Дерево вариантов: графический способ перебора комбинаций
Цели и задачи
- Цель: научиться строить дерево вариантов для решения комбинаторных задач и определять общее количество возможных исходов.
- Образовательная задача: познакомить с понятием «дерево вариантов» как визуальным методом систематизации перебора.
- Развивающая задача: развивать логическое мышление, навыки структурирования информации и умение работать в паре.
- Воспитательная задача: формировать ответственное отношение к выбору и принятию решений на основе анализа данных.
Планируемые результаты
Личностные
- Развитие готовности к саморазвитию и самообразованию.
- Формирование умения аргументированно отстаивать свою точку зрения при работе в группе.
- Осознание важности математических знаний в повседневной жизни (ситуации выбора).
Метапредметные
- Познавательные: умение создавать и преобразовывать модели и схемы для решения задач.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей и осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.
Предметные
- Знать определение дерева вариантов и правила его построения.
- Уметь строить дерево вариантов для задач с 2–3 этапами выбора.
- Уметь подсчитывать количество вариантов, используя построенную схему.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: установление связи между целью учебной деятельности и её мотивом.
- Нравственно-этическая ориентация: оценка усваиваемого содержания.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что ещё неизвестно.
- Прогнозирование результата и уровня усвоения знаний.
Познавательные УУД
- Логические: анализ объектов с целью выделения признаков, синтез как составление целого из частей.
- Постановка и решение проблемы: самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера.
Коммуникативные УУД
- Планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для работы в парах «Секретный код» (15 шт. на класс).
- Подготовить три цветных маркера (зелёный, синий, красный) для рисования дерева на доске.
- Загрузить презентацию со слайдом «Задача о завтраке» (меню из 2 напитков и 3 блюд).
- Подготовить листы самооценки «Светофор» для каждого ученика.
- Вырезать из картона 3 карточки с цифрами 1, 2, 3 для демонстрации.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: эмоционально настроить учащихся и создать ситуацию «интеллектуального голода».
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, семиклассники! Представьте, что вы стоите перед кодовым замком. У вас есть три цифры: 1, 2 и 3. Вы точно знаете, что код состоит из этих трёх цифр и они не повторяются. Сколько попыток вам может понадобиться, чтобы открыть дверь? Кто-то скажет 'много', кто-то 'мало'. Но математика не любит неопределённости. Как нам перечислить все варианты и ничего не забыть?» | Слушают учителя, настраиваются на работу. Высказывают предположения: «Три варианта», «Девять», «Шесть». |
2 мин | «Сегодня мы не просто будем гадать, а освоим инструмент, который используют программисты и аналитики данных, чтобы видеть все пути развития событий сразу. Этот метод называется 'Дерево вариантов'. Запишите тему урока в тетради.» | Записывают тему урока: «Дерево вариантов». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы обозначили проблему — как не запутаться в вариантах. Теперь давайте вспомним, что мы уже умеем делать с комбинациями».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить метод простого перебора и выявить его недостатки при увеличении количества объектов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Давайте решим простую задачу. У Маши есть 2 юбки (синяя и чёрная) и 2 блузки (белая и розовая). Сколько разных костюмов может составить Маша? Попробуйте перечислить их в тетради списком.» Учитель проходит по рядам, наблюдая за записями. | Записывают варианты: СБ, СР, ЧБ, ЧР. Отвечают: «Всего 4 варианта». |
2 мин | «Хорошо, это было легко. А если добавить ещё 3 пары обуви? Список станет длиннее. В чём главная опасность обычного списка, когда вариантов становится больше 10?» | Отвечают: «Можно какой-то вариант пропустить или записать дважды». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Верно, список не нагляден. Нам нужен графический метод, который сам 'подскажет', все ли варианты мы учли».
Этап 3. Выявление места и причины затруднения (3 мин)
Цель этапа: сформулировать конкретную учебную задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Вернёмся к нашему кодовому замку с цифрами 1, 2, 3. Если мы начнём просто писать цифры, мы можем запутаться. Посмотрите на доску: я поставлю точку — это наше начало. От неё пойдут 'ветви'. Как вы думаете, почему этот метод назвали именно деревом?» | Предполагают: «Потому что схема разветвляется», «Похоже на ветки дерева». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Наша цель сегодня — научиться выращивать такие математические деревья для любой задачи выбора».
Этап 4. Построение проекта выхода из затруднения (Открытие нового знания) (12 мин)
Цель этапа: разработать алгоритм построения дерева вариантов на конкретном примере.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Давайте вместе построим дерево для кода из цифр 1, 2, 3 без повторений. Шаг 1: Корень дерева (точка). Шаг 2: Выбираем первую цифру. Сколько у нас вариантов?» Учитель рисует три ветви от точки, подписывает концы: 1, 2, 3. «Шаг 3: Если первая цифра 1, какие остались для второй?» Рисует две ветви от цифры 1 к цифрам 2 и 3. | Следят за учителем, зарисовывают дерево в тетрадь. Отвечают: «Три варианта для первой цифры», «Для второй остались 2 и 3». |
4 мин | «Шаг 4: Если первая 1, вторая 2, какая будет третья? Правильно, только 3. А если первая 1, вторая 3? Тогда третья — 2. Достройте дерево самостоятельно для случаев, когда первая цифра 2 или 3.» | Самостоятельно достраивают ветви от цифр 2 и 3. Получают по два 'листочка' на каждой ветке. |
3 мин | «Посмотрите на концы самых последних веточек. Сколько их всего? Давайте их перечислим, идя от корня к краю.» Учитель записывает: 123, 132, 213, 231, 312, 321. | Считают концы веток: «Всего шесть». Диктуют получившиеся числа. |
Запись в тетрадях
Алгоритм построения дерева вариантов: 1. Поставить начальную точку (корень). 2. Провести ветви для всех возможных вариантов первого выбора. 3. Из каждого варианта провести ветви для второго выбора и т.д. 4. Результат — количество путей от корня до последнего ряда веток.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Отлично! Мы увидели, что структура дерева не даёт нам забыть варианты. Прежде чем продолжить, давайте немного разомнёмся».
Этап 5. Физкультминутка (2 мин)
Цель этапа: снять физическое и эмоциональное напряжение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Встаньте, пожалуйста. Представьте, что вы — деревья вариантов. Ваши ноги — это корень. Потянитесь руками вверх — это ствол. Теперь разведите руки в стороны — это ветви первого уровня. А теперь быстро пошевелите пальцами — это маленькие веточки последнего уровня. Наклонитесь влево, вправо. Садитесь.» | Выполняют упражнения, имитируя структуру дерева. |
Этап 6. Первичное закрепление (Работа в парах) (8 мин)
Цель этапа: применить полученные знания в новой ситуации при поддержке партнёра.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Сейчас вы будете работать в парах. У вас на столах карточка 'Секретный код'. Задача: в кафе предлагают бизнес-ланч. Можно выбрать один из 2 супов (борщ, солянка) и одно из 3 вторых блюд (плов, макароны, рыба). Постройте дерево вариантов в тетради одного из вас и запишите общее количество комбинаций.» | Слушают инструктаж, распределяют роли в паре. |
5 мин | Учитель обходит класс, помогает парам, которые затрудняются с выбором корня или количеством ветвей. «Помните, что от каждого супа должно идти по три стрелочки ко вторым блюдам». | Обсуждают, рисуют схему. Один ученик рисует, второй проверяет и называет блюда. Записывают: $2 \times 3 = 6$ вариантов. |
2 мин | «Давайте проверим. Группа на первом ряду, сколько у вас получилось? А как вы подписали ветви?» | Представители пар озвучивают результаты: «6 вариантов: БП, БМ, БР, СП, СМ, СР». |
Эталон решения
Корень -> (Борщ, Солянка). От Борща -> (Плов, Макароны, Рыба). От Солянки -> (Плов, Макароны, Рыба). Итого: 6 путей.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы отлично справились в парах. Теперь проверим, сможете ли вы 'вырастить' дерево самостоятельно».
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения материала.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Задача для самостоятельного решения: Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 5, 8, если цифры в числе могут повторяться? Внимание: дерево будет 'густым'. Начните с первой цифры (1, 5 или 8).» | Самостоятельно строят дерево в тетрадях. Рассчитывают количество вариантов. |
2 мин | Учитель открывает слайд с правильным деревом. «Сверьте своё дерево с образцом на экране. Если у вас получилось 27 вариантов — вы мастер комбинаторики!» | Сверяют свои работы. Исправляют ошибки. Считают количество конечных веток ($3 \times 3 \times 3 = 27$). |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Даже если вы ошиблись в подсчётах, главное — вы поняли принцип ветвления. Это основа теории вероятностей».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Ребята, наш урок подходит к концу. Возьмите свои листы 'Светофор'. Поднимите зелёный, если вы теперь легко сможете построить дерево вариантов. Жёлтый — если принцип понятен, но в схемах ещё путаетесь. Красный — если тема осталась 'тёмным лесом'.» | Поднимают карточки соответствующего цвета. Оценивают свою работу. |
2 мин | «Запишите домашнее задание. Оно будет разного уровня сложности, выберите то, которое вам по силам. Спасибо за активную работу!» | Записывают домашнее задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — дерево вариантов построено полностью корректно, все ветви логически обоснованы, общее количество вариантов подсчитано верно во всех задачах.
- «4» — дерево построено верно, но допущены мелкие неточности в оформлении или одна арифметическая ошибка в итоговом подсчёте.
- «3» — принцип построения дерева понят, но схема не завершена или пропущены целые группы ветвей.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
В каких жизненных ситуациях тебе может пригодиться дерево вариантов? | Осознание практической значимости темы. |
Какой этап построения дерева был для тебя самым сложным? | Выявление индивидуальных затруднений в алгоритме. |
Смог бы ты объяснить эту тему другу, который пропустил урок? | Проверка глубины понимания и способности к речевому высказыванию. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились видеть структуру там, где раньше был просто хаотичный перебор. Дерево вариантов — это не просто картинка в тетради, это способ мыслить системно. В будущем, когда мы будем изучать сложные вероятностные задачи, это дерево станет вашим главным помощником. Если сегодня у вас были сложности с 'густыми' ветвями — не переживайте, на следующем уроке мы узнаем математическую формулу, которая позволит считать варианты еще быстрее. До свидания!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый | Учебник, № 452, 455 | Построить дерево вариантов для выбора комплекта одежды из 2 брюк и 4 футболок. |
Средний | Задача «Флаги» | Сколько существующих трехцветных флагов можно составить из полос красного, белого и синего цвета (цвета не повторяются)? |
Продвинутый | Творческое задание | Придумать свою задачу на 3 этапа выбора (например, маршрут путешествия) и решить её с помощью дерева. |
Контрольный вопрос: «Если на первом этапе у нас 3 выбора, а на втором — 4, сколько всего веточек будет на краю дерева?»