Степень вершины графа
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить степень вершины неориентированного графа по рисунку, таблице или списку рёбер и применять это понятие для анализа простых сетевых ситуаций, верно выполняя не менее 4 из 5 заданий.
- Сформировать представление о вершине, ребре и степени вершины как количестве рёбер, инцидентных данной вершине.
- Научиться подсчитывать степень каждой вершины графа и записывать результат в виде числового набора или таблицы.
- Развивать умение анализировать схему, выделять существенную информацию, проверять результат и находить ошибку в рассуждении.
- Формировать ответственное отношение к совместной работе, уважение к аргументированному мнению партнёра и интерес к применению графов в реальных сетях.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к способам описания реальных объектов с помощью математических моделей.
- Осознают ценность точности и проверки результата при анализе маршрутов, связей и сетей.
- Развивают готовность высказывать собственное мнение и корректно обсуждать разные способы решения.
- Понимают связь изучаемого понятия с профессиями программиста, аналитика данных, инженера и специалиста по сетям.
Метапредметные
- Выделяют вершины и рёбра на схеме, переводят графическую информацию в таблицу степеней.
- Планируют последовательность подсчёта, используют критерий степени вершины и выполняют самопроверку.
- Сотрудничают в парах и группах, формулируют объяснение и аргументируют ответ.
- Работают с информацией в разных формах: рисунком графа, списком рёбер, таблицей и описанием жизненной ситуации.
Предметные
- Знать определения вершины, ребра, инцидентности и степени вершины неориентированного графа.
- Уметь находить степень заданной вершины по изображению графа и списку рёбер.
- Уметь составлять таблицу степеней всех вершин графа и сравнивать вершины по количеству связей.
- Уметь обнаруживать ошибку при подсчёте степени и объяснять её причину.
- Владеть способом применения понятия степени вершины к моделированию социальных, транспортных и компьютерных сетей.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения графов через связь с реальными сетями и будущими профессиональными задачами.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания и способа представления решения.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и соблюдают правила уважительного математического диалога.
- Осознают значение аккуратности и доказательности при работе с данными.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную цель: научиться определять степень вершины и проверять подсчёт.
- Планируют алгоритм: выбрать вершину, перечислить инцидентные рёбра, пересчитать их и записать результат.
- Сверяют решение с эталоном, находят расхождение и исправляют ошибку.
- Оценивают степень освоения понятия с помощью листа самооценки и билета на выход.
Познавательные УУД
- Выделяют признаки вершины и ребра, устанавливают отношение инцидентности.
- Сравнивают способы задания графа: рисунок, список рёбер и таблицу.
- Классифицируют вершины по степени и формулируют вывод о наиболее связанной вершине.
- Моделируют жизненную ситуацию с помощью графа и преобразуют модель в числовую таблицу.
- Используют логическое рассуждение для проверки утверждения о сумме степеней вершин.
Коммуникативные УУД
- Формулируют уточняющие вопросы о том, какие рёбра необходимо учитывать.
- Объясняют партнёру ход подсчёта, используя математические термины.
- Распределяют роли в группе: читатель условия, построитель схемы, счётчик и докладчик.
- Сравнивают решения без перехода на личности и аргументированно согласуют общий ответ.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображение трёх неориентированных графов: с четырьмя, пятью и шестью вершинами, включая вершину степени 0 и вершины разных степеней.
- Вывести на доску памятку: «Степень вершины — количество рёбер, имеющих эту вершину своим концом».
- Распечатать карточки с графами трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика и по одному комплекту на группу.
- Распечатать лист самооценки по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить цветные маркеры или карандаши: отдельный цвет для выбранной вершины и другой цвет для инцидентных рёбер.
- Подготовить карточку с жизненной ситуацией о связях станций или пользователей сети — по одной на пару.
- Подготовить эталонные таблицы степеней для самопроверки и разместить их в конвертах групп.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты и включить проектор или интерактивную доску.
- Разделить задания для самостоятельной работы на обязательный, повышающий и дополнительный уровни.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность и создать интерес к подсчёту связей в реальной сети.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране схему небольшого метро: «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы начнём с ситуации, в которой каждый из вас уже умеет ориентироваться: сеть станций и переходов. Посмотрите на схему и найдите станцию, от которой отходят четыре линии. Как можно описать её положение одним числом? Не называйте пока математический термин, предложите собственные варианты». | Рассматривают схему, выбирают станцию с четырьмя соединениями и предлагают варианты: «У неё четыре связи», «К ней ведут четыре маршрута», «Она соединена с четырьмя станциями». |
3 мин | Учитель использует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем обсудите ответ с соседом. Решите, что именно нужно считать: станции, линии или что-то другое. После этого две-три пары объяснят свой выбор классу». Учитель фиксирует на доске слова «вершина», «ребро», «число связей». | Сначала формулируют собственное предположение, затем обсуждают его в парах и сообщают классу: «Нужно считать рёбра, которые заканчиваются в выбранной вершине». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что одну и ту же сеть можно описывать не только рисунком, но и числами. Сейчас уточним язык графов и выясним, как называется число рёбер, связанных с одной вершиной».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить понятия графа, вершины, ребра и инцидентности, необходимые для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает граф с пятью вершинами и обращается к классу: «Рассмотрите рисунок. Что на нём обозначают точки? Что обозначают отрезки между точками? Как называется ситуация, когда ребро имеет вершину своим концом? Назовите две вершины, соединённые одним ребром». Учитель подчёркивает ответы на доске. | Отвечают: «Точки — вершины, отрезки — рёбра». Формулируют: «Ребро инцидентно вершине, если оно соединяется с этой вершиной». Показывают пару соединённых вершин. |
3 мин | Учитель раздаёт парам мини-карточку с тремя графами: «В каждом рисунке обведите одну вершину и красным цветом выделите все рёбра, имеющие её своим концом. Не считайте рёбра, которые проходят рядом, но к выбранной вершине не присоединяются». Затем спрашивает: «Что оказалось главным при подсчёте?» | В парах обводят выбранные вершины и выделяют инцидентные рёбра. Объясняют: «Важно смотреть именно на концы рёбер, а не на их положение рядом с вершиной». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что граф состоит из вершин и рёбер, а инцидентными называются связанные друг с другом элементы. Теперь проверим, какое затруднение возникает, когда нужно одним числом описать связь вершины с остальной сетью».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: обнаружить необходимость нового понятия и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает граф с вершинами A, B, C, D, E и рёбрами AB, AC, AD, BE, CD. «Два ученика подсчитали связи вершины A. Первый сказал: “Степень A равна 3”, второй — “Степень A равна 2, потому что у A два соседа”. Можно ли сразу назвать правильный ответ? Что в этих рассуждениях совпадает, а что нужно уточнить?» | Анализируют два ответа и предполагают: «У вершины A три ребра: AB, AC и AD. Соседей тоже три, поэтому в этом примере ответы совпали, но надо считать именно рёбра». |
3 мин | Учитель показывает граф с петлёй или отдельно поясняет, что на уроке рассматриваются простые неориентированные графы без петель и кратных рёбер: «Нам нужен единый способ описывать вершину. Предложите, какое число будем находить и как сформулировать цель урока. На доске запишем формулировку, которую примем после проверки». | Формулируют цель: «Научиться находить количество рёбер, инцидентных вершине». Записывают рабочее название темы: «Степень вершины» и предполагают определение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Затруднение найдено: нам требуется точное понятие и алгоритм, чтобы разные люди получили один и тот же ответ. Сейчас мы сами откроем определение степени вершины и проверим его на нескольких графах».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести определение степени вершины и алгоритм её нахождения через исследование графа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель организует исследование: «Работаем в группах по четыре человека. На карточке изображён граф с вершинами A, B, C, D, E, F и рёбрами AB, AC, AD, BE, CD, DF. Выберите вершину C. Обведите её, перечислите все рёбра, которые имеют C своим концом, и запишите их количество. В группе распределите роли: один читает список, второй отмечает рёбра, третий считает, четвёртый готовит объяснение». | В группах выделяют вершину C, находят рёбра AC и CD, записывают: «Степень вершины C равна 2». Докладчик объясняет, почему другие рёбра не учитываются. |
3 мин | Учитель задаёт сократовскую цепочку вопросов: «Что общего у найденных рёбер? Где они должны заканчиваться? Что изменится, если выбрать вершину D? Почему нельзя считать все рёбра графа? Как одним предложением описать найденное число?» Учитель подводит класс к формулировке. | Отвечают: «Все найденные рёбра инцидентны выбранной вершине». Для D называют рёбра AD, CD и DF и получают 3. Формулируют: «Степень вершины — это количество рёбер, инцидентных данной вершине». |
3 мин | Учитель записывает на доске алгоритм и проговаривает: «Первый шаг — выбрать вершину. Второй — найти все рёбра, имеющие её своим концом. Третий — пересчитать их. Четвёртый — записать степень. Если вершина изолирована и не соединена ни с одним ребром, её степень равна нулю. Проверьте алгоритм на вершинах A и B нашего графа». | Записывают алгоритм и применяют его: для A находят AB, AC, AD и получают степень 3; для B находят AB, BE и получают степень 2. Сравнивают результаты с ответами группы. |
Запись в тетрадях
Степень вершины — количество рёбер, инцидентных данной вершине. Алгоритм: 1) выбрать вершину; 2) найти все рёбра, имеющие её своим концом; 3) пересчитать эти рёбра; 4) записать степень вершины. Обозначение: $d(v)$ — степень вершины $v$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили определение и алгоритм: степень вершины показывает, сколько рёбер с ней связано. Теперь каждый проверит новый способ сначала вместе с классом, а затем самостоятельно».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм подсчёта степени вершины на рисунке и в списке рёбер.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель выводит на экран граф со списком рёбер: AB, AC, BC, BD, CE, DE. «Работаем по приёму “Комментированный подсчёт”. Я называю вершину, а вы сначала молча находите инцидентные рёбра, затем один ученик проговаривает полный ход решения. Найдите степени вершин A, B и D. Не называйте только число — объясняйте, какие рёбра посчитали». | Находят и проговаривают: «Для A рёбра AB и AC, поэтому степень A равна 2»; «Для B рёбра AB, BC и BD, степень B равна 3»; «Для D рёбра BD и DE, степень D равна 2». |
3 мин | Учитель предлагает проверочное утверждение: «Ученик сказал: “В графе AB, AC, BC, BD, CE, DE степень вершины C равна 4, потому что рядом с C нарисовано четыре отрезка”. Согласны ли вы? Обоснуйте ответ и исправьте ошибку». | Исправляют рассуждение: «С вершиной C связаны только AC, BC и CE, поэтому её степень равна 3. Нужно считать рёбра, которые имеют C своим концом, а не все близко расположенные отрезки». |
Эталон решения
Для вершины C просматриваем список рёбер и выбираем только рёбра с буквой C: AC, BC, CE. Таких рёбер три, поэтому $d(C)=3$. Рёбра AB, BD и DE не имеют вершину C своим концом и в подсчёт не входят.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь мы умеем находить степень по рисунку и по списку рёбер, а также объяснять ошибку в подсчёте. Следующий шаг — применить понятие к реальной ситуации и затем проверить себя индивидуально».
Этап 6. Практическое применение и самостоятельная работа (9 мин)
Цель этапа: применить понятие степени вершины к модели сети и выполнить индивидуальную проверку с выбором уровня сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт парам карточку: «Пять школьных кружков обозначены вершинами. Ребро означает, что два кружка проводят общее мероприятие. Связи таковы: робототехника соединена с математикой, физикой и информатикой; математика — с физикой и шахматами; физика — с информатикой. Постройте граф, подпишите вершины и найдите степень каждой вершины». Учитель напоминает: «Можно выбрать способ оформления: рисунок с подписями или таблицу». | В парах строят граф или составляют таблицу. Получают: робототехника — 3, математика — 3, физика — 3, информатика — 2, шахматы — 1. Обсуждают, какие кружки наиболее связаны. |
5 мин | Учитель предлагает индивидуальный выбор: «Выберите карточку базового, повышающего или дополнительного уровня. Базовый уровень: по изображённому графу найти степени четырёх вершин. Повышающий: составить таблицу степеней всех вершин по списку рёбер. Дополнительный: найти ошибку в готовом решении и объяснить её. Работайте 4 минуты, затем сравните с эталоном на обратной стороне». | Индивидуально решают выбранное задание, записывают не только ответы, но и перечисление инцидентных рёбер. После сигнала таймера сверяют результат с эталоном, отмечают исправления и уровень самостоятельности. |
Запись в тетрадях
Таблица для практической ситуации: «Вершина — степень». После таблицы ученики записывают вывод: «Наиболее связанными являются вершины с наибольшей степенью».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы применили степень вершины не только к учебному рисунку, но и к модели сети кружков. Осталось зафиксировать, что стало понятным, где возникла ошибка и какой вопрос нужно взять в дальнейшую работу».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осознать результат урока, выявить затруднения и принять домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт лист самооценки и проводит приём «Светофор»: «Поставьте зелёный знак, если вы можете по рисунку найти степень вершины и объяснить подсчёт; жёлтый — если нужна ещё одна тренировка; красный — если пока трудно определить, какие рёбра считать. Внизу допишите одно предложение: “Сегодня я понял…”». | Выбирают цвет, отмечают пункты «знаю определение», «умею находить степень», «могу объяснить ошибку», дописывают личный вывод. |
2 мин | Учитель задаёт билет на выход: «На маленьком графе вершина P соединена с вершинами Q, R и S. Чему равна степень P? Запишите ответ и одно предложение с объяснением. На следующем уроке мы используем степени вершин для исследования свойств графа». | Записывают: «Степень P равна 3, потому что с P инцидентны рёбра PQ, PR и PS». Сдают билет на выход при выходе из класса. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно найдены степени всех указанных вершин или составлена полная таблица, для каждого ответа перечислены инцидентные рёбра, объяснение выполнено без ошибок.
- «4» — правильно выполнено не менее 80% задания, допущена одна неточность в подсчёте или записи, алгоритм в целом применён верно.
- «3» — правильно выполнена базовая часть: найдена степень не менее двух вершин и указано хотя бы одно основание подсчёта; имеются отдельные ошибки, но понятие в основном распознано.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое степень вершины и что именно нужно считать? | Проверка осознания ключевого определения и отличия вершины от ребра. |
Какой шаг алгоритма помог не ошибиться при подсчёте? | Выявление понимания последовательности действий и способов самоконтроля. |
Какое задание оказалось самым сложным: рисунок, список рёбер или жизненная ситуация? Почему? | Выявление точек затруднения при переходе между формами представления информации. |
Где можно применять степень вершины вне урока математики? | Осмысление функциональной значимости понятия и личной мотивации. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились описывать вершину графа числом — её степенью. Важно помнить: мы считаем только рёбра, которые имеют выбранную вершину своим концом, а не все линии, расположенные рядом. Вы увидели, что такое описание работает для транспортных, социальных и компьютерных сетей. На следующем уроке мы будем сравнивать степени вершин и исследовать общие свойства графа. Если при подсчёте возникают сомнения, возвращайтесь к четырём шагам алгоритма».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на нахождение степени заданной вершины по рисункам простых неориентированных графов; в каждом решении перечислить инцидентные рёбра. | Закрепляет определение и алгоритм. При проверке обратить внимание на полноту списка рёбер и правильность записи степени. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания: по списку рёбер построить граф, составить таблицу степеней всех вершин и назвать вершину или вершины с наибольшей степенью. | Формирует умение переходить от списка к схеме и сравнивать вершины по числу связей. |
Продвинутый (дополнительный) | Придумать реальную сеть из 6 объектов и не менее 7 связей, изобразить её граф, составить таблицу степеней и письменно объяснить, какой объект является наиболее связанным. | Развивает моделирование, создание собственного примера и применение графов к жизненной ситуации. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что называется степенью вершины? Какие рёбра нужно считать? Чему равна степень изолированной вершины? Как проверить, что подсчёт выполнен без пропуска рёбер?»
