Синус, косинус и тангенс числового аргумента
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся сформулируют определения синуса, косинуса и тангенса числового аргумента через координаты точки единичной окружности, построят значения для основных углов и применят полученные зависимости при решении не менее трёх заданий.
- Сформировать понимание связи между числовым аргументом, точкой единичной окружности и значениями тригонометрических функций.
- Научить находить синус и косинус числового аргумента по координатам точки единичной окружности, а тангенс — как отношение синуса к косинусу при ненулевом косинусе.
- Развивать умение выдвигать гипотезы, проверять их по модели, работать с информацией и аргументировать выводы в паре.
- Формировать ответственное отношение к самостоятельной проверке решения и осознание практической роли тригонометрических функций в математике, физике и будущей профессиональной деятельности.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение тригонометрических функций как универсального языка описания периодических процессов и геометрических зависимостей.
- Проявляют интерес к исследовательской задаче и готовность самостоятельно проверять математические гипотезы.
- Формируют адекватную самооценку: различают уверенное понимание, частичное понимание и необходимость дополнительной помощи.
- Осознают связь изучаемого материала с дальнейшим изучением функций, производной, колебаний и заданиями государственной итоговой аттестации.
Метапредметные
- Извлекают информацию из схемы единичной окружности, таблицы значений и формулировки задания.
- Строят логическую цепочку: числовой аргумент — точка окружности — координаты — значение функции.
- Планируют решение, фиксируют промежуточные результаты, выполняют самопроверку по эталону и корректируют ошибки.
- Сотрудничают в паре: распределяют роли, задают уточняющие вопросы и аргументируют общий ответ.
- Используют цифровую модель или изображение окружности для проверки предположений, не заменяя рассуждение механическим чтением результата.
Предметные
- Знать определения синуса и косинуса числового аргумента через координаты точки единичной окружности.
- Знать определение тангенса числового аргумента как отношения синуса к косинусу при условии, что косинус не равен нулю.
- Уметь определять знак синуса, косинуса и тангенса по четверти единичной окружности.
- Уметь находить значения тригонометрических функций для основных числовых аргументов, выраженных через $\pi$.
- Уметь объяснять, почему тангенс не существует при аргументах, для которых косинус равен нулю.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться переходить от числового аргумента к точке единичной окружности и обратно.
- Осознают необходимость точной записи условий существования тангенса.
- Проявляют готовность принимать ошибку как источник уточнения математического рассуждения.
- Связывают изучение темы с дальнейшим профессиональным и математическим развитием.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе проблемного вопроса.
- Планируют алгоритм нахождения значения функции по числовому аргументу.
- Контролируют знак и величину полученного значения.
- Сверяют решение с эталоном, находят место ошибки и исправляют её.
- Оценивают степень освоения материала по листу самооценки и билету на выход.
Познавательные УУД
- Моделируют числовой аргумент точкой единичной окружности.
- Устанавливают соответствие между координатами точки и значениями синуса и косинуса.
- Сравнивают значения функций в разных четвертях и выявляют закономерность знаков.
- Применяют формулу $\operatorname{tg} x=\frac{\sin x}{\cos x}$ при допустимых значениях аргумента.
- Формулируют выводы на основе наблюдения, проверки и обобщения.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: один строит модель, другой формулирует объяснение, затем меняются ролями.
- Задают вопросы о выборе четверти и знаке функции.
- Аргументируют ответ с опорой на координаты точки окружности.
- Согласовывают общий вариант решения и корректно комментируют ошибку партнёра.
- Представляют результат кратко, используя математическую терминологию.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную модель единичной окружности с начальной точкой, направлениями отсчёта и подвижной точкой.
- Вывести на доску схему единичной окружности с осями координат и обозначениями четвертей.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе, в трёх вариантах сложности.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы по одному на каждого ученика.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «Я могу определить четверть», «Я могу найти синус и косинус», «Я могу проверить существование тангенса».
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и билеты на выход по одному на каждого ученика.
- На доске заранее разместить памятку: $\sin x=y$, $\cos x=x_0$, $\operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$, $\cos x\ne0$.
- Подготовить маркеры, линейки, проектор или интерактивную доску и таймер на 2–4 минуты.
- Для сильных учащихся подготовить дополнительные аргументы $\frac{3\pi}{4}$, $\frac{5\pi}{3}$ и $\frac{7\pi}{4}$ без готового рисунка.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и обозначить проблему урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. Сегодня нам понадобится не только знание формул, но и умение исследовать закономерность. Откройте тетради, приготовьте ручку и линейку. На доске вы видите единичную окружность: её радиус равен единице, а точка движется по окружности." | Открывают тетради, записывают дату, проверяют наличие линейки и готовят схему окружности. |
2 мин | Учитель показывает подвижную точку на единичной окружности и спрашивает: "Если точка задаётся числом $x$, каким образом это число может превратиться в координаты точки? Почему одна и та же окружность поможет определить сразу несколько функций? Запишите индивидуально одну гипотезу, затем обсудите её в паре. Приём называется «Подумай — обсуди в паре»." | 30 секунд формулируют гипотезу индивидуально, около минуты обсуждают её в паре, затем предлагают варианты: "Число задаёт поворот точки", "Координаты точки могут быть значениями функций". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что числовой аргумент можно представить геометрически. Теперь проверим, какие именно координаты связаны с синусом и косинусом и почему тангенс существует не всегда."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о координатной плоскости, углах, четвертях и основных тригонометрических отношениях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает координатную плоскость: "Назовите координаты точки на единичной окружности, если она находится справа, сверху, слева и снизу. Что изменяется при переходе из одной четверти в другую?" Учитель фиксирует ответы в четырёх секторах схемы. | Называют точки на осях: $(1;0)$, $(0;1)$, $(-1;0)$, $(0;-1)$; определяют знаки абсциссы и ординаты в четвертях. |
2 мин | Учитель предлагает устную разминку: "Определите четверть для углов $\frac{\pi}{6}$, $\frac{3\pi}{4}$, $\frac{5\pi}{3}$. Не вычисляйте значения, объясните только положение точки." | Определяют четверти: первая, вторая, четвёртая; проговаривают направление отсчёта от положительного направления оси $Ox$. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос: "Какие отношения сторон прямоугольного треугольника вы уже связывали с синусом, косинусом и тангенсом? Что произойдёт с этими отношениями, если угол задаётся не как угол треугольника, а как числовой аргумент?" | Вспоминают: синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — прилежащего катета к гипотенузе, тангенс — отношение синуса к косинусу; формулируют затруднение: "Нужно определить функции для любого числового аргумента". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили знаки координат и отношения, но пока не обосновали определение функций для произвольного числового аргумента. Именно это затруднение станет задачей нашего исследования."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и совместно определить план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске вопрос: "Как по числу $x$ определить значения $\sin x$, $\cos x$ и $\operatorname{tg}x$, если перед нами нет прямоугольного треугольника?" Затем предлагает приём «Снежный ком»: сначала каждый формулирует шаг решения, затем пары объединяют идеи. | Индивидуально записывают возможный шаг, в парах объединяют предложения: "построить окружность", "отметить точку по аргументу", "считать координаты", "сравнить с отношением сторон". |
2 мин | Учитель направляет обсуждение: "Сформулируйте цель урока одним предложением. Какие действия помогут её достичь? На доске появляется план: построить модель, установить определения, исследовать знаки, применить алгоритм." | Формулируют цель: "Научиться находить значения тригонометрических функций числового аргумента через единичную окружность"; принимают план исследования и записывают тему. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: мы не просто запомним формулы, а выведем их из модели единичной окружности и проверим на конкретных аргументах. Переходим к открытию определения."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести определения синуса, косинуса и тангенса числового аргумента через координаты точки единичной окружности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель демонстрирует единичную окружность: "Рассмотрим окружность с центром в начале координат и радиусом $1$. Начальная точка $A(1;0)$. Повернём радиус-вектор $OA$ на числовой аргумент $x$ против часовой стрелки, если $x>0$, и по часовой стрелке, если $x<0$. Получим точку $M(x_0;y_0)$. Координата $x_0$ называется косинусом аргумента, а координата $y_0$ — синусом аргумента. Записываем: $\cos x=x_0$, $\sin x=y_0$." | Следят за движением точки, отмечают начальную точку и точку $M$, записывают определения, отвечают: "Косинус — абсцисса, синус — ордината точки единичной окружности". |
3 мин | Учитель продолжает: "Теперь сравним тангенс. Если $\cos x\ne0$, то можно рассмотреть отношение ординаты к абсциссе: $\operatorname{tg}x=\frac{y_0}{x_0}=\frac{\sin x}{\cos x}$. Почему необходимо условие $\cos x\ne0$? Посмотрите на точки верхней и нижней частей окружности, лежащие на оси $Oy$." | Объясняют: "На оси $Oy$ абсцисса равна нулю, поэтому деление на косинус невозможно"; формулируют условие существования тангенса. |
3 мин | Учитель предлагает парное исследование: "Получите карточку. Один ученик отмечает четверть для аргумента, второй определяет знаки координат, затем поменяйтесь ролями. Для $x=\frac{\pi}{6}$, $x=\frac{3\pi}{4}$ и $x=\frac{5\pi}{3}$ определите знаки синуса, косинуса и тангенса. Обязательно объясните каждый знак координатами." | В парах строят положение точки и заполняют таблицу знаков: первая четверть — все положительны; вторая — синус положителен, косинус и тангенс отрицательны; четвёртая — синус и тангенс отрицательны, косинус положителен. Представляют один результат классу. |
Запись в тетрадях
$\sin x=y_0$, где $M(x_0;y_0)$ — точка единичной окружности, соответствующая аргументу $x$. $\cos x=x_0$. $\operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$ при условии $\cos x\ne0$. Знаки функций определяются четвертью, в которой находится точка $M$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы установили главное соответствие: ордината точки даёт синус, абсцисса — косинус, а их отношение — тангенс. Теперь проверим эти определения на известных значениях и научимся действовать по алгоритму."
Этап 5. Первичное закрепление и разбор образца (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм нахождения значений функций для основных аргументов и научиться объяснять знак результата.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает задачу: "Найдите $\sin\frac{\pi}{6}$, $\cos\frac{\pi}{6}$ и $\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}$. Объясните, в какой четверти находится точка и какие координаты соответствуют этому аргументу." Учитель просит сначала назвать шаги, а затем демонстрирует запись. | Называют алгоритм: определить четверть, вспомнить координаты точки, записать синус и косинус, вычислить тангенс как отношение. Получают значения $\sin\frac{\pi}{6}=\frac12$, $\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}$, $\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{3}$. |
2 мин | Учитель предлагает парную проверку: "Сравните решения с соседом. Найдите не только совпадение ответа, но и место, где обоснован знак. Если видите ошибку, используйте формулу «Две звезды и пожелание»: назовите два удачных шага и один конкретный совет." | Сверяют записи, формулируют обратную связь: "Верно определена первая четверть; правильно записаны координаты; стоит подробнее объяснить переход к тангенсу". |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Почему $\sin\frac{5\pi}{6}=\frac12$, хотя аргумент другой? Почему $\cos\frac{3\pi}{4}$ отрицателен?" Учитель показывает на окружности симметричные точки. | Объясняют симметрию относительно оси $Oy$, называют $\sin\frac{5\pi}{6}=\frac12$ и $\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}$, связывают знак с четвертью. |
Эталон решения
Для $x=\frac{\pi}{6}$ точка находится в первой четверти, поэтому синус и косинус положительны. Координаты точки единичной окружности равны $\left(\frac{\sqrt3}{2};\frac12\right)$. Следовательно, $\sin\frac{\pi}{6}=\frac12$, $\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}$. Так как косинус не равен нулю, $\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}=\frac{\sin\frac{\pi}{6}}{\cos\frac{\pi}{6}}=\frac{1/2}{\sqrt3/2}=\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает только при обязательной проверке четверти и условия существования тангенса. Сейчас каждый самостоятельно применит его к новым аргументам, а затем выполнит самопроверку."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное понимание определений и умение применять их без подсказки учителя.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и говорит: "Выберите уровень, на котором сможете работать самостоятельно. Обязательная часть есть на каждой карточке. Записывайте не только ответ, но и четверть, знак функции и условие существования тангенса. Задания: определить знаки функций для $\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{7\pi}{4}$; найти $\sin\frac{3\pi}{2}$, $\cos\pi$; установить, существует ли $\operatorname{tg}\frac{\pi}{2}$." | Индивидуально решают задания, отмечают четверти и знаки, записывают промежуточные рассуждения. Выполняют обязательную часть или переходят к повышенной: находят значения функций для $\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{11\pi}{6}$. |
2 мин | Учитель открывает эталон на доске: "Проверьте решение по трём критериям: положение точки, знак и вычислительная запись. Не стирайте ошибку — зачеркните её одной линией и рядом напишите причину." | Сверяют решения с эталоном, выделяют место ошибки и записывают причину: "неверно определена четверть", "перепутаны абсцисса и ордината", "тангенс не существует при нулевом косинусе". |
2 мин | Учитель проводит короткий «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если уверенно находите синус и косинус; жёлтую — если путаетесь в знаках; красную — если пока не можете связать аргумент с точкой окружности. По одному примеру объясните свой выбор." | Показывают цвет, формулируют индивидуальную трудность и записывают в листе самооценки, какой шаг требуют повторения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что основной алгоритм уже используется, а типичные затруднения связаны со знаками и условием существования тангенса. Закрепим теперь общий смысл темы и сформулируем вывод."
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить открытое правило, оценить продвижение и зафиксировать дальнейшую учебную задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает завершить схему: "Свяжите четыре элемента: числовой аргумент, поворот, точка единичной окружности, значение функции. Какой координатой является синус? Какой — косинус? При каком условии существует тангенс?" | Заполняют схему в тетради и формулируют: "Аргумент задаёт положение точки; синус — ордината, косинус — абсцисса; тангенс существует при ненулевом косинусе". |
2 мин | Учитель раздаёт билеты на выход: "Ответьте письменно на два вопроса: 1) Как определить знак $\operatorname{tg}x$ в третьей четверти? 2) Почему $\operatorname{tg}\frac{\pi}{2}$ не существует? Одним предложением запишите, что сегодня стало понятнее." | Пишут ответы: "В третьей четверти синус и косинус отрицательны, поэтому тангенс положителен"; "При $\frac{\pi}{2}$ косинус равен нулю, деление невозможно"; фиксируют личный результат. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень по своей самооценке. Перед выходом проверьте себя по контрольным вопросам, которые записаны на доске: что задаёт числовой аргумент; какая координата даёт синус; когда тангенс не определён?" | Записывают домашнее задание, отвечают на контрольные вопросы и сдают билет на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы открыли способ определять тригонометрические функции не только в прямоугольном треугольнике, но и для любого числового аргумента через единичную окружность. На следующем уроке мы продолжим работать с периодичностью и свойствами тригонометрических функций."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все задания обязательной части и не менее двух заданий повышенного уровня; для каждого аргумента указана четверть, правильно определены знаки, корректно записано условие существования тангенса.
- "4" — верно выполнена обязательная часть, допущена одна неточность в знаке или вычислении, но алгоритм и определения применены правильно.
- "3" — верно выполнены не менее половины обязательных заданий; учащийся узнаёт единичную окружность и формулирует определения, но испытывает затруднения при определении знаков или вычислении тангенса.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что связывает числовой аргумент с точкой единичной окружности? | Проверка понимания смысловой модели определения функций. |
Какая координата точки равна синусу, а какая — косинусу? | Выявление возможной путаницы между абсциссой и ординатой. |
Как определить знак тангенса в заданной четверти? | Проверка переноса знаний о знаках координат на отношение функций. |
Какое действие при решении оказалось самым трудным и почему? | Выявление индивидуальных точек затруднения для коррекции на следующем уроке. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что синус и косинус числового аргумента имеют наглядный геометрический смысл: это координаты точки единичной окружности. Тангенс выражается через их отношение, поэтому необходимо каждый раз проверять, не равен ли косинус нулю. Типичная ошибка — перепутать абсциссу с ординатой или определить знак функции без указания четверти. На следующем уроке мы исследуем периодичность и другие свойства тригонометрических функций, опираясь на сегодняшнюю модель."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания на определение знаков синуса, косинуса и тангенса для аргументов из разных четвертей; найти значения функций для четырёх основных аргументов, включая точки на координатных осях. | Закрепляет связь аргумента с четвертью и координатами; при проверке обратить внимание на знак и корректность записи значений. |
Средний (повышающий) | Решить 5 заданий на нахождение точных значений функций для аргументов вида $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$ и связанных с ними аргументов во второй, третьей и четвёртой четвертях. | Формирует умение использовать симметрию единичной окружности и объяснять знак результата, а не только воспроизводить ответ. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить мини-исследование: выбрать три аргумента, построить для них точки единичной окружности, определить значения синуса, косинуса и тангенса и объяснить, для какого аргумента тангенс не существует. | Развивает исследовательское мышление, математическую аргументацию и умение самостоятельно конструировать пример. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как числовой аргумент задаёт точку на единичной окружности?», «Какая координата определяет синус?», «Какая координата определяет косинус?», «При каком условии существует тангенс?», «Почему знак функции зависит от четверти?»
