Окружность, описанная около треугольника
Цели и задачи
- Цель: Формирование умений формулировать определение описанной окружности, доказывать теорему о центре описанной окружности и строить её с помощью циркуля и линейки для треугольников различного вида.
- Образовательная задача: Изучить теорему о центре окружности, описанной около треугольника, и алгоритм её построения.
- Развивающая задача: Развивать навыки геометрического конструирования, логическое мышление и умение анализировать положение центра окружности в зависимости от вида треугольника.
- Воспитательная задача: Формирование аккуратности при выполнении чертежей и культуры математической речи.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к учению и готовности к саморазвитию.
- Развитие критичности мышления, умения распознавать логически некорректные высказывания.
- Формирование навыков аккуратности и точности в графических работах.
Метапредметные
- Умение самостоятельно определять цели обучения и планировать пути их достижения.
- Умение устанавливать причинно-следственные связи и строить логическое рассуждение.
- Навыки использования чертёжных инструментов как средств ИКТ-компетентности в широком смысле.
Предметные
- Знать определение окружности, описанной около треугольника.
- Уметь доказывать теорему о существовании и единственности описанной окружности.
- Уметь находить центр описанной окружности как точку пересечения серединных перпендикуляров.
- Владеть навыком построения описанной окружности для остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольников.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование (связь между целью учебной деятельности и её мотивом).
- Оценивание усваиваемого содержания.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи.
- Планирование последовательности промежуточных целей.
- Контроль и коррекция в форме сличения способа действия и его результата с эталоном.
Познавательные УУД
- Поиск и выделение необходимой информации из учебника.
- Построение логической цепи рассуждений.
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
- Владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с нормами языка.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с динамическими чертежами (GeoGebra или аналоги).
- Распечатать рабочие листы с заготовками трёх типов треугольников (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный) для каждого ученика.
- Проверить наличие у каждого ученика циркуля, линейки и карандаша.
- Подготовить демонстрационный циркуль для работы у доски.
- Методические ресурсы: Учебник Геометрия 7-9 (Л.С. Атанасян и др.), методическое пособие для учителя.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологически настроить учащихся на работу, создать проблемную ситуацию, мотивирующую к изучению новой темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников | Планируемые результаты (УУД) |
|---|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, ребята! Проверьте, всё ли готово к уроку...» | Организуют рабочее место, проверяют наличие чертежных инструментов (циркуль, линейка, карандаш). Приветствуют учителя. | Л: Формирование ответственного отношения к учению. Р: Самоконтроль. |
2 мин | Проблемная ситуация с фонтаном в парке. Запись темы. | Анализируют практическую задачу, предлагают варианты нахождения точки, равноудаленной от трех объектов. Формулируют тему и записывают в тетрадь. | П: Формирование познавательного интереса. К: Умение вступать в диалог. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Для решения этой задачи нам нужно вспомнить свойства серединного перпендикуляра, которые мы изучили ранее».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить в памяти знания о серединном перпендикуляре и его основном свойстве.
Время | Действие учителя | Действие учеников | Планируемые результаты (УУД) |
|---|---|---|---|
3 мин | Вопросы о серединном перпендикуляре и его свойстве. | Воспроизводят определение серединного перпендикуляра. Формулируют свойство: каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов. | П: Поиск и выделение необходимой информации. К: Точность выражения мыслей. |
2 мин | Обсуждение обратного свойства. | Доказывают (устно), что любая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре. | П: Построение логической цепи рассуждений. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, мы вспомнили свойство серединного перпендикуляра. Теперь попробуем применить его к треугольнику».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: доказать теорему о центре описанной окружности и ввести определение.
Время | Действие учителя | Действие учеников | Планируемые результаты (УУД) |
|---|---|---|---|
2 мин | Работа с определением в учебнике (стр. 145). | Самостоятельно находят определение в тексте, выделяют ключевые признаки описанной окружности. Выполняют схематичный чертеж в тетради. | П: Работа с текстом учебника. Пр: Знать определение описанной окружности. |
5 мин | Доказательство теоремы (эвристическая беседа). | Участвуют в логическом выводе: обосновывают равенство OA=OB=OC через свойство серединных перпендикуляров, формулируют вывод о центре. | П: Установление причинно-следственных связей. Пр: Уметь доказывать теорему. |
5 мин | Обсуждение единственности окружности. | Анализируют возможность пересечения трех прямых в одной точке, делают вывод о существовании и единственности центра. | Л: Развитие критичности мышления. П: Логические рассуждения. |
Запись в тетрадях
Теорема: Около любого треугольника можно описать окружность. Её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы доказали теорему теоретически. Теперь перейдём к практике — научимся строить эту окружность правильно».
Этап 4. Практическая работа (10 мин)
Цель этапа: отработать навык построения описанной окружности для разных типов треугольников, выявить закономерность расположения центра.
Время | Действие учителя | Действие учеников | Планируемые результаты (УУД) |
|---|---|---|---|
2 мин | Построение перпендикуляров в остроугольном треугольнике. | Используют циркуль и линейку для нахождения середин сторон и проведения перпендикуляров. Осуществляют самоконтроль точности. | Пр: Уметь находить центр описанной окружности. Р: Планирование действий. |
3 мин | Проведение окружности и определение положения центра. | Устанавливают иглу циркуля в точку пересечения, проводят окружность через вершины. Фиксируют положение центра (внутри треугольника). | Пр: Владеть навыком построения. Р: Коррекция (сличение с эталоном). |
5 мин | Самостоятельная работа с прямоугольным и тупоугольным треугольниками. | Самостоятельно применяют алгоритм для новых условий. Сравнивают результаты в парах, формулируют вывод о положении центра. | П: Выбор эффективных способов решения. К: Умение работать в паре. |
Эталон решения (алгоритм)
- Построить серединный перпендикуляр к одной стороне треугольника.
- Построить серединный перпендикуляр к другой стороне треугольника.
- Отметить точку O — их пересечение.
- Провести окружность с центром O и радиусом OA (или OB, OC).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы заметили интересную особенность: положение центра зависит от углов треугольника. Это важно запомнить для решения задач ОГЭ и ЕГЭ в будущем».
Этап 5. Закрепление и работа с учебником (8 мин)
Цель этапа: применить полученные знания при решении текстовых задач из учебника.
Время | Действие учителя | Действие учеников | Планируемые результаты (УУД) |
|---|---|---|---|
4 мин | Решение №702 (центр в прямоугольном треугольнике). | Анализируют условие задачи, выстраивают логическое доказательство того, что центр лежит на гипотенузе. Записывают решение. | Пр: Анализ положения центра. П: Построение логической цепи. |
4 мин | Разбор №704 (равносторонний треугольник). | Соотносят свойства серединных перпендикуляров со свойствами медиан и высот равностороннего треугольника. Обосновывают совпадение центров. | П: Установление связей между темами. К: Монологическая речь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, как теория помогает объяснять практические результаты. Вы отлично справились с анализом».
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников | Планируемые результаты (УУД) |
|---|---|---|---|
4 мин | Подведение итогов (задача про фонтан), рефлексия. | Возвращаются к проблемной задаче, дают обоснованный ответ. Проводят самооценку своей деятельности на уроке, заполняя чек-листы. | Л: Оценивание усваиваемого содержания. Р: Оценка результатов работы. |
3 мин | Инструктаж по домашнему заданию. | Слушают пояснения учителя, фиксируют задание в дневниках, задают уточняющие вопросы по уровню сложности. | Л: Смыслообразование. Р: Целеполагание. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Верно и аккуратно построены окружности для всех трёх типов треугольников; серединные перпендикуляры проведены точно через середины сторон.
- «4» — Построены окружности для всех треугольников, но допущены небольшие неточности (линии не пересекаются строго в одной точке, окружность чуть не касается вершины).
- «3» — Верно построено только 1-2 случая, или нарушен алгоритм (например, центр найден «на глаз» без перпендикуляров).
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство серединного перпендикуляра лежит в основе теоремы? | Проверка понимания теоретического фундамента темы. |
В каком треугольнике центр окружности лежит на его стороне? | Закрепление важного частного случая (прямоугольный треугольник). |
Что вызвало наибольшее затруднение при работе с циркулем? | Выявление проблем с практическими навыками черчения. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы сделали важное открытие: любой треугольник можно "вписать" в окружность. Мы научились быть не просто учениками, а исследователями и инженерами. Помните, что геометрия — это не только формулы, но и красота строгих линий. На следующем уроке мы узнаем, всегда ли можно сделать наоборот — вписать окружность в треугольник. Спасибо за работу, урок окончен!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Пункт 74, №701 | Выучить определение и теорему; выполнить построение окружности для произвольного треугольника в тетради. |
Средний (повышающий) | №703, №705 | Решить задачи на применение свойств описанной окружности в равнобедренном треугольнике. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание | Найти и описать примеры использования описанных окружностей в архитектуре или ландшафтном дизайне вашего города. |
Контрольный вопрос: «Как изменится радиус описанной окружности, если мы будем увеличивать один из углов треугольника до 180 градусов?» (Подумайте над этим дома).