«Быстрый» перевод чисел в компьютерных системах счисления
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться выполнять быстрый перевод двоичных чисел в восьмеричные и шестнадцатеричные и обратно с использованием группировки разрядов, решив не менее 4 из 5 заданий без существенных ошибок.
- Образовательная задача: установить связь между основаниями систем счисления 2, 8 и 16 и количествами разрядов, необходимыми для кодирования цифр.
- Развивающая задача: формировать умение анализировать запись числа, выбирать рациональный алгоритм и проверять результат обратным переводом.
- Коммуникативная задача: научиться объяснять способ решения партнёру, задавать уточняющие вопросы и аргументировать выбор алгоритма.
- Воспитательная задача: показать практическую ценность точности, самоконтроля и цифровой грамотности при работе с компьютерной информацией.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают связь изучаемого способа с представлением данных в компьютерах и будущими цифровыми профессиями.
- Проявляют готовность проверять результат и спокойно исправлять ошибку.
- Развивают учебную самостоятельность через выбор уровня задания и способа проверки.
- Понимают ценность точной записи при работе с информацией и цифровыми устройствами.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки систем счисления и устанавливают соответствие между группой двоичных разрядов и одной цифрой другой системы.
- Планируют последовательность перевода и контролируют каждый шаг алгоритма.
- Работают с таблицей соответствий, экранной демонстрацией и цифровым тренажёром.
- Формулируют объяснение алгоритма, сравнивают решения и аргументированно оценивают их.
- Применяют математическую грамотность при работе со степенями двойки и позиционным представлением числа.
Предметные
- Знать соответствия $2^3=8$ и $2^4=16$, а также набор шестнадцатеричных цифр $0$–$9$, $A$–$F$.
- Уметь переводить двоичные числа в восьмеричные группировкой по три разряда справа налево.
- Уметь переводить двоичные числа в шестнадцатеричные группировкой по четыре разряда справа налево.
- Уметь выполнять обратный перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичные.
- Владеть способом проверки результата обратным переводом и обнаруживать типичные ошибки в группировке.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень уверенности в выполнении перевода чисел.
- Осознают смысл изучаемого алгоритма для хранения и обработки данных.
- Проявляют ответственность за точность собственной записи.
- Принимают право одноклассника выбрать другой способ проверки.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе проблемной ситуации.
- Планируют действия: определить направление перевода, разбить разряды, заменить группы цифрами.
- Используют самопроверку по таблице соответствий и обратному переводу.
- Оценивают результат по критериям и корректируют найденные ошибки.
Познавательные УУД
- Сравнивают основания систем счисления и устанавливают закономерность $8=2^3$, $16=2^4$.
- Моделируют перевод числа в виде групп двоичных разрядов.
- Классифицируют ошибки по их причине: неверная группировка, пропуск нулей, ошибка в шестнадцатеричной цифре.
- Извлекают информацию из таблицы и применяют её к новым числам.
- Проверяют гипотезу о том, что быстрый перевод возможен благодаря степени двойки.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру каждый шаг алгоритма, а не только называют ответ.
- Задают вопросы о направлении группировки и необходимости дописывать нули.
- Согласовывают общий ответ в паре и распределяют роли.
- Аргументированно сравнивают два решения без перехода на оценку личности.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с проблемным примером, таблицей двоичных групп и заданиями для самопроверки.
- Вывести на доску или экран памятку: группы по 3 разряда — восьмеричная система, группы по 4 разряда — шестнадцатеричная система.
- Распечатать карточки для парной работы трёх уровней — по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе.
- Распечатать индивидуальные листы самостоятельной работы — по одному на каждого ученика, с заданиями базового и повышенного уровня.
- Подготовить таблицу соответствий: $000$–$111$ и $0000$–$1111$, включая цифры $A$–$F$.
- Подготовить стикеры трёх цветов для рефлексии: зелёный, жёлтый и красный — по одному комплекту на ученика.
- Подготовить ноутбук учителя, проектор или интерактивную доску и короткий цифровой тренажёр для проверки перевода чисел.
- Организовать на доске место для алгоритма, примера $11010110_2$ и списка типичных ошибок.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для парной и самостоятельной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в работу и показать практическую проблему, которую нельзя удобно решить обычным последовательным переводом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране фрагмент двоичной записи цвета или адреса памяти: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы попробуем работать не дольше компьютера. Посмотрите на число 11010110₂. Представьте, что его нужно быстро записать в другой системе счисления. Как вы думаете, можно ли обойтись без длинного вычисления по степеням двойки?" | Готовят тетради и устройства, рассматривают запись, высказывают гипотезы: "Можно разбить число на части", "Нужно найти закономерность". |
2 мин | Учитель предлагает приём «Выбор»: "Выберите, что вам интереснее проверить: перевод в восьмеричную систему или перевод в шестнадцатеричную. Запишите свой вариант и объясните, почему именно он кажется удобнее." | Индивидуально выбирают направление, записывают предположение и обмениваются им с соседом. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы проверим, действительно ли двоичное число можно переводить коротким способом. Нам понадобится увидеть связь между основанием системы и количеством двоичных разрядов в группе."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить знания о позиционной записи, степенях двойки и цифрах восьмеричной и шестнадцатеричной систем.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на экран вопросы: "Что показывает основание системы счисления? Какие цифры используются в двоичной системе? Как вычисляется значение записи 1011₂?" Учитель просит отвечать коротко и точно. | Отвечают: "Основание показывает количество цифр системы"; "В двоичной системе используются 0 и 1"; вычисляют $1\cdot2^3+0\cdot2^2+1\cdot2+1=11$. |
3 мин | Учитель записывает на доске $2^3=8$ и $2^4=16$ и задаёт вопросы: "Сколько разных комбинаций можно получить из трёх двоичных разрядов? А из четырёх? Какие символы идут после цифры 9 в шестнадцатеричной системе?" | Считают комбинации, отвечают: "Из трёх разрядов получается 8 комбинаций, из четырёх — 16"; называют символы $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что основание 8 связано с тремя двоичными разрядами, а основание 16 — с четырьмя. Теперь выясним, как превратить это наблюдение в точный алгоритм."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при обычном переводе и сформулировать цель открытия нового способа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу: "Переведите число 11010110₂ в восьмеричную систему. Можно использовать известный вам алгоритм через разложение по степеням двойки. Сравните время и количество записей." Через минуту учитель останавливает работу и спрашивает: "Что оказалось неудобным?" | Пытаются выполнить перевод, замечают необходимость дополнительных вычислений, формулируют затруднение: "Способ работает, но запись получается длинной и легко ошибиться". |
2 мин | Учитель организует «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала каждый предложит способ разбить запись, затем обсудите его с партнёром. Какой размер группы может быть связан с числом 8? А с числом 16?" | 30 секунд думают индивидуально, около минуты обсуждают в парах, формулируют цель: "Научиться переводить двоичные числа группировкой по 3 и по 4 разряда". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема ясна: длинный перевод можно заменить структурированием записи. Сейчас мы построим алгоритм и проверим его на конкретном числе."
Этап 4. Открытие нового знания и ИКТ-практика (10 мин)
Цель этапа: открыть правила группировки двоичных разрядов и применить их к переводу в восьмеричную и шестнадцатеричную системы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает на доске алгоритм: "Для перевода в восьмеричную систему разделяем двоичную запись справа налево на группы по три. Если слева не хватает разрядов, дописываем нули. Затем каждую группу заменяем цифрой от 0 до 7. Рассмотрим $11010110_2$: получаем $11|010|110$, затем $011|010|110$, то есть $3|2|6$." | Переписывают алгоритм, проговаривают шаги, получают $11010110_2=326_8$, объясняют, зачем слева добавлен ноль. |
3 мин | Учитель продолжает: "Для шестнадцатеричной системы группируем по четыре разряда. В нашем примере $1101|0110$. Группа $1101$ соответствует $D$, а $0110$ — цифре 6. Поэтому $11010110_2=D6_{16}$." На экране показывает таблицу групп от $0000$ до $1111$. | Сверяют группы с таблицей, записывают $11010110_2=D6_{16}$, отвечают: "Буква D используется вместо значения 13". |
3 мин | Учитель запускает на экране цифровой тренажёр: "Введите двоичное число 101011001₂ и выберите быстрый способ перевода сначала в восьмеричную, затем в шестнадцатеричную систему. Не нажимайте проверку, пока партнёр не объяснит вашу группировку." | В парах вводят число или работают с экранной карточкой, группируют $101|011|001$ и $0001|0101|1001$, называют результаты $531_8$ и $159_{16}$, сверяют с цифровым тренажёром. |
Запись в тетрадях
Записать: «Для перевода из двоичной системы в восьмеричную группируем разряды по 3 справа налево; в шестнадцатеричную — по 4 справа налево. При необходимости слева дописываем нули. Каждую группу заменяем соответствующей цифрой или символом». Пример: $11010110_2=011|010|110_2=326_8=D6_{16}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили быстрый алгоритм и проверили его цифровым инструментом. Теперь важно научиться выполнять его без подсказки и объяснять, почему группировка начинается именно справа."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм через совместное решение и взаимное объяснение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки парам: "В первой задаче переведите $111001011_2$ в восьмеричную систему. Один ученик выполняет группировку, второй контролирует направление и замену групп. Затем поменяйтесь ролями." | Выполняют группировку $111|001|011$, получают $713_8$, взаимно проверяют наличие всех разрядов. |
3 мин | Учитель предлагает вторую задачу: "Переведите $10111100_2$ в шестнадцатеричную систему. Обязательно проговорите, какая группа превращается в букву." | Разбивают запись на $1011|1100$, заменяют группы на $B$ и $C$, получают $BC_{16}$, объясняют партнёру значение буквы $B$. |
2 мин | Учитель просит пары обменяться карточками и применить приём «Две звезды и пожелание»: "Назовите два сильных места решения и один совет по проверке." | Проверяют решение другой пары, записывают две удачные стороны и один конкретный совет, например: "Не забывай дописывать нули слева". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм уже работает в паре. Сейчас каждый самостоятельно покажет, умеет ли он выбрать нужный размер группы и проверить себя без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение способов быстрого перевода и умение находить ошибку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт индивидуальные листы: "Выполните три обязательных задания: 1) переведите $1011011_2$ в восьмеричную систему; 2) переведите $11101010_2$ в шестнадцатеричную; 3) выполните обратный перевод $247_8$ в двоичную. Записывайте группировку, а не только ответ." | Индивидуально решают: $101|101|1$ с нулевым дополнением даёт $133_8$; $1110|1010$ даёт $EA_{16}$; $247_8$ даёт $010|100|111_2=10100111_2$. |
2 мин | Учитель открывает эталон на экране и говорит: "Проверьте не только итог, но и каждый промежуточный шаг. Если ответ отличается, поставьте рядом знак вопроса и найдите место расхождения." | Сверяют группировку и ответы, отмечают ошибки, исправляют их другим цветом. |
2 мин | Учитель предлагает выбор повышенного задания: "Если основные задания выполнены, найдите ошибку в записи $101011_2=253_8$ и объясните, на каком шаге она появилась." | Устанавливают, что группы должны быть $101|011$, поэтому правильный ответ $53_8$, а запись $253_8$ содержит лишнюю цифру и неверную замену. |
Эталон решения
$1011011_2$: группируем справа налево $001|011|011$, значит $001_2=1$, $011_2=3$, $011_2=3$, поэтому $1011011_2=133_8$. $11101010_2$: группируем по четыре $1110|1010$, получаем $1110_2=14=E$, $1010_2=10=A$, поэтому $11101010_2=EA_{16}$. $247_8$: заменяем каждую цифру тремя разрядами: $2=010$, $4=100$, $7=111$, получаем $010100111_2=10100111_2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что главный контрольный вопрос — правильно ли выбрана граница группы. В финале соединим алгоритм с тем, как компьютерные специалисты используют компактные записи данных."
Этап 7. Межпредметная связь и рефлексия (7 мин)
Цель этапа: связать быстрый перевод с математикой и цифровыми технологиями, осознать результат и определить затруднения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на экране условную запись цвета в шестнадцатеричном виде и объясняет: "В веб-дизайне цвет часто записывают шестнадцатеричным кодом, например #3FA7C2. Математическая идея группировки помогает компактно работать с двоичными данными. Где ещё важна компактная запись?" | Связывают тему с математикой, программированием и дизайном, предлагают варианты: "в адресах памяти", "в кодах цветов", "при отладке программ". |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно перевести двоичное число в восьмеричное и шестнадцатеричное; жёлтую — если нужна подсказка; красную — если пока трудно." | Выбирают цвет, фиксируют в тетради личный результат: «могу сам», «нужна тренировка» или «нужна помощь». |
2 мин | Учитель предлагает «Билет на выход»: "Письменно ответьте: почему при переводе в восьмеричную систему берём группы по три, а при переводе в шестнадцатеричную — по четыре? Приведите один собственный пример." | Пишут объяснение через $8=2^3$ и $16=2^4$, приводят пример перевода и сдают билет при выходе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы сами открыли способ, который сокращает вычисления и делает запись данных компактнее. На следующем уроке мы продолжим перевод чисел между системами и уделим внимание вычислениям над числами в разных основаниях."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три обязательных задания, в каждой работе показана правильная группировка, обратный перевод выполнен без ошибок, объяснение выбора групп полное.
- «4» — верно выполнены два обязательных задания из трёх или допущена одна исправленная ошибка в группировке, общий алгоритм понятен.
- «3» — выполнено хотя бы два задания с частично верной группировкой, но есть ошибки в замене групп цифрами или символами; ученик может исправить ошибку по таблице.
- Ниже базового уровня — неверно выбраны размеры групп или отсутствует последовательность действий; требуется повторная отработка по памятке.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Почему группы при переводе в восьмеричную систему содержат три разряда, а в шестнадцатеричную — четыре? | Проверка понимания связи между степенями двойки и основаниями систем счисления. |
На каком шаге алгоритма вы сегодня могли ошибиться? | Выявление точек затруднения: направление группировки, нули слева или замена группы. |
Что помогло вам проверить ответ без готового решения? | Определение освоенных стратегий самоконтроля. |
Где такой быстрый перевод может пригодиться за пределами урока информатики? | Осознание межпредметной и практической значимости темы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что перевод чисел может быть не длинной цепочкой вычислений, а коротким алгоритмом группировки. Главное — начинать группирование справа и не терять нули слева. Если появляется буква от A до F, вспомните, что она обозначает число от 10 до 15. На следующем уроке мы проверим, как выполнять действия с числами в разных системах счисления и как контролировать результат несколькими способами."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 перевода: два двоичных числа перевести в восьмеричную систему и два двоичных числа — в шестнадцатеричную; для каждого показать группировку разрядов. | Закрепляет основной алгоритм; при проверке смотреть на направление группировки, дополнение нулями и правильную замену групп. |
Средний (повышающий) | Выполнить 4 обратных перевода: два восьмеричных и два шестнадцатеричных числа перевести в двоичную систему, затем один результат проверить обратным переводом. | Формирует умение разворачивать каждую цифру в фиксированную группу разрядов и выполнять самоконтроль. |
Продвинутый (дополнительный) | Подобрать пример цифровой информации, записанной в шестнадцатеричном виде, и подготовить короткое объяснение: где она используется, как перевести одну её часть в двоичную систему и почему такая запись удобна. | Развивает межпредметную и цифровую грамотность, умение применять алгоритм в реальном контексте. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Сколько двоичных разрядов соответствует одной восьмеричной цифре? Сколько — одной шестнадцатеричной? В каком направлении начинаем группировку? Когда нужно дописывать нули? Что обозначают символы A–F?»
