Решение систем линейных уравнений с помощью определителей
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера, вычислять главный и вспомогательные определители, устанавливать число решений и выполнять проверку результата.
- Сформировать представление о связи между системой линейных уравнений и определителями второго порядка.
- Научиться применять алгоритм метода Крамера в учебных и практико-ориентированных задачах.
- Развивать умение анализировать условие, выбирать способ решения, находить и исправлять вычислительные ошибки.
- Воспитывать ответственность за точность вычислений, готовность аргументировать решение и самостоятельно оценивать его достоверность.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают ценность точности, последовательности и доказательности математического рассуждения.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать способ решения и отвечать за полученный результат.
- Связывают изучаемый метод с дальнейшим изучением математики, информатики, экономики и инженерных дисциплин.
- Формируют положительное отношение к исследовательской работе и преодолению вычислительных затруднений.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель и планируют последовательность решения системы.
- Извлекают информацию из записи системы, таблицы коэффициентов и математической модели.
- Сравнивают методы подстановки, сложения и Крамера, обосновывают выбор алгоритма.
- Осуществляют самопроверку по критериям и корректируют вычисления после обнаружения ошибки.
- Аргументированно представляют решение в паре и при фронтальном обсуждении.
Предметные
- Знать формулу определителя второго порядка $\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$.
- Знать алгоритм метода Крамера для системы $\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$.
- Уметь вычислять главный определитель $\Delta$ и вспомогательные определители $\Delta_x$, $\Delta_y$.
- Уметь находить решение системы по формулам $x=\frac{\Delta_x}{\Delta}$ и $y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$ при условии $\Delta\ne0$.
- Уметь проверять найденную пару чисел подстановкой и распознавать случаи отсутствия единственного решения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения алгоритма как средства точного решения задач.
- Проявляют самоопределение в выборе уровня сложности самостоятельной работы.
- Оценивают собственную уверенность в вычислении определителей и готовность обратиться за помощью.
- Соблюдают интеллектуальную честность при самопроверке и исправлении ошибок.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе проблемной ситуации.
- Планируют решение системы по шагам: запись определителей, вычисление, нахождение неизвестных, проверка.
- Контролируют знаки и порядок коэффициентов при вычислении определителей.
- Сравнивают результат с эталоном, выявляют причину ошибки и вносят коррекцию.
- Оценивают достижение цели по листу самооценки и выходному вопросу.
Познавательные УУД
- Выделяют коэффициенты при неизвестных и свободные члены в системе.
- Устанавливают закономерность перехода от главного определителя к вспомогательным.
- Применяют формулу определителя второго порядка в новой ситуации.
- Моделируют условие практической задачи системой двух уравнений.
- Анализируют особые случаи при $\Delta=0$ и отличии или совпадении вспомогательных определителей.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают гипотезу о способе решения в паре и формулируют общий вывод.
- Задают уточняющие вопросы о порядке записи коэффициентов.
- Аргументируют правильность решения с использованием формул.
- Сопоставляют разные решения без перехода на оценку личности.
- Принимают и конструктивно используют замечания партнёра при взаимопроверке.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с системой $\begin{cases}2x+y=7\\x-y=1\end{cases}$, формулой определителя и алгоритмом метода Крамера.
- Распечатать карточки трёх уровней самостоятельной работы: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «вычисляю $\Delta$», «нахожу $\Delta_x$ и $\Delta_y$», «нахожу $x$ и $y$», «проверяю ответ».
- Подготовить карточки для работы в парах с двумя системами и отдельным эталоном самопроверки — по одной на пару.
- Вывести на экран проблемный вопрос: «Почему для одной системы достаточно трёх определителей?»
- Разместить на доске памятку: сначала главный определитель, затем замена первого столбца, затем замена второго столбца, после этого вычисление неизвестных и проверка.
- Подготовить стикеры трёх цветов для рефлексии «уверенно», «есть вопрос», «нужна помощь».
- Обеспечить наличие доски, маркеров, проектора или интерактивной доски и таймера на 3–4 минуты.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и связать новый метод с задачей выбора эффективного инструмента.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто применять известный алгоритм, а исследуем новый способ решения систем. На столе должны быть тетрадь, ручка и лист самооценки. Пожалуйста, приготовьте их и настройтесь на точные вычисления." | Готовят тетради и материалы, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на экране систему $\begin{cases}2x+y=7\\x-y=1\end{cases}$ и спрашивает: "Как вы решали бы эту систему раньше? Какие способы уже знаете? А теперь представьте, что коэффициенты нужно обрабатывать по единой схеме, удобной для дальнейшей формализации или программирования. Какой вопрос возникает?" Учитель фиксирует на доске формулировку: «Можно ли решить систему через определители?» | Называют способы: "подстановка", "сложение". Формулируют проблемный вопрос: "Можно ли представить решение системы через определители и получить универсальный алгоритм?" |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили известные способы и увидели, что сегодня нас интересует не только ответ, но и структура алгоритма. Теперь проверим, какие знания об определителях понадобятся для его построения."
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать вычисление определителя второго порядка и обнаружить необходимость связывать его с коэффициентами системы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Быстрый математический диктант»: "Вычислите в тетради три определителя. Первый: $\begin{vmatrix}3&2\\1&4\end{vmatrix}$. Второй: $\begin{vmatrix}5&-1\\2&3\end{vmatrix}$. Третий: $\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$. Работайте самостоятельно, затем сверим не только ответы, но и порядок действий." | Вычисляют определители: $10$, $17$, $ad-bc$. Записывают промежуточные произведения и разность произведений. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "В определителе второго порядка сначала перемножаются элементы главной диагонали, затем элементы побочной диагонали, после чего второе произведение вычитается из первого. Какой знак особенно важно контролировать? Теперь выделим в системе коэффициенты при $x$ и $y$." | Формулируют правило: "Нужно внимательно соблюдать знак минус перед произведением побочной диагонали". Выделяют коэффициенты $2,1,1,-1$ и свободные члены $7,1$. |
Запись в тетрадях
Определитель второго порядка: $\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формулу определителя мы уверенно применяем. Затруднение теперь состоит в другом: какие элементы системы помещать в каждый определитель и почему именно так? Сформулируем цель исследования."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: вывести совместно с учащимися алгоритм исследования связи системы и определителей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Перед вами система $\begin{cases}2x+y=7\\x-y=1\end{cases}$. За 30 секунд подумайте, какой определитель естественно построить из коэффициентов при неизвестных. Затем обсудите идею с соседом и подготовьте объяснение." | Индивидуально выделяют матрицу коэффициентов, затем обсуждают в парах. Предлагают главный определитель $\Delta=\begin{vmatrix}2&1\\1&-1\end{vmatrix}$. |
2 мин | Учитель спрашивает: "Если главный определитель использует коэффициенты при $x$ и $y$, как получить отдельно значение $x$, а затем значение $y$? Какой столбец можно заменить свободными членами? Запишем цель урока: открыть и применить алгоритм метода Крамера." | Предполагают: "Для $x$ заменить первый столбец свободными членами, для $y$ — второй". Записывают цель и предлагают последовательность действий. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы поставили задачу: проверить гипотезу о трёх определителях и вывести формулы для неизвестных. Переходим к исследованию конкретной системы и будем каждый шаг обосновывать."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести формулы метода Крамера и применить их к конкретной системе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает на доске систему: $\begin{cases}2x+y=7\\x-y=1\end{cases}$. "Сначала составляем главный определитель из коэффициентов при неизвестных: $\Delta=\begin{vmatrix}2&1\\1&-1\end{vmatrix}$. Вычислите его вместе со мной. Затем для нахождения $x$ заменяем первый столбец свободными членами, а для нахождения $y$ заменяем второй. Не перепутайте порядок строк." | Записывают $\Delta=2\cdot(-1)-1\cdot1=-3$. Составляют $\Delta_x=\begin{vmatrix}7&1\\1&-1\end{vmatrix}$ и $\Delta_y=\begin{vmatrix}2&7\\1&1\end{vmatrix}$. |
3 мин | Учитель ведёт вычисление: "Вычислим вспомогательные определители: $\Delta_x=7\cdot(-1)-1\cdot1=-8$, $\Delta_y=2\cdot1-7\cdot1=-5$. Поскольку $\Delta\ne0$, единственное решение находится отношениями $x=\frac{\Delta_x}{\Delta}$ и $y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$. Подставьте значения и назовите результат." | Вычисляют $x=\frac{-8}{-3}=\frac83$, $y=\frac{-5}{-3}=\frac53$. Сравнивают результаты и проговаривают условие применимости: "$\Delta\ne0$". |
3 мин | Учитель обобщает: "Запишите общий алгоритм для системы $\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$. Главный определитель содержит коэффициенты, в $\Delta_x$ первый столбец заменяется свободными членами, в $\Delta_y$ заменяется второй столбец. Если главный определитель не равен нулю, делим вспомогательные определители на него." | Формулируют и записывают формулы: $\Delta=\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}$, $\Delta_x=\begin{vmatrix}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{vmatrix}$, $\Delta_y=\begin{vmatrix}a_1&c_1\\a_2&c_2\end{vmatrix}$; $x=\frac{\Delta_x}{\Delta}$, $y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$. |
Запись в тетрадях
Алгоритм метода Крамера: 1) вычислить $\Delta$; 2) вычислить $\Delta_x$ и $\Delta_y$ заменой соответствующих столбцов; 3) при $\Delta\ne0$ найти $x=\frac{\Delta_x}{\Delta}$ и $y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$; 4) выполнить проверку подстановкой.
Эталон решения
Для системы $\begin{cases}2x+y=7\\x-y=1\end{cases}$: $\Delta=2\cdot(-1)-1\cdot1=-3$; $\Delta_x=7\cdot(-1)-1\cdot1=-8$; $\Delta_y=2\cdot1-7\cdot1=-5$. Так как $\Delta\ne0$, $x=\frac{-8}{-3}=\frac83$, $y=\frac{-5}{-3}=\frac53$. Проверка: $2\cdot\frac83+\frac53=7$ и $\frac83-\frac53=1$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли полный алгоритм и увидели, что каждый определитель имеет своё назначение. Теперь проверим его в парной работе, где важно не только получить числа, но и объяснить замену столбца."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм решения системы с проговариванием каждого шага и взаимной проверкой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки для приёма «Взаимный тренер»: "В каждой паре один ученик объясняет составление определителей, второй выполняет вычисления. Затем поменяйтесь ролями и сравните решение с эталоном на обороте карточки. Решите систему $\begin{cases}3x-2y=4\\x+y=5\end{cases}$." | Распределяют роли, читают условие и выделяют коэффициенты. |
4 мин | Учитель перемещается по классу и задаёт вопросы: "Почему в $\Delta_x$ меняется именно первый столбец? Какой знак получится в определителе? Проверьте, что знаменатель в формулах не равен нулю." | Составляют $\Delta=\begin{vmatrix}3&-2\\1&1\end{vmatrix}$, $\Delta_x=\begin{vmatrix}4&-2\\5&1\end{vmatrix}$, $\Delta_y=\begin{vmatrix}3&4\\1&5\end{vmatrix}$; вычисляют $\Delta=5$, $\Delta_x=14$, $\Delta_y=11$, получают $x=\frac{14}{5}$, $y=\frac{11}{5}$. |
2 мин | Учитель выводит эталон и организует приём «Две звезды и пожелание»: "Проверьте у партнёра порядок определителей и наличие проверки. Назовите две сильные стороны решения и одно конкретное пожелание по записи." | Сверяют решение, формулируют два достоинства и одно исправление, выполняют подстановку в исходную систему. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает, если не нарушать порядок столбцов и контролировать знаки. Теперь каждый самостоятельно покажет, насколько уверенно применяет новый способ."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение метода Крамера и обеспечить коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет дифференциацию: "Выберите карточку по готовности: базовую, повышающую или дополнительную. На любой карточке обязательно оформите четыре шага и проверку. Выбор уровня не влияет на оценку вашей личности, он помогает честно определить текущую точку." | Выбирают уровень и записывают номер выбранной карточки. |
4 мин | Учитель предлагает задания. Базовый уровень: решить $\begin{cases}x+y=6\\2x-y=3\end{cases}$. Повышающий уровень: решить $\begin{cases}4x+3y=11\\2x-y=1\end{cases}$. Дополнительный уровень: исследовать систему $\begin{cases}2x+4y=6\\x+2y=3\end{cases}$ и объяснить результат. | Индивидуально вычисляют определители, находят решение или исследуют условие $\Delta=0$, оформляют проверку либо обоснование особого случая. |
3 мин | Учитель показывает эталон: "Для базовой системы получаем $\Delta=-3$, $\Delta_x=-9$, $\Delta_y=-3$, поэтому $x=3$, $y=3$. Для повышающей системы $\Delta=-10$, $\Delta_x=-4$, $\Delta_y=-2$, поэтому $x=\frac25$, $y=\frac15$. В дополнительной системе $\Delta=0$, $\Delta_x=0$, $\Delta_y=0$: уравнения зависимы, решений бесконечно много. Отметьте ошибочный шаг и исправьте его." | Сверяют каждую строку с эталоном, подчёркивают место ошибки, исправляют вычисления и заполняют лист самооценки. |
Эталон решения
Базовый вариант: $\Delta=1\cdot(-1)-1\cdot2=-3$, $\Delta_x=6\cdot(-1)-1\cdot3=-9$, $\Delta_y=1\cdot3-6\cdot2=-9$; поэтому $x=3$, $y=3$. Проверка: $3+3=6$, $2\cdot3-3=3$. Для дополнительного варианта $\Delta=2\cdot2-4\cdot1=0$, $\Delta_x=6\cdot2-4\cdot3=0$, $\Delta_y=2\cdot3-6\cdot1=0$, следовательно, система имеет бесконечно много решений.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что главный источник ошибок — не сама формула, а неверная замена столбца или знак при вычислении. Осталось систематизировать случаи и проверить, можем ли мы объяснить смысл полученного результата."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (4 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм, осмыслить особые случаи и оценить достижение цели урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно составить три определителя; жёлтую — если затрудняетесь только в вычислениях; красную — если пока не понимаете замену столбцов. Объясните соседу один шаг, который считаете главным." | Поднимают карточки, называют собственную точку затруднения и объясняют партнёру один шаг алгоритма. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что означает условие $\Delta\ne0$? Что можно сказать при $\Delta=0$, если хотя бы один из вспомогательных определителей не равен нулю? Почему проверка необходима даже при использовании формулы?" | Отвечают: "$\Delta\ne0$ гарантирует единственное решение"; "при $\Delta=0$ и ненулевом вспомогательном определителе решений нет"; "проверка обнаруживает ошибки знаков и вычислений". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы не получили формулу в готовом виде, а восстановили её структуру и проверили на разных системах. Зафиксируем итог урока и определим следующий шаг самостоятельной работы."
Этап 8. Домашнее задание и итоговая рефлексия (3 мин)
Цель этапа: зафиксировать индивидуальный результат, объяснить домашнюю работу и завершить урок осмысленной обратной связью.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает «Билет на выход»: "На отдельной строке ответьте на два вопроса: «Какой определитель составляется первым и зачем?» и «Как вы поймёте, что система не имеет единственного решения?» Затем запишите домашнее задание по выбранному уровню." | Письменно отвечают: "Сначала главный определитель из коэффициентов"; "при $\Delta=0$ система не имеет единственного решения". Записывают домашнее задание. |
1 мин | Учитель завершает урок: "Спасибо за точную и самостоятельную работу. Перед выходом проверьте, что в тетради есть формулы, один полный пример и исправления по самостоятельной работе. На следующем уроке мы сравним метод Крамера с матричным способом и обсудим эффективность разных алгоритмов." | Сдают билет на выход или прикрепляют его к доске, сверяют записи и организованно завершают работу. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решена выбранная система, корректно составлены $\Delta$, $\Delta_x$, $\Delta_y$, выполнены вычисления и проверка; для дополнительного задания правильно исследован случай $\Delta=0$.
- «4» — алгоритм выбран верно, но допущена одна вычислительная ошибка или пропущена полная проверка, при этом ход решения и замена столбцов понятны.
- «3» — записана система определителей и выполнена основная часть алгоритма, но допущены две ошибки в вычислениях или не обоснован вывод о числе решений.
- Ниже «3» — отсутствует связное применение метода Крамера, перепутаны определители или решение не позволяет установить ответ.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг метода Крамера теперь можете выполнить без подсказки? | Выявление реально освоенного элемента алгоритма. |
Где возникло затруднение: при составлении определителя, вычислении или проверке? | Выявление конкретной точки затруднения для коррекции. |
Что означает условие $\Delta\ne0$? | Проверка понимания связи вычисления с числом решений. |
Какой уровень домашнего задания выбираете и почему? | Развитие самооценки, ответственности и осознанного выбора сложности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы вывели и применили метод Крамера для систем двух линейных уравнений. Главное — не механически запомнить три формулы, а понимать, какой столбец заменяется и почему условие $\Delta\ne0$ принципиально. Типичная ошибка — потеря знака при вычислении определителя или перестановка строк в одном из них. Проверьте себя по билету на выход и выберите посильный уровень домашней работы. На следующем уроке мы сравним этот метод с другими способами решения систем."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 системы двух линейных уравнений с целыми коэффициентами методом Крамера; для каждой записать $\Delta$, $\Delta_x$, $\Delta_y$ и выполнить проверку подстановкой. | Закрепить полный алгоритм; при проверке обратить внимание на порядок столбцов, знаки и наличие проверки. |
Средний (повышающий) | Решить 4 системы, среди которых должны быть системы с дробными ответами и одна система с $\Delta=0$; определить, имеет ли каждая система единственное решение. | Научиться переносить алгоритм на разные вычислительные ситуации; проверить понимание условия применимости метода. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную практическую задачу на нахождение двух неизвестных, записать соответствующую систему, решить её методом Крамера и объяснить смысл найденных значений. | Развить моделирование, самостоятельное конструирование задачи и аргументацию результата. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как вычисляется определитель второго порядка?», «Какие столбцы заменяются при нахождении $\Delta_x$ и $\Delta_y$?», «Почему при $\Delta=0$ нельзя использовать формулы $x=\frac{\Delta_x}{\Delta}$ и $y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$?», «Каким действием проверяется найденная пара чисел?»
