промежутки и отдельные точки, входящие в ответ.

1 МИНУТА · 1 БАЛЛ

2. Критическая точка датчика

Один из датчиков Максима выдает ошибку при значениях $x$, когда выражение $\frac{x^2-4}{x+2}$ не определено. Выберите верное утверждение о поведении этого выражения.

• Выражение равно 0 при $x=2$ и не определено при $x=-2$.
• Выражение равно 0 при $x=2$ и $x=-2$.
• Выражение всегда определено, так как дробь сокращается до $x-2$.
• Выражение не определено при $x=2$.

ЗАМЕНА · 3 БАЛЛА

3. Модель фильтрации

Для моделирования потока воды через фильтр Максим использует уравнение $x^2+\frac{1}{x^2}-3(x+\frac{1}{x})+4=0$. Найдите корни этого уравнения. Если корней несколько, запишите их через точку с запятой.

ВЫБОР ГРАФИКА · 2 БАЛЛА

4. Визуализация решения

Максим должен визуализировать решение неравенства $\frac{x-2}{x+3}>1$. Выберите верную схему распределения знаков на координатной прямой.

• Луч $x<-3$
• Интервал $(-3;2)$
• Луч $x>2$
• Объединение $(-\infty ;-3)\cup (2;+\infty )$

ИНТЕРВАЛЫ · 3 БАЛЛА

5. Концентрация реагента

Концентрация очищающего вещества $x$ должна удовлетворять условию $\frac{|x-1|(x+2)}{x-4}\ge 0$. Найдите все подходящие значения $x$.