Окружность, вписанная в угол
Цели и задачи
- Цель (SMART): К концу урока учащиеся смогут самостоятельно сформулировать и доказать свойство центра окружности, вписанной в угол, а также применить его для решения не менее двух практических задач на построение и вычисление.
- Образовательная задача: Познакомить с понятием окружности, вписанной в угол, доказать теорему о положении её центра на биссектрисе угла.
- Развивающая задача: Развивать навыки геометрического моделирования, умение выдвигать гипотезы в ходе практического исследования и аргументированно их подтверждать.
- Воспитательная задача: Формировать культуру графического труда и аккуратность при выполнении геометрических построений, развивать навыки конструктивного диалога в паре.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование готовности к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию.
- Развитие осознанного и ответственного отношения к собственным поступкам и результатам учебной деятельности.
- Формирование целостного мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки и общественной практики.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы на основе экспериментальных данных.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных задач.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками, работать индивидуально и в группе.
Предметные
- Знать определение окружности, вписанной в угол, и свойство её центра.
- Уметь доказывать теорему о центре окружности, вписанной в угол.
- Уметь выполнять построение окружности, вписанной в данный угол, с помощью циркуля и линейки.
- Владеть навыками применения изученного свойства при решении геометрических задач.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование (установление связи между целью учебной деятельности и её мотивом).
- Самоопределение (внутренняя позиция школьника на уровне положительного отношения к урокам геометрии).
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что ещё неизвестно.
- Оценка — выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Поиск и выделение необходимой информации из учебника и в ходе эксперимента.
- Структурирование знаний, осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной и письменной форме.
Коммуникативные УУД
- Планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочие листы для практического исследования (по 1 шт. на каждого ученика).
- Подготовить демонстрационный набор для доски: большой циркуль, линейку, цветные мелки.
- Открыть учебник «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян и др.) на странице 178 (пункт 74).
- Подготовить презентацию с чертежами к задачам для этапа первичного закрепления.
- Проверить наличие у каждого ученика чертёжных инструментов (циркуль, линейка, угольник, карандаш).
- Методические ресурсы: Методическое пособие к учебнику Л. С. Атанасяна, портал «Российская электронная школа», конструктор рабочих программ.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологически настроить учащихся на учебную деятельность и создать условия для возникновения внутренней потребности включения в процесс.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, ребята! Рад вас видеть. Сегодня нас ждёт необычный урок — урок-открытие. Мы не просто будем изучать готовую теорему, а сами попробуем её сконструировать. Проверьте, пожалуйста, всё ли у вас готово: циркуль, линейка, карандаш и, конечно, учебник Атанасяна. Всё на месте?» Учитель визуально проверяет готовность класса. | Ученики приветствуют учителя, проверяют наличие инструментов на партах, настраиваются на работу. |
2 мин | «Ребята, посмотрите на экран (слайд 1). Вы видите логотипы известных брендов, в которых используются круги и углы. Геометрия окружности и угла — это основа дизайна, архитектуры и даже механики. Как вы думаете, как связаны центр круга и стороны угла, в который он помещён? Сегодня мы это выясним». | Ученики рассматривают изображения, высказывают предположения о том, что центр круга должен находиться «посередине» угла. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Ваши догадки очень близки к истине. Чтобы превратить предположение в научный факт, нам нужно провести исследование. Переходим к актуализации знаний».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить опорные понятия (касательная к окружности, свойство биссектрисы угла), необходимые для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Давайте вспомним: что такое касательная к окружности? Каким важным свойством она обладает по отношению к радиусу? Начертите в тетради окружность и касательную к ней. Отметьте точку касания и проведите радиус». Учитель вызывает одного ученика к доске для быстрого чертежа. | Ученики отвечают: «Касательная — это прямая, имеющая с окружностью одну общую точку. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной». Выполняют чертёж в тетрадях. |
2 мин | «А теперь вспомним свойство биссектрисы угла. Где расположены точки, равноудалённые от сторон угла? Правильно, на биссектрисе. Как вы думаете, пригодится ли нам это сегодня?» | Ученики вспоминают: «Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон». Предполагают связь биссектрисы с центром окружности. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили два ключевых факта: перпендикулярность радиуса и свойство биссектрисы. Теперь мы готовы к открытию».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Проблема: представьте, что нам нужно вписать окружность в угол так, чтобы она касалась обеих его сторон. Попробуйте от руки поставить точку — центр такой окружности. Получилось? А теперь попробуйте обосновать, почему именно в этом месте должен быть центр. В чём наше затруднение?» | Ученики пытаются поставить точку «на глаз», осознают, что не знают точного правила построения и математического обоснования. |
2 мин | «Какова же цель нашего урока? Сформулируйте её». Учитель корректирует ответы: «Верно, цель — выяснить, где лежит центр окружности, вписанной в угол, и доказать это свойство». | Ученики формулируют цель: «Узнать, как найти центр окружности, вписанной в угол, и научиться её строить». Записывают тему урока в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель поставлена. Начинаем наше исследование».
Этап 4. Открытие нового знания (Исследование) (12 мин)
Цель этапа: экспериментальным путём и с помощью логических рассуждений прийти к формулировке свойства центра вписанной окружности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Работаем в парах. Приём "Лабораторная работа". На рабочих листах у вас начерчен угол BAC. 1) Постройте биссектрису этого угла. 2) Выберите на биссектрисе любую точку O. 3) Опустите перпендикуляры OK и OM на стороны угла. 4) Измерьте их длины. Что вы заметили?» Учитель обходит класс, помогая с построением перпендикуляров. | Ученики выполняют построения. Измеряют отрезки OK и OM. Делают вывод: «Отрезки равны. Значит, точка O равноудалена от сторон угла». Пытаются провести окружность с центром O и радиусом OK. |
7 мин | «Давайте докажем это строго. Рассмотрим треугольники AKO и AMO. Что в них общего? Они прямоугольные (почему?), у них общая гипотенуза AO, и равны острые углы (почему?). Какой признак равенства треугольников мы используем?» Учитель записывает доказательство на доске. | Ученики отвечают: «Треугольники равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует, что OK = OM. Значит, окружность с центром O и радиусом OK касается сторон угла». Записывают доказательство в тетрадь. |
Запись в тетрадях
Теорема: Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Дано: ∠A, окр(O, r) касается сторон в точках K и M.
Доказать: AO — биссектриса ∠A.
Доказательство: ΔAKO = ΔAMO (по гипотенузе AO и катету OK=OM=r) => ∠KAO = ∠MAO => AO — биссектриса.
Дано: ∠A, окр(O, r) касается сторон в точках K и M.
Доказать: AO — биссектриса ∠A.
Доказательство: ΔAKO = ΔAMO (по гипотенузе AO и катету OK=OM=r) => ∠KAO = ∠MAO => AO — биссектриса.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы доказали важнейшее свойство. Теперь мы точно знаем, где искать центр. Пора применить это на практике».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить полученные знания при решении типовых задач из учебника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Откройте учебник на стр. 182, задача № 640. Прочитайте условие. Что нам дано? Как мы можем использовать наше новое свойство?» Учитель вызывает ученика к доске для решения. | Ученик у доски записывает краткое условие и выполняет чертёж. Класс решает в тетрадях, комментируя шаги. |
2 мин | «Приём "Толстые и тонкие вопросы". Тонкий вопрос: где лежит центр вписанной окружности? Толстый вопрос: изменится ли положение центра, если мы увеличим радиус окружности, но она всё так же должна касаться сторон угла?» | Ученики отвечают: «Центр всегда на биссектрисе. Если радиус увеличится, центр просто сдвинется дальше от вершины угла по той же биссектрисе».]]},{ |