Решение задач на работу
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться решать не менее трёх задач на совместную работу с помощью модели «производительность — время — работа», выбирать необходимое арифметическое действие и проверять разумность ответа.
- Познакомить учащихся с величинами «работа», «производительность», «время» и связью между ними на доступных для 4 класса примерах.
- Сформировать умение составлять краткую запись, таблицу или схему к задаче на работу и выбирать способ решения.
- Развивать умение выделять условие и вопрос задачи, объяснять ход решения партнёру, находить и исправлять ошибку.
- Воспитывать ответственность за общий результат, внимательное отношение к труду и готовность сотрудничать.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к математическому описанию реальных трудовых процессов.
- Понимают ценность согласованной работы и личного вклада каждого участника.
- Оценивают собственную готовность решать практические задачи и спокойно относятся к ошибке как к возможности исправить способ действия.
- Проявляют самостоятельность, аккуратность и ответственность при выполнении индивидуального задания.
Метапредметные
- Выделяют известные и неизвестные величины, устанавливают связи между ними и моделируют условие таблицей или схемой.
- Планируют последовательность решения, сверяют результат с условием и выполняют самопроверку по эталону.
- Формулируют полный ответ, задают уточняющие вопросы и объясняют решение в паре.
- Используют интерактивную доску или экран для проверки вычислений и представления математической модели.
Предметные
- Знать смысл величин «работа», «производительность», «время» и зависимость между ними.
- Уметь находить работу, производительность или время по известным двум величинам.
- Уметь решать задачи на совместную работу с одинаковой и различной производительностью.
- Уметь составлять краткую запись, выбирать арифметические действия и записывать ответ с наименованием.
- Уметь проверять решение обратным действием или оценкой полученного результата.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл учения через связь математической задачи с реальной совместной деятельностью.
- Формируют положительное отношение к сотрудничеству и взаимопомощи.
- Оценивают собственный вклад в работу пары и соблюдают правила уважительного диалога.
- Развивают учебную мотивацию через решение практической задачи-соревнования.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную цель и формулируют план решения задачи.
- Распределяют время между чтением условия, составлением модели, вычислениями и проверкой.
- Сравнивают полученный результат с условием, обнаруживают ошибку и вносят исправление.
- Оценивают выполнение задания по предложенным критериям.
Познавательные УУД
- Извлекают данные из текста задачи и переводят их в таблицу.
- Устанавливают причинно-следственные связи между работой, производительностью и временем.
- Сравнивают два способа решения задачи на совместную работу.
- Моделируют ситуацию с помощью схемы, выражения и краткой записи.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: читатель условия, составитель схемы, вычислитель и проверяющий.
- Объясняют партнёру смысл каждого действия и задают вопросы по решению.
- Согласовывают общий ответ и корректно указывают на неточность.
- Представляют решение классу, используя математические термины.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с изображением двух работников, таблицей величин и заданиями для самопроверки.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Распечатать карточки для парной работы с двумя задачами и таблицей «Работа — Производительность — Время» — по одной на пару.
- Подготовить зелёные, жёлтые и красные карточки для сигнала понимания — по три на каждого ученика.
- Подготовить стикеры для рефлексии и листы выхода — по одному на каждого ученика.
- Разместить на доске памятку: «Работа = производительность × время»; «Производительность = работа : время»; «Время = работа : производительность».
- Подготовить таймер на 3–5 минут и изображение секундомера для задания на скорость.
- Освободить безопасное место у парт для короткой физкультминутки; подготовить слайд с движениями.
- Проверить ноутбук, проектор или интерактивную доску и заранее открыть интерактивное задание с перетаскиванием величин в таблицу.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к теме через реальную ситуацию совместной работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, порядок на парте: тетрадь, ручка, учебник и карточка для сигналов должны быть перед вами. Сегодня нам понадобятся внимательность, умение договариваться и готовность объяснять свои мысли." | Проверяют готовность к уроку, раскладывают материалы, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на экране изображение двух детей, собирающих одинаковые наборы деталей: "Посмотрите на экран. Один ребёнок собирает набор за 6 минут, а другой — за 4 минуты. Что произойдёт, если они начнут работать одновременно? Как узнать, за сколько минут они выполнят общее задание?" Учитель принимает гипотезы, не сообщает готовый способ. | Рассматривают ситуацию, высказывают предположения: "Они закончат быстрее", "Нужно узнать, сколько каждый делает за минуту", "Надо учитывать работу обоих". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что при совместной работе важно учитывать не только время, но и то, сколько работы выполняется за единицу времени. Сейчас выясним, как описать такую ситуацию математически."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: вспомнить единицы времени, смысл умножения и деления, необходимые для построения новой модели.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём "Математическая разминка": "За 1 час мастер изготовил 8 деталей. Сколько деталей он изготовит за 2 часа? А за 5 часов? Какое действие выбрали и почему?" На доске появляются выражения $8 \times 2$ и $8 \times 5$. | Решают устно, отвечают: "За несколько одинаковых промежутков времени работу находим умножением"; называют результаты 16 и 40 деталей. |
3 мин | Учитель организует приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Заполните устно фразу: если известны работа и время, то производительность можно найти действием... Если известны производительность и время, то работа находится действием... Обсудите ответ с соседом и объясните его." | Сначала формулируют ответ самостоятельно, затем обсуждают в парах и сообщают: "Производительность равна работе, делённой на время; работа равна производительности, умноженной на время". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили умножение, деление и связь величин. Теперь проверим, достаточно ли этих знаний, чтобы решить задачу о совместной работе."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель и план урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует условие: "Первый рабочий изготавливает 12 деталей за 3 часа, а второй — 10 деталей за 2 часа. Сколько деталей они изготовят за 1 час вместе?" Учитель спрашивает: "Можно ли сразу сложить 12 и 10? Почему нет? Что в этих числах не совпадает?" | Читают условие, замечают: "Рабочие трудились разное время, поэтому 12 и 10 — не производительность за один час". |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что нам нужно узнать сначала? Как представить данные, чтобы не потерять смысл? Сформулируйте цель урока и план действий." Учитель записывает предложения детей на доске. | Предлагают план: "Найти, сколько деталей делает каждый за час; сложить производительности; определить общую работу или время; проверить ответ". Формулируют цель: "Научиться решать задачи на совместную работу". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение возникло потому, что в задаче даны разные промежутки времени. Мы научимся сначала находить производительность каждого участника, а затем объединять её."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм решения задач на совместную работу через построение таблицы и обсуждение в парах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на экран таблицу с колонками «Работа», «Время», «Производительность». "Заполним таблицу по условию. Первый рабочий изготовил 12 деталей за 3 часа. Как найти его производительность? Второй изготовил 10 деталей за 2 часа. Что найдём делением?" Учитель вписывает вместе с детьми $12:3=4$ и $10:2=5$. | Заполняют таблицу: первый — 12 деталей, 3 часа, 4 детали в час; второй — 10 деталей, 2 часа, 5 деталей в час. Объясняют смысл единиц измерения. |
3 мин | Учитель продолжает: "Теперь рабочие действуют вместе. За один час первый делает 4 детали, второй — 5 деталей. Как узнать совместную производительность? Почему здесь подходит сложение?" Учитель подчёркивает на доске выражение $4+5=9$. | Отвечают: "За один час вместе они изготовят 9 деталей, поэтому производительности складываем". Записывают выражение и единицу измерения. |
3 мин | Учитель формулирует алгоритм: "Прочитайте его вместе со мной: 1) выделить величины; 2) найти производительность каждого; 3) сложить производительности при совместной работе; 4) найти неизвестную величину; 5) записать ответ и проверить его смысл. Как можно проверить решение?" | Читают алгоритм, фиксируют его в тетрадях, предлагают проверку: сравнить совместную производительность с производительностью каждого и выполнить обратное действие. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Работа = производительность × время. Производительность = работа : время. Время = работа : производительность. При совместной работе производительности складываются». Алгоритм: 1) найти производительность каждого; 2) найти совместную производительность; 3) найти неизвестную величину; 4) ответить на вопрос задачи; 5) проверить ответ.
Эталон решения
Первый рабочий: $12:3=4$ детали в час. Второй рабочий: $10:2=5$ деталей в час. Совместная производительность: $4+5=9$ деталей в час. Ответ: вместе рабочие изготовят 9 деталей за 1 час. Проверка: $9>4$ и $9>5$, значит, совместная производительность больше производительности каждого рабочего.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы построили таблицу и вывели алгоритм. Теперь применим его сначала вместе, а затем каждый попробует решить задачу самостоятельно."
Этап 5. Физкультминутка с математическим содержанием (2 мин)
Цель этапа: снять напряжение, переключить внимание и закрепить названия величин через движение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит физкультминутку: "Если я называю величину «время», поднимите руки вверх; если «производительность» — выполните два хлопка; если «работа» — сделайте шаг на месте. Работаем ритмично: время — производительность — работа. Теперь покажем формулу: руки вверх, два хлопка, шаг." | Выполняют движения по сигналу, проговаривают названия величин и формулу связи между ними. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы отдохнули и ещё раз связали три величины. Возвращаемся к задачам и проверяем, умеем ли пользоваться алгоритмом без подсказки."
Этап 6. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм решения в парной работе и развить умение объяснять математические действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с задачей: "Первый насос перекачивает 24 литра воды за 4 минуты, второй — 18 литров за 3 минуты. Сколько литров воды они перекачают вместе за одну минуту?" Учитель напоминает: "В паре один ученик составляет таблицу, второй выполняет вычисления, затем поменяйтесь ролями." | Читают условие, распределяют роли, выделяют данные и вопрос. |
4 мин | Учитель предлагает заполнить таблицу и задаёт направляющие вопросы: "Что найдём первым действием? Как обозначим производительность каждого насоса? Почему затем нужно сложить результаты?" Учитель консультирует пары, не сообщает ответ сразу. | Заполняют таблицу; находят $24:4=6$ л/мин и $18:3=6$ л/мин; складывают $6+6=12$ л/мин; формулируют ответ. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседней парой. Проверьте наличие таблицы, правильность трёх действий и единиц измерения. Поставьте знак плюс за верный шаг и вопросительный знак там, где нужно уточнение." | Проверяют решение другой пары, находят ответ 12 л/мин, объясняют замечания корректно: "Вычисления верны, но в ответе нужно указать литры за минуту". |
Эталон решения
Производительность первого насоса: $24:4=6$ л/мин. Производительность второго насоса: $18:3=6$ л/мин. Совместная производительность: $6+6=12$ л/мин. Ответ: вместе насосы перекачивают 12 литров воды за одну минуту.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы увидели, что таблица помогает не перепутать работу, время и производительность. Сейчас каждый выполнит самостоятельное задание и покажет, умеет ли применять алгоритм без помощи пары."
Этап 7. Самостоятельная работа с использованием ИКТ (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и организовать самопроверку с помощью цифрового эталона.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки и объясняет выбор уровня: "Выполните обязательное задание. Если оно получилось быстро и уверенно, выберите дополнительное. Сначала решайте в тетради, затем проверьте ответ на экране." | Выбирают карточку базового или повышенного уровня, записывают номер задания. |
5 мин | Учитель показывает на экране задачу базового уровня: "Два ученика раскладывают 30 книг за 5 минут и 24 книги за 4 минуты. Сколько книг они раскладывают вместе за одну минуту?" Для сильных учеников предлагает задачу: "Два принтера печатают 48 и 36 страниц за 6 минут. Сколько страниц они напечатают вместе за 2 минуты?" Учитель наблюдает за записями и оказывает адресную помощь. | Индивидуально составляют таблицу, выполняют вычисления, записывают полный ответ. Базовый ответ: $30:5+24:4=6+6=12$ книг в минуту. В дополнительной задаче: $(48:6+36:6)\times2=(8+6)\times2=28$ страниц. |
2 мин | Учитель открывает цифровой эталон с пропусками: «Работа — ?, время — ?, производительность — ?». "Сверьте не только число, но и единицы измерения. Поднимите зелёную карточку, если всё совпало, жёлтую — если нашли ошибку и исправили, красную — если нужна помощь." | Сверяют решение по экрану, исправляют ошибки, показывают карточку самооценки и формулируют, какой шаг вызвал затруднение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять к новым сюжетам. Осталось связать его с жизненными задачами и объяснить, почему правильный ответ должен быть разумным."
Этап 8. Включение в систему знаний и межпредметная связь (4 мин)
Цель этапа: применить математическую модель к жизненной ситуации и установить связь с технологией и окружающим миром.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает фотографию школьной теплицы: "В школьной теплице один ученик высаживает 6 растений за 1 минуту, а другой — 4 растения за 1 минуту. Сколько растений они высадят вместе за 5 минут? Где в реальной жизни могут пригодиться такие расчёты?" | Составляют выражение $(6+4)\times5$, находят 50 растений, отвечают: "При планировании работы, ремонте, уборке, производстве". |
2 мин | Учитель предлагает сравнить задачу с уроками окружающего мира и технологии: "Почему при совместной работе важно распределять обязанности? Всегда ли совместная работа выполняется быстрее? От чего это зависит?" | Формулируют вывод: "Нужно учитывать производительность каждого, условия работы и согласованность действий". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Математика помогает планировать реальные процессы: посадку растений, изготовление изделий и выполнение поручений. Теперь подведём личный итог и проверим, чему каждый научился."
Этап 9. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознать способ решения, оценить результат и получить посильное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт стикеры и проводит приём "Билет на выход": "Закончите две фразы: «Чтобы решить задачу на совместную работу, сначала я…» и «Сегодня мне нужно ещё потренироваться…». Прикрепите стикер к выбранному сектору: «могу объяснить», «могу решить с подсказкой», «нужна помощь»." | Заполняют билет на выход, выбирают сектор самооценки, называют один освоенный шаг и одну трудность. |
1 мин | Учитель объявляет домашнее задание: "Выберите уровень по своим результатам. Перед уходом ответьте: что показывает производительность и почему её складывают при совместной работе?" | Отвечают: "Производительность показывает, сколько работы выполняется за единицу времени; при совместной работе складывают вклад каждого". Записывают задание. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены обязательная и выбранная дополнительная задача, составлены краткая запись или таблица, правильно выбраны действия, указаны единицы измерения и выполнена проверка.
- «4» — верно решена обязательная задача, ход решения понятен, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, исправленная при проверке.
- «3» — правильно определена хотя бы одна производительность и начат алгоритм, но допущена ошибка в совместной производительности или ответе; ученик может исправить решение с подсказкой учителя.
- Ниже базового уровня — данные задачи выделены частично, связь между работой, временем и производительностью не установлена; требуется индивидуальная отработка по таблице.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нужно найти первым действием в задаче на совместную работу? | Выявление понимания первого шага алгоритма. |
Как объяснить, почему производительности при совместной работе складываются? | Проверка осмысления математической модели, а не механического действия. |
На каком этапе решения ты сегодня ошибся или испытывал затруднение? | Выявление точек затруднения для коррекционной работы. |
Можешь ли ты составить таблицу «работа — время — производительность» по новой задаче? | Субъективная оценка готовности переносить способ действия. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы узнали, что задачу на работу удобно решать через производительность. Сначала мы определяем, сколько работы выполняет каждый за единицу времени, затем складываем производительности и находим неизвестную величину. Самая частая ошибка — сложить данные о работе, не учитывая разное время. Дома потренируйтесь строить таблицу и обязательно подписывайте единицы измерения. На следующем уроке мы продолжим решать задачи на совместную работу и сравним разные способы их оформления."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на нахождение работы, производительности и времени по двум известным величинам; к каждой задаче составить краткую запись или таблицу и записать полный ответ. | Закрепляет связь трёх величин; при проверке обратить внимание на выбор действия и единицы измерения. |
Средний (повышающий) | Решить 2 задачи на совместную работу двух исполнителей с разной производительностью; в каждой задаче записать отдельную производительность участников и совместную производительность. | Формирует алгоритм решения составной задачи; проверить последовательность действий и разумность результата. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу из жизненной ситуации о совместной работе двух людей или механизмов, решить её двумя способами оформления: таблицей и выражением. | Развивает математическую грамотность и умение создавать модель; при проверке оценить соответствие условия вопросу и корректность числовых данных. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что такое производительность? Как найти производительность по работе и времени? Что происходит с производительностями при совместной работе? Какими действиями можно проверить полученный ответ?»
