Матрица. Оператор матрицы
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться распознавать матрицу заданного размера, выполнять умножение матрицы на вектор и описывать действие матрицы как оператора на конкретных векторах, решая не менее 3 из 4 тренировочных заданий.
- Сформировать представление о матрице как прямоугольной таблице чисел, её порядке и элементах.
- Научиться вычислять произведение матрицы на столбец и связывать результат с системой линейных выражений.
- Развивать умение анализировать математическую модель, проверять вычисления и аргументировать выбранный способ решения.
- Показать применение матричного оператора в преобразованиях координат, обработке данных и решении практических задач.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать ценность математического моделирования для дальнейшего обучения и профессиональной деятельности.
- Проявлять познавательную инициативу при исследовании действия матрицы на вектор.
- Понимать значимость точности вычислений и ответственного отношения к проверке результата.
- Формировать готовность к самостоятельному выбору способа представления и анализа данных.
Метапредметные
- Извлекать информацию из матриц, схем и экранной презентации, переводить её в координатную и алгебраическую форму.
- Планировать последовательность умножения матрицы на вектор и осуществлять самопроверку.
- Сравнивать матричную запись с системой линейных выражений и устанавливать их соответствие.
- Формулировать выводы в устной и письменной форме, аргументировать решение при работе в паре.
- Использовать электронную презентацию и интерактивную доску для проверки вычислений и визуализации преобразований.
Предметные
- Знать понятия матрицы, элемента матрицы, размера матрицы, строки и столбца.
- Уметь определять размер матрицы и находить указанный элемент.
- Уметь вычислять произведение матрицы размера $m\times n$ на столбец из $n$ чисел.
- Понимать матрицу как оператор, переводящий один вектор в другой по правилу $A\mathbf{x}=\mathbf{y}$.
- Уметь применять матричный оператор для записи линейных преобразований и проверять полученный результат.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения матриц как языка описания процессов и данных.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа проверки результата.
- Оценивают собственную готовность применять новый математический аппарат.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования действия матрицы на вектор.
- Планируют вычисления по строкам матрицы и контролируют размерности объектов.
- Сверяют результат с эталоном, находят и исправляют вычислительные ошибки.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки матрицы и её размера.
- Устанавливают соответствие между матричной записью и системой линейных выражений.
- Моделируют преобразование координат с помощью матрицы.
- Анализируют ошибочное решение и объясняют место нарушения алгоритма.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают в парах порядок вычисления и формулируют общий вывод.
- Задают уточняющие вопросы о размере матрицы и вектора.
- Аргументируют согласие или несогласие с решением одноклассника.
- Распределяют роли при совместной проверке задания.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с определением матрицы, обозначением $A=(a_{ij})$, примерами матриц размеров $2\times2$, $2\times3$, $3\times1$, алгоритмом умножения и схемой $\mathbf{x}\xrightarrow{A}\mathbf{y}$.
- Подготовить интерактивную доску или проектор, ноутбук и файл презентации; заранее проверить отображение формул.
- Вывести на первый экран проблемный вопрос: «Как одна таблица чисел может задавать преобразование координат?»
- Распечатать карточки трёх уровней по одной на каждого ученика: базовые задания, задания на применение и исследовательское задание.
- Распечатать по одному листу самооценки на каждого ученика и по одной карточке с ошибочным решением на парту.
- Подготовить цветные маркеры или стикеры для приёма «Светофор» и листы для краткой рефлексии.
- Записать на доске обозначения строки, столбца, элемента $a_{ij}$ и общий вид произведения матрицы на вектор.
- Подготовить эталонные ответы к заданиям для демонстрации на последнем этапе и домашнее задание трёх уровней.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследование матрицы как инструмента описания преобразований.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране изображение координатной точки до и после преобразования, а рядом — таблицу чисел $\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$. «Сегодня мы выясним, может ли небольшая таблица чисел управлять изменением координат. Посмотрите на точку $(1;2)$ и её образ $(2;4)$. Как одним правилом описать такой переход?» | Рассматривают изображение, называют предположение: «Каждая координата увеличилась в два раза». Записывают в тетради дату и тему урока. |
2 мин | Учитель использует приём «Проблемный вопрос»: «Почему для преобразования нескольких чисел удобно использовать не отдельные формулы, а матрицу? Какие данные должна содержать такая таблица? Сегодня мы проверим гипотезы вычислением и применением». | Формулируют версии: «Матрица хранит коэффициенты», «матрица задаёт несколько линейных выражений». Определяют личную цель: научиться находить образ вектора. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что таблица чисел может описывать изменение координат. Сначала вспомним, как читать такую таблицу, а затем откроем правило действия матрицы на вектор».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о координатах, линейных выражениях и таблицах чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на экран матрицу $A=\begin{pmatrix}3&-1&0\\2&4&5\end{pmatrix}$. «Определите, сколько в ней строк и столбцов. Как обозначить элемент, стоящий во второй строке и третьем столбце? Не путайте номер строки с номером столбца». | Отвечают: «Две строки и три столбца, размер $2\times3$; элемент второй строки третьего столбца — $a_{23}=5$». Записывают два других элемента: $a_{11}=3$, $a_{21}=2$. |
3 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Запишите систему $y_1=2x_1-x_2$, $y_2=3x_1+4x_2$ в виде одной таблицы коэффициентов. Сначала работайте самостоятельно 30 секунд, затем сравните запись с соседом». | Составляют матрицу $A=\begin{pmatrix}2&-1\\3&4\end{pmatrix}$, обсуждают в парах и объясняют: «Первая строка содержит коэффициенты первого выражения, вторая — второго». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что строки могут соответствовать линейным выражениям, а столбцы — переменным. Теперь выясним, как по матрице и заданному вектору получить значения этих выражений».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить необходимость точного правила умножения матрицы на вектор и сформулировать план открытия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает матрицу $A=\begin{pmatrix}2&-1\\3&4\end{pmatrix}$ и вектор $\mathbf{x}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$. «Нужно получить два новых числа. Как связать первую строку с координатами вектора? А вторую строку? Предложите вычисление и объясните, почему оно естественно». | Предполагают: «Первое число — $2\cdot1-1\cdot2=0$, второе — $3\cdot1+4\cdot2=11$». Замечают, что каждая строка даёт одну координату результата. |
2 мин | Учитель фиксирует на доске план: «Определить размеры объектов; умножить каждую строку на столбец; записать результат столбцом; проверить вычисления. Сформулируйте цель урока своими словами». | Формулируют цель: «Научиться применять матрицу к вектору и понимать её как оператор». Записывают план действий. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Проблема поставлена: нам нужен единый алгоритм, который не зависит от конкретных чисел. Откроем его на примере и затем проверим на разных типах заданий».
Этап 4. Открытие нового знания. Объяснение материала с использованием ИКТ (10 мин)
Цель этапа: сформировать понятия матрицы, её размера и матричного оператора, вывести правило умножения матрицы на вектор.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует на экране слайд с записью $A=(a_{ij})_{m\times n}$. «Матрица — это прямоугольная таблица чисел. Число $m$ показывает количество строк, число $n$ — количество столбцов. Элемент $a_{ij}$ расположен в строке $i$ и столбце $j$. Важно: индексы читаются именно в порядке “строка, столбец”». | Записывают определение и схему: $A=(a_{ij})_{m\times n}$. Подписывают строки и столбцы в изображённой матрице, находят указанные элементы. |
4 мин | Учитель выводит схему произведения: $A\mathbf{x}=\mathbf{y}$, где $A$ имеет размер $m\times n$, $\mathbf{x}$ — $n\times1$, а $\mathbf{y}$ — $m\times1$. «Умножение возможно, если число столбцов матрицы совпадает с числом координат вектора. Каждая координата результата — сумма произведений элементов строки на соответствующие координаты вектора». | Фиксируют условие согласованности размеров. По примеру $A=\begin{pmatrix}2&-1\\3&4\end{pmatrix}$ и $\mathbf{x}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ вычисляют $\mathbf{y}=\begin{pmatrix}0\\11\end{pmatrix}$ и проговаривают действия по строкам. |
3 мин | Учитель объясняет понятие оператора: «Матрица задаёт правило, которое каждому допустимому вектору ставит в соответствие новый вектор. Поэтому матрицу можно рассматривать как оператор. Например, матрица $\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$ растягивает все координаты в два раза». На интерактивной доске учитель перемещает точку $(1;2)$ и показывает образ $(2;4)$. | Формулируют вывод: «Оператор переводит исходный вектор в новый по матричному правилу». Предсказывают образ точек $(2;1)$ и $(-1;3)$ для оператора удвоения: $(4;2)$ и $(-2;6)$. |
Запись в тетрадях
Матрица размера $m\times n$ имеет $m$ строк и $n$ столбцов. Произведение $A\mathbf{x}$ существует, если число столбцов матрицы равно числу координат вектора. Если $A=(a_{ij})_{m\times n}$ и $\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)^T$, то $y_i=a_{i1}x_1+\ldots+a_{in}x_n$. Матрица как оператор переводит $\mathbf{x}$ в $\mathbf{y}$ по правилу $\mathbf{y}=A\mathbf{x}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили правило: строка матрицы взаимодействует со всем столбцом координат. Теперь применим его сначала вместе, проговаривая каждый шаг, а затем самостоятельно».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм умножения матрицы на вектор и научиться проверять размерности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт карточку с заданием: «Вычислите $A\mathbf{x}$, если $A=\begin{pmatrix}1&2\\-2&3\end{pmatrix}$ и $\mathbf{x}=\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}$. Сначала назовите размеры матрицы и вектора, затем вычисляйте по строкам. После решения сравните записи в паре». | Называют размеры $2\times2$ и $2\times1$, выполняют вычисления: первая координата $1\cdot4+2\cdot(-1)=2$, вторая $-2\cdot4+3\cdot(-1)=-11$. Получают $A\mathbf{x}=\begin{pmatrix}2\\-11\end{pmatrix}$. |
3 мин | Учитель показывает ошибочное решение: $\begin{pmatrix}1&2\\-2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+8\\-2-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9\\-5\end{pmatrix}$. «Найдите ошибку не только в ответе, но и в объяснении. Какая операция выполнена неверно?» | В парах отмечают ошибку: вместо умножения элементов строки на координаты вектора использованы числа матрицы без соответствующих множителей. Исправляют решение и формулируют правило проверки. |
Эталон решения
$A\mathbf{x}=\begin{pmatrix}1&2\\-2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot4+2\cdot(-1)\\-2\cdot4+3\cdot(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-11\end{pmatrix}$. В первой строке получаем $2$, во второй — $-11$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Алгоритм работает только при согласованных размерах и требует умножать каждый элемент строки на соответствующую координату вектора. Теперь каждый проверит себя на новом варианте и выберет уровень сложности».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой и применением (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и показать применение оператора в разных типах заданий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель предлагает базовый вариант: «Определите размер матрицы $B=\begin{pmatrix}0&1&-2\\3&4&5\end{pmatrix}$, найдите $b_{23}$ и вычислите $B\mathbf{x}$ при $\mathbf{x}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$. Запишите промежуточные действия». | Определяют размер $2\times3$, находят $b_{23}=5$, вычисляют $B\mathbf{x}=\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}$. |
3 мин | Учитель предлагает задание на перевод модели: «Запишите в матричном виде преобразование $y_1=3x_1+2x_2$, $y_2=-x_1+4x_2$, а затем найдите образ вектора $(2;-1)$». На экране после сигнала появляется эталон. | Записывают $A=\begin{pmatrix}3&2\\-1&4\end{pmatrix}$, вычисляют $A\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-6\end{pmatrix}$, сверяют каждый шаг с эталоном. |
3 мин | Учитель предлагает повышенное исследовательское задание: «Матрица $C=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$. Найдите образы векторов $(1;0)$ и $(0;1)$ и предположите, какое геометрическое преобразование задаёт оператор». Учитель принимает несколько гипотез и показывает координатную схему. | Получают $C\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$ и $C\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}$. Формулируют вывод: «Оператор задаёт поворот на $90$ градусов против часовой стрелки». |
Эталон решения
Для первого задания: $B\mathbf{x}=\begin{pmatrix}0\cdot1+1\cdot0+(-2)\cdot(-1)\\3\cdot1+4\cdot0+5\cdot(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}$. Для второго: $A\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\cdot2+2\cdot(-1)\\-1\cdot2+4\cdot(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-6\end{pmatrix}$. Для третьего задания базисный вектор $(1;0)$ переходит в $(0;1)$, а $(0;1)$ — в $(-1;0)$, что соответствует повороту на $90$ градусов против часовой стрелки.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы применили матрицу в трёх ситуациях: вычислили произведение, восстановили матрицу по линейным формулам и распознали геометрический смысл оператора. Осталось зафиксировать, что получилось и какие шаги требуют дополнительной тренировки».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осмыслить способ действия матрицы, выявить затруднения и дать дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: «Поднимите зелёную карточку, если можете определить размеры и вычислить $A\mathbf{x}$; жёлтую — если алгоритм понятен, но есть вычислительные ошибки; красную — если требуется разбор с учителем. На листе самооценки завершите фразы: “Сегодня я научился…”, “Мне нужно повторить…”». | Поднимают карточки, заполняют два пункта самооценки. Отвечают: «Главное — умножать каждую строку на весь вектор», «труднее всего не перепутать индексы и знаки». |
3 мин | Учитель раздаёт таблицу домашнего задания и говорит: «Выберите обязательный уровень, затем при готовности добавьте повышающий или дополнительный. Перед выходом ответьте устно: при каком условии произведение матрицы на вектор определено? Что делает строка матрицы?» | Записывают выбранный уровень и домашнее задание. Отвечают: «Число столбцов матрицы должно совпадать с числом координат вектора; каждая строка формирует одну координату результата». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня матрица предстала не только таблицей чисел, но и оператором, который преобразует векторы. Проверьте дома не только ответы, но и размерности, промежуточные произведения и знаки».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три задания самостоятельной работы, корректно определены размеры объектов, записаны промежуточные вычисления и дан содержательный вывод о геометрическом операторе.
- «4» — верно выполнены два задания из трёх, либо допущена одна вычислительная ошибка при правильном алгоритме и объяснении действия матрицы.
- «3» — правильно определены размер матрицы и один элемент, начато умножение по строкам, но имеются ошибки в двух или более вычислениях; условие применимости указано с помощью учителя.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о матрице как операторе? | Выявление осознания связи между таблицей коэффициентов и преобразованием вектора. |
Как проверить, что произведение матрицы на вектор вообще определено? | Проверка понимания условия согласованности размеров. |
На каком шаге алгоритма вы чаще всего испытывали затруднение? | Выявление точек затруднения: индексы, знаки, умножение по строкам или запись результата. |
Какое применение матричного оператора показалось наиболее понятным? | Оценка переноса знания в геометрическую и практическую ситуацию. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились читать матрицу, проверять её размер и применять к вектору. Главное правило состоит в том, что каждая строка матрицы задаёт одну координату нового вектора. Типичная ошибка — сложить элементы строки или забыть умножить их на соответствующие координаты. На следующем уроке мы продолжим изучение матриц и рассмотрим операции над ними, сравнивая их свойства с привычными действиями над числами».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания: определить размеры двух заданных матриц и указанные элементы; вычислить произведение двух матриц размера $2\times2$ на заданные столбцы; в каждом решении записать промежуточные произведения по строкам. | Закрепляет чтение матрицы и базовый алгоритм. При проверке обратить внимание на размерности, порядок множителей, знаки и форму столбца-ответа. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 задания: восстановить матрицу по двум линейным формулам; найти образ двух заданных векторов; определить, какая из двух матриц может умножаться на вектор заданного размера, и обосновать ответ. | Развивает перевод между алгебраической и матричной формами. При проверке оценить полноту обоснования условия применимости. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать оператор $C=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$: найти образы векторов $(1;0)$, $(0;1)$ и $(2;-3)$, предположить геометрический смысл преобразования и проверить его на дополнительной точке. | Формирует исследовательское и пространственное мышление. При проверке смотреть на связь вычислений с выводом о преобразовании координат. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют матрицей размера $m\times n$? Как обозначают элемент в строке $i$ и столбце $j$? При каком условии существует произведение $A\mathbf{x}$? Как получить первую координату результата? Почему матрицу называют оператором?»
