Параллелограмм: свойства и признаки
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся смогут формулировать определение параллелограмма, доказывать его свойства и применять их для нахождения углов и сторон в геометрических задачах.
- Образовательная задача: изучить свойства противоположных сторон и углов параллелограмма, а также свойство его диагоналей.
- Развивающая задача: развивать навыки дедуктивного мышления, умение выдвигать гипотезы и проверять их с помощью инструментов измерения и логического вывода.
- Воспитательная задача: формировать культуру графического труда и умение вести конструктивный диалог в процессе коллективного обсуждения.
Планируемые результаты
Личностные
- Развитие готовности к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению.
- Формирование ценности здорового образа жизни через соблюдение норм при работе с чертежными инструментами.
- Умение аргументированно отстаивать свою точку зрения при обсуждении геометрических свойств.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения задач.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками, работать в парах.
Предметные
- Знать определение параллелограмма как четырехугольника с попарно параллельными сторонами.
- Уметь доказывать свойства параллелограмма (равенство сторон, углов, точка пересечения диагоналей).
- Уметь применять свойства при решении задач на расчет параметров четырехугольника.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: понимание практической значимости параллелограмма в архитектуре и технике.
- Самоопределение: оценка своих возможностей в решении задач разного уровня сложности.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном.
Познавательные УУД
- Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.
- Построение логической цепи рассуждений при доказательстве теорем.
Коммуникативные УУД
- Учет позиции собеседника при работе в паре.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с изображениями параллелограммов в реальном мире (мосты, рамы, элементы дизайна).
- Распечатать карточки для практической работы (чертеж произвольного параллелограмма для каждого ученика) — 30 шт.
- Подготовить наборы чертежных инструментов (линейка, транспортир, угольник) для каждой парты.
- Открыть учебник Л.С. Атанасяна «Геометрия 7-9» на странице 100.
- Подготовить динамическую модель параллелограмма из реек для демонстрации изменения углов при сохранении параллельности сторон.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и подготовить учеников к восприятию новой геометрической фигуры.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, друзья! Сегодня мы начинаем изучение одной из самых важных фигур в геометрии. Посмотрите на слайд. Перед вами фотографии современных зданий и мостов. Какие геометрические формы вы видите в основе этих конструкций?" | Рассматривают слайды, отвечают: "Видим четырехугольники, прямоугольники, какие-то скошенные рамки". |
2 мин | "Верно. Большинство этих конструкций основано на фигуре, стороны которой попарно параллельны. Как вы думаете, почему инженеры выбирают именно такую форму? Сегодня мы раскроем секреты этой фигуры, которая называется параллелограмм." | Выдвигают гипотезы: "Она устойчивая", "Ее легко собирать", "Она может менять форму, но сохранять свойства". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что геометрия окружает нас повсюду. Чтобы понять, как работают эти конструкции, нам нужно изучить свойства их главного элемента — параллелограмма."
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (7 мин)
Цель этапа: повторить признаки параллельности прямых и свойства четырехугольников, выявить недостаток знаний для определения новой фигуры.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Давайте вспомним: какие прямые называются параллельными? Какие углы образуются при пересечении двух параллельных прямых секущей? Начертите в тетради две параллельные прямые a и b и секущую c. Отметьте накрест лежащие углы." | Работают в тетрадях. Отвечают: "Прямые, которые не пересекаются. Образуются накрест лежащие, соответственные и односторонние углы. Накрест лежащие углы равны". |
4 мин | "А теперь посмотрите на доску. Я начертил четырехугольник ABCD. Известно, что AB || CD и BC || AD. Как мы можем назвать такую фигуру? Какие свойства у нее точно есть, исходя только из параллельности сторон? Можем ли мы сразу утверждать, что AB = CD?" | Предполагают название. Сталкиваются с затруднением: "Мы знаем, что стороны параллельны, но не доказывали, что они равны. Нужно обоснование". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, у нас есть фигура с параллельными сторонами, но мы пока не знаем точно, какими еще свойствами она обладает. Это и будет темой нашего исследования."
Этап 3. Постановка проблемы и проект выхода (3 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: сформулировать тему урока и план исследования свойств параллелограмма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Сформулируйте тему нашего урока. Что мы должны сегодня узнать?" | Отвечают: "Тема — Параллелограмм. Мы должны узнать его определение и свойства". |
2 мин | "Верно. Запишите тему: 'Параллелограмм'. Наш план: 1. Дать точное определение. 2. Провести эксперимент и найти свойства сторон и углов. 3. Доказать эти свойства логически." | Записывают тему урока и план в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План намечен. Приступаем к первой части — открытию свойств."
Этап 4. Открытие нового знания — Исследовательская работа (12 мин)
Цель этапа: путем практических измерений и работы с учебником выявить основные свойства параллелограмма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "У вас на партах лежат карточки с начерченными параллелограммами. Используйте линейку и транспортир. Задание: 1. Измерьте длины противоположных сторон. 2. Измерьте величины противоположных углов. 3. Проведите диагонали, отметьте точку их пересечения и измерьте отрезки диагоналей от вершин до этой точки. Запишите результаты в таблицу на карточке." | Выполняют измерения. Работают в парах, сравнивают результаты. Обнаруживают: "Стороны равны! Углы тоже равны! Точка пересечения делит диагонали пополам!" |
4 мин | "Теперь откройте учебник на странице 100. Найдите определение параллелограмма. Запишите его. Сравните ваши выводы с теоремами о свойствах параллелограмма в учебнике. Совпадают ли они?" | Читают учебник, записывают определение: "Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны". Подтверждают свои открытия текстом учебника. |
3 мин | "Давайте докажем первое свойство: в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. Какую дополнительную линию нужно провести, чтобы получить треугольники?" | Предлагают: "Нужно провести диагональ! Тогда получатся два треугольника. Мы сможем доказать их равенство по стороне и двум прилежащим углам (накрест лежащим)". |
Запись в тетрадях
- Определение: Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.
- Свойство 1: Противоположные стороны равны ($AB=CD, BC=AD$).
- Свойство 2: Противоположные углы равны ($∠A=∠C, ∠B=∠D$).
- Свойство 3: Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы не просто прочитали свойства в книге, мы их увидели сами и наметили путь доказательства. Теперь проверим, как эти свойства работают в задачах."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать применение свойств параллелограмма на типовых задачах с устным объяснением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Решим задачу №372 из учебника. В параллелограмме ABCD угол A равен 70 градусов. Найдите остальные углы. Кто готов объяснить решение у доски, опираясь на свойства?" | Один ученик у доски: "Так как противоположные углы равны, то ∠C = ∠A = 70°. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (как односторонние при параллельных прямых). Значит, ∠B = 180° - 70° = 110°. Тогда ∠D = 110°". |
3 мин | "Вторая задача: Периметр параллелограмма равен 48 см. Одна сторона на 4 см больше другой. Найдите стороны. Используйте свойство равенства противоположных сторон." | Ученики решают в тетрадях: "Пусть одна сторона x, тогда другая x+4. Периметр P = 2(x + x + 4) = 48. 2x + 4 = 24. 2x = 20. x = 10. Стороны 10 см и 14 см". |
Эталон решения задачи на периметр
$P = 2 · (a + b) = 48$ см.
Пусть $a = x$ см, тогда $b = x + 4$ см.
$2 · (x + x + 4) = 48$
$2x + 4 = 24$
$2x = 20$
$x = 10$ (см) — сторона $a$.
$x + 4 = 14$ (см) — сторона $b$.
Ответ: 10 см, 14 см, 10 см, 14 см.
Пусть $a = x$ см, тогда $b = x + 4$ см.
$2 · (x + x + 4) = 48$
$2x + 4 = 24$
$2x = 20$
$x = 10$ (см) — сторона $a$.
$x + 4 = 14$ (см) — сторона $b$.
Ответ: 10 см, 14 см, 10 см, 14 см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично, свойства помогают нам быстро находить все элементы фигуры, зная лишь малую их часть."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить уровень усвоения материала через индивидуальное решение задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | "Сейчас каждый выполнит небольшую самостоятельную работу на карточках. Там две задачи: на углы и на диагонали. У вас есть выбор: решить только базовую часть или попробовать задачу 'со звездочкой'. Время пошло." | Самостоятельно решают задачи. Выбирают уровень сложности. Концентрируются на оформлении чертежа и записи 'Дано'. |
2 мин | "Время вышло. Посмотрите на экран — там выведен эталон решения. Возьмите зеленые ручки и проверьте себя. Если все верно — поставьте '+', если есть ошибка — исправьте ее и поставьте '?' там, где возник вопрос." | Сверяют свои решения с образцом на экране. Проводят самооценку. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Не бойтесь ошибок, сейчас мы учимся. Поднимите руки те, у кого все совпало с эталоном. Молодцы!"
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить полученные знания, оценить свою деятельность на уроке и получить инструкции по домашнему заданию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Подведем итоги. Вспомните наш 'крючок' в начале урока. Почему же параллелограмм так популярен в строительстве? Используем прием 'Синквейн'. Первое слово — Параллелограмм. Далее два прилагательных, три глагола и фраза-отношение." | Составляют синквейн: "Параллелограмм. Равный, параллельный. Строит, держит, пересекается. Красивая и важная фигура. Четырехугольник". |
2 мин | "Запишите домашнее задание. Обратите внимание на творческий уровень — он для тех, кто хочет увидеть геометрию в архитектуре нашего города." | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — Ученик верно выполнил все измерения, правильно сформулировал свойства, решил обе задачи самостоятельной работы без ошибок, оформил чертежи аккуратно.
- "4" — Ученик верно выполнил измерения и знает свойства, но допустил одну негрубую ошибку в расчетах или оформлении задачи.
- "3" — Ученик знает определение параллелограмма, но затрудняется в применении свойств для решения задач, допустил более двух ошибок в самостоятельной работе.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство параллелограмма показалось тебе самым очевидным, а какое — удивило? | Осознание субъективной новизны материала. |
В какой момент урока ты чувствовал себя 'исследователем'? | Оценка включенности в деятельностный подход. |
Где в твоем доме ты можешь встретить параллелограмм? | Связь теории с жизненным опытом (функциональная грамотность). |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы с вами проделали путь от простого наблюдения до научного доказательства. Параллелограмм — это не просто картинка в учебнике, это основа устойчивости зданий и гармонии в дизайне. На следующем уроке мы узнаем, как отличить параллелограмм от других четырехугольников, если мы не знаем заранее о параллельности его сторон. Спасибо за активную работу, вы сегодня настоящие геометры!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, п. 42, вопросы 1-5; №371 (а, б), №376. | Выучить определение и свойства. Решить задачи на нахождение углов и периметра. |
Средний (повышающий) | №380, №384. | Задачи на доказательство с использованием свойств диагоналей параллелограмма. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческий проект: 'Параллелограмм вокруг нас'. | Сфотографировать 3 примера параллелограмма в архитектуре города или быту, обосновать, почему это именно параллелограмм. |
Контрольный вопрос перед выходом: "Если у параллелограмма один угол прямой, какими будут остальные три угла?"