Решение систем линейных уравнений. Матрица системы линейных уравнений
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться записывать систему линейных уравнений в матричной форме, находить её матрицу и решать системы методом Гаусса, проверяя полученный результат.
- Сформировать представление о матрице системы, расширенной матрице и элементарных преобразованиях строк.
- Научиться применять метод Гаусса к системам двух и трёх линейных уравнений.
- Развивать умение анализировать условие, выбирать рациональный способ решения и аргументировать ход рассуждений.
- Формировать ответственное отношение к математической записи, самопроверке и сотрудничеству при решении задач разного уровня сложности.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность систем уравнений для математического моделирования задач, связанных с будущей профессиональной деятельностью.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать уровень задания и нести ответственность за результат.
- Понимают значение точной записи, последовательности действий и проверки ответа.
- Развивают устойчивую мотивацию к изучению алгебры как основы дальнейшего обучения.
Метапредметные
- Составляют план решения системы и контролируют соответствие промежуточных действий цели.
- Извлекают информацию из формулы и матричной записи, преобразуют её из одной формы в другую.
- Сравнивают способы решения и обосновывают выбор метода Гаусса.
- Работают в паре, формулируют вопросы и аргументированно представляют результат.
- Используют презентацию и цифровую проверку как средства контроля, а не как замену рассуждения.
Предметные
- Знать определения матрицы системы и расширенной матрицы системы линейных уравнений.
- Уметь записывать систему вида $a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n=b_1$ в матричной и табличной формах.
- Уметь выполнять элементарные преобразования строк расширенной матрицы.
- Уметь решать совместные системы методом последовательного исключения неизвестных.
- Уметь распознавать единственное решение, бесконечное множество решений и отсутствие решений по виду преобразованной матрицы.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: освоить матричную запись и алгоритм решения системы.
- Оценивают собственную готовность перейти от знакомого метода подстановки к обобщённому алгоритму.
- Проявляют настойчивость при анализе ошибки и корректируют решение без отказа от задания.
Регулятивные УУД
- Планируют последовательность преобразований расширенной матрицы.
- Фиксируют затруднение и формулируют шаг, необходимый для его преодоления.
- Проверяют вычисления подстановкой найденных значений в исходную систему.
- Сопоставляют результат с критериями и выбирают дальнейший уровень практики.
Познавательные УУД
- Выделяют коэффициенты, свободные члены и неизвестные в системе.
- Моделируют систему с помощью матрицы и расширенной матрицы.
- Анализируют влияние элементарных преобразований строк на множество решений.
- Классифицируют системы по результату метода Гаусса.
- Строят логическое рассуждение от преобразованной строки к выводу о решении.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель, контролёр и докладчик.
- Объясняют партнёру смысл каждого преобразования строки.
- Задают уточняющие вопросы о допустимости преобразований.
- Аргументированно принимают или опровергают предложенное решение.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию из 7–8 слайдов: проблемная система, определения матрицы и расширенной матрицы, алгоритм метода Гаусса, три уровня заданий, ответы для самопроверки и рефлексия.
- Распечатать карточки базового уровня по одной на каждого ученика, повышенного уровня по одной на пару и исследовательского уровня по одной на группу из четырёх человек.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «Я могу записать матрицу», «Я могу выполнить преобразования строк», «Я могу проверить решение».
- Вывести на доску или первый слайд обозначения $A$, $X$, $B$ и запись $AX=B$.
- Подготовить памятку с допустимыми преобразованиями строк: перестановка строк, умножение строки на ненулевое число, прибавление к строке другой строки, умноженной на число.
- Распечатать эталон преобразования расширенной матрицы для самопроверки — по одному экземпляру на парту.
- Подготовить проектор, ноутбук и интерактивную доску; заранее проверить отображение матриц и формул.
- Разделить задания по цветам: зелёный — обязательный минимум, синий — повышенный уровень, фиолетовый — исследовательский уровень.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать необходимость обобщённой записи системы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране систему: $\begin{cases}x+y=5\\2x-y=1\end{cases}$. «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы начнём с уже знакомой системы, но посмотрим на неё глазами математика, который хочет описывать не одну систему, а целый класс подобных задач. Как можно решить эту систему известными способами?» | Записывают систему в тетради, называют подстановку и сложение, предлагают ответ: «$x=2$, $y=3$». |
2 мин | «Представьте, что неизвестных станет три, пять или сто. Записывать каждую систему подробно всё ещё удобно? Сегодня мы выясним, как компактно представить систему с помощью матрицы и как один алгоритм помогает решать системы разного размера». Учитель показывает на слайде вопрос: «Как сохранить всю информацию системы в короткой записи?» | Формулируют гипотезы: «использовать таблицу коэффициентов», «отдельно записать свободные члены», называют цель: «научиться переходить от системы к матрице и решать её преобразованиями». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили знакомую систему и увидели ограниченность привычной записи при увеличении числа неизвестных. Теперь актуализируем элементы, из которых строится матрица системы».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить понятия системы, коэффициента, свободного члена и элементарных преобразований уравнений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на экране систему $\begin{cases}3x-2y+z=7\\x+4y-5z=-2\\2x+y+3z=6\end{cases}$. «Подумайте 30 секунд, затем обсудите с соседом: сколько здесь неизвестных, сколько уравнений, какие числа являются коэффициентами при $x$, $y$, $z$, а какие — свободными членами?» | Индивидуально выделяют коэффициенты, затем обсуждают в парах и называют: «три уравнения, три неизвестных; свободные члены — $7$, $-2$, $6$». |
3 мин | «Вспомним допустимые действия. Можно ли прибавить одно уравнение к другому? Можно ли умножить уравнение на ноль? Почему? Запишите кратко три действия, сохраняющие множество решений». Учитель фиксирует ответы в презентации. | Отвечают: «можно переставлять уравнения, умножать уравнение на ненулевое число, прибавлять к одному уравнению другое, умноженное на число». Обосновывают: «множество решений не изменяется». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, какие данные содержит система и какие преобразования сохраняют её решения. Теперь проверим, как перенести эти данные в матричную запись».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при самостоятельном построении матрицы и сформулировать план открытия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточку с системой $\begin{cases}2x-3y+4z=8\\-x+y+z=0\\3x+2y-z=5\end{cases}$ и просит: «За одну минуту представьте систему в виде таблицы чисел так, чтобы по таблице можно было восстановить все уравнения. Не пользуйтесь пока готовым образцом». | Составляют таблицу коэффициентов $\begin{pmatrix}2&-3&4\\-1&1&1\\3&2&-1\end{pmatrix}$, часть учащихся добавляет столбец свободных членов. |
2 мин | Учитель сравнивает варианты на доске. «Что потеряется, если записать только коэффициенты? Как обозначить столбец свободных членов? Какой должна быть запись, чтобы восстановить исходную систему без догадок?» | Формулируют затруднение: «без свободных членов нельзя восстановить систему». Предлагают план: определить матрицу системы, расширенную матрицу и применить к ней преобразования строк. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Затруднение найдено: одной матрицы коэффициентов недостаточно для полной записи системы. Сформулируем определения и проверим их на конкретном примере».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести определения матрицы системы и расширенной матрицы, освоить алгоритм метода Гаусса.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель демонстрирует на экране систему $\begin{cases}2x-3y+4z=8\\-x+y+z=0\\3x+2y-z=5\end{cases}$. «Матрица системы $A$ состоит только из коэффициентов при неизвестных: $A=\begin{pmatrix}2&-3&4\\-1&1&1\\3&2&-1\end{pmatrix}$. Столбец свободных членов обозначим $B=\begin{pmatrix}8\\0\\5\end{pmatrix}$. Полная запись имеет вид $AX=B$. Расширенная матрица объединяет $A$ и $B$: $\left(\begin{array}{ccc|c}2&-3&4&8\\-1&1&1&0\\3&2&-1&5\end{array}\right)$.» | Записывают определения и обозначения. Отвечают: «матрица системы содержит коэффициенты, расширенная матрица — коэффициенты и свободные члены». |
3 мин | «Метод Гаусса основан на приведении расширенной матрицы к ступенчатому виду. Разрешены три преобразования строк. Рассмотрим систему: $\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y-z=2\end{cases}$. Вычтем из второй строки удвоенную первую, из третьей — первую». Учитель пошагово записывает преобразования. | Следят за соответствием строк и уравнений, фиксируют: $R_2\leftarrow R_2-2R_1$, $R_3\leftarrow R_3-R_1$, получают строки $(0,-3,-1|-9)$ и $(0,1,-2|-4)$. |
3 мин | «Продолжим: прибавим третью строку к второй после удобного выбора ведущей строки. Получаем ступенчатую систему и движемся снизу вверх. Почему нельзя менять только левую часть, забывая последний столбец?» Учитель подчёркивает вертикальную черту. | Объясняют: «свободные члены должны преобразовываться вместе с коэффициентами». Формулируют алгоритм: выбрать ведущий элемент, занулить элементы под ним, перейти к следующему столбцу, выполнить обратную подстановку и проверку. |
Запись в тетрадях
Матрица системы — таблица коэффициентов при неизвестных. Расширенная матрица содержит матрицу системы и столбец свободных членов. Метод Гаусса: последовательное зануление элементов под ведущими элементами с помощью элементарных преобразований строк.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь у нас есть язык матриц и алгоритм преобразований. Проверим новое знание сначала вместе, затем вы выберете уровень самостоятельной работы».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить построение матриц и первые шаги метода Гаусса с взаимной проверкой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: «Запишите матрицу системы и расширенную матрицу для $\begin{cases}4x-y+2z=9\\-2x+3y-z=1\\x+y+z=5\end{cases}$. Один ученик — вычислитель, второй — контролёр по определению». | Записывают $A=\begin{pmatrix}4&-1&2\\-2&3&-1\\1&1&1\end{pmatrix}$ и расширенную матрицу, сверяют расположение свободных членов. |
4 мин | «Теперь выполните первый шаг метода Гаусса: переставьте строки при необходимости и занулите элементы под первым ведущим элементом. Объясните партнёру, почему выбранное преобразование допустимо». Учитель проходит по парам, задаёт вопросы и показывает на экране критерии: сохранены строки, преобразован весь ряд, знаки проверены. | Выполняют преобразования строк, проговаривают их партнёру, исправляют ошибки по принципу «две звезды и пожелание». Несколько пар сообщают: «Мы сначала умножили первую строку на $1/4$, затем занулили элементы под первым ведущим элементом». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы убедились, что матрица — не просто таблица, а компактная запись системы, с которой можно выполнять те же допустимые преобразования. Переходим к индивидуальной работе и выбору уровня».
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (10 мин)
Цель этапа: применить новый алгоритм индивидуально и обеспечить посильную нагрузку для учащихся разного уровня подготовки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Выберите карточку по цвету. Зелёная — обязательный минимум: составить матрицу и решить систему с подсказкой. Синяя — самостоятельное решение системы трёх уравнений. Фиолетовая — исследование числа решений. Выбор уровня — это не оценка ваших способностей, а способ работать с оптимальной сложностью». | Выбирают уровень, подписывают карточку и отмечают в листе самооценки предполагаемый результат. |
5 мин | Учитель индивидуально консультирует. На зелёной карточке: $\begin{cases}x+y=7\\2x-y=2\end{cases}$; на синей: $\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y-z=2\end{cases}$; на фиолетовой: сравнить системы, задаваемые матрицами $\left(\begin{array}{cc|c}1&2&3\\2&4&6\end{array}\right)$ и $\left(\begin{array}{cc|c}1&2&3\\2&4&7\end{array}\right)$. | Решают выбранное задание. На зелёной карточке записывают расширенную матрицу и выполняют одно исключение; на синей доводят матрицу до ступенчатого вида; на фиолетовой делают вывод о бесконечном множестве решений и отсутствии решений. |
4 мин | Учитель выводит на экран эталонные ответы без полного решения: для зелёной карточки $(x,y)=(3,4)$; для синей — результат обратной подстановки; для фиолетовой — «совместная» и «несовместная». «Сверьте не только ответ, но и каждую строку преобразований. Если есть ошибка, красным обозначьте место, где изменился знак или забыли преобразовать свободный член». | Проверяют решение по эталону, подчёркивают место ошибки или ставят знак подтверждения. Заполняют лист: «самостоятельно», «с помощью подсказки» или «нужна консультация». |
Эталон решения
Для зелёной системы: $\left(\begin{array}{cc|c}1&1&7\\2&-1&2\end{array}\right)$. Преобразуем $R_2\leftarrow R_2-2R_1$: $\left(\begin{array}{cc|c}1&1&7\\0&-3&-12\end{array}\right)$. Отсюда $y=4$, затем $x+4=7$, поэтому $x=3$. Проверка: $3+4=7$, $2\cdot3-4=2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Большинство из вас уже выполнило базовый алгоритм, а часть исследовала, как по противоречивой строке определить отсутствие решения. Объединим результаты и обсудим, что именно показывает ступенчатый вид».
Этап 7. Включение в систему знаний и обсуждение (3 мин)
Цель этапа: связать матричную запись с классификацией систем и прежними способами решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Сравним три результата. Если после преобразований появляется строка $0=5$, что это означает? Если появляется строка $0=0$, как это влияет на число решений? Когда метод Гаусса удобнее подстановки?» Учитель фиксирует на доске: противоречие — решений нет; зависимая строка — возможны бесконечные решения; ведущий элемент в каждом столбце неизвестной — единственное решение. | Отвечают: «строка $0=5$ означает несовместность», «строка $0=0$ не добавляет нового ограничения», «метод Гаусса удобен для трёх и более неизвестных». Приводят связь с методом сложения: «это его систематизированная матричная форма». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы не только научились считать, но и увидели, как структура ступенчатой матрицы сообщает число решений. Осталось зафиксировать личный результат и определить следующий шаг».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: оценить освоение алгоритма, выявить затруднения и объяснить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на экране «Билет на выход»: «Запишите одну фразу, продолжив предложение: “Теперь я умею…”, и одну фразу: “Мне нужно потренироваться…”. Затем поднимите зелёную, жёлтую или красную карточку: зелёная — могу решить самостоятельно, жёлтая — нужна проверка, красная — требуется разбор шага». | Заполняют билет на выход, поднимают цветовую карточку и фиксируют конкретное затруднение: «выбор ведущего элемента», «знаки при преобразовании», «классификация решений». |
1 мин | «Домашнее задание имеет три уровня. Обязательный минимум выполняют все; повышающий выбирают те, кто готов к системе из трёх уравнений; дополнительный предлагает исследовать параметр. Важно оформить матрицу, преобразования и проверку». | Записывают выбранный уровень домашнего задания, задают уточняющие вопросы, сдают билет на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы перешли от решения отдельных систем к универсальному алгоритму работы с матрицами. По вашим билетам я определю, какой шаг нужно повторить в начале следующего урока».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно записаны матрица и расширенная матрица, выполнены все преобразования без логических и вычислительных ошибок, найденное решение проверено; для повышенного уровня дан вывод о числе решений.
- «4» — матрицы записаны верно, алгоритм метода Гаусса выбран правильно, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на понимание способа.
- «3» — правильно выделены коэффициенты и свободные члены, выполнен хотя бы один корректный шаг преобразования, но решение не доведено до конца или отсутствует проверка.
- Ниже «3» — перепутаны коэффициенты и свободные члены, преобразования строк не сохраняют исходную систему либо отсутствует связное объяснение действий.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о матрице системы и расширенной матрице? | Проверка осознания ключевых определений и различий между двумя видами записи. |
На каком шаге метода Гаусса возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в алгоритме и планирование коррекции. |
Как вы проверяли, что преобразование строки допустимо? | Проверка понимания сохранения множества решений. |
Какой уровень домашнего задания вы выбрали и почему? | Оценка субъективной готовности и формирование навыка адекватной самооценки. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились видеть в системе уравнений не только набор отдельных равенств, но и матричную структуру. Мы записывали матрицу системы, расширенную матрицу и выполняли преобразования строк, сохраняя множество решений. Самая частая ошибка — преобразовать левую часть строки и забыть о свободном члене, поэтому всегда контролируйте всю строку целиком. На следующем уроке мы продолжим исследовать системы и рассмотрим, как число решений связано с рангом матрицы. Выберите дома такой уровень, на котором сможете не просто получить ответ, а объяснить каждый шаг».»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 2 системы линейных уравнений с двумя неизвестными методом Гаусса; для каждой записать расширенную матрицу, выполнить преобразования строк и сделать проверку подстановкой. | Закрепляет переход от системы к расширенной матрице и базовый алгоритм исключения; при проверке обратить внимание на знаки и преобразование свободных членов. |
Средний (повышающий) | Решить 2 системы из трёх линейных уравнений с тремя неизвестными методом Гаусса; одну систему представить также в виде $AX=B$. | Формирует устойчивое применение алгоритма к трём неизвестным и понимание связи между матричной и обычной записью. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать 2 системы с параметром или с зависимыми строками: привести расширенные матрицы к ступенчатому виду и определить, при каких условиях система имеет единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений. | Развивает анализ структуры матрицы, аргументацию и подготовку к дальнейшему изучению ранга и параметрических систем. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что входит в матрицу системы? Чем она отличается от расширенной матрицы? Какие три преобразования строк допустимы? Что означает строка вида $0=5$? Как проверить найденное решение системы?»
