Функция, способы задания функции. Область определения и множество значений функции. Нули функции и промежутки знакопостоянства
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся научатся распознавать функцию и определять её способ задания, находить область определения, множество значений, нули и промежутки знакопостоянства по формуле, таблице и графику, объясняя ход рассуждений.
- Сформировать понимание функции как зависимости, при которой каждому допустимому значению аргумента соответствует единственное значение функции.
- Научить определять область определения и множество значений функции, учитывая ограничения в формуле и данные графика.
- Научить находить нули функции и промежутки, на которых функция сохраняет знак, по графику и аналитически.
- Развивать исследовательскую самостоятельность, математическую аргументацию, навыки самопроверки и осознанную подготовку к заданиям повышенного уровня.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую и теоретическую ценность функционального описания зависимостей для дальнейшего обучения и профессионального самоопределения.
- Проявляют готовность самостоятельно проверять корректность математического рассуждения и признавать обнаруженную ошибку.
- Развивают ответственное отношение к результату индивидуальной и групповой исследовательской работы.
- Сохраняют учебную мотивацию при решении задач, требующих нескольких последовательных действий.
Метапредметные
- Извлекают информацию из формулы, таблицы и графика, сопоставляют различные способы представления одной зависимости.
- Формулируют гипотезы, выделяют ограничения и проверяют их подстановкой или анализом графика.
- Планируют решение, фиксируют промежуточные результаты и оценивают соответствие ответа условию.
- Аргументированно представляют решение в паре и участвуют в обсуждении различных способов рассуждения.
Предметные
- Знать определение функции, аргумента, значения функции, области определения и множества значений.
- Уметь различать аналитический, табличный, графический и словесный способы задания функции.
- Уметь находить область определения функций вида $y=\sqrt{x-2}$, $y=\frac{1}{x-3}$ и $y=x^2-4$.
- Уметь находить нули функции и промежутки знакопостоянства по формуле и графику.
- Уметь корректно записывать ответы с использованием промежутков и объединений промежутков.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в достижение цели урока и выбирают уровень сложности задания.
- Осознают значение точности записи области определения и множества значений для дальнейшего изучения функций.
- Проявляют познавательную инициативу при поиске нескольких способов решения.
- Формируют устойчивость к затруднению при исследовании незнакомой зависимости.
Регулятивные УУД
- Самостоятельно формулируют цель после выявления затруднения.
- Планируют алгоритм исследования функции по формуле и графику.
- Осуществляют пошаговый контроль ограничений, найденных нулей и знаков функции.
- Сверяют результат с эталоном, находят и исправляют ошибки в записи промежутков.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки функции и отличают её от произвольного соответствия.
- Сравнивают табличное, графическое и аналитическое представление зависимости.
- Моделируют область определения на числовой прямой и интерпретируют график.
- Устанавливают связь между нулями функции, пересечениями графика с осью абсцисс и сменой знака.
Коммуникативные УУД
- Формулируют точные вопросы о допустимых значениях переменной.
- Объясняют партнёру алгоритм решения, используя математические термины.
- Сравнивают решения и аргументированно выбирают корректное.
- Согласуют общий ответ в группе и корректно реагируют на альтернативную гипотезу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с определением функции, четырьмя способами задания и тремя графиками: парабола, гипербола, график корневой функции.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся класса.
- Подготовить карточки с четырьмя таблицами соответствий, среди которых одна не является функцией.
- Распечатать лист самооценки с пунктами «Я могу определить область определения», «Я могу найти нули», «Я могу установить знак функции».
- Вывести на доску или слайд памятку: знаменатель не равен нулю; выражение под корнем чётной степени неотрицательно; логарифмический аргумент положителен.
- Подготовить координатную сетку и маркеры для групповой работы, по одному комплекту на группу.
- Подготовить эталон решения для самопроверки и отдельный слайд с контрольными вопросами.
- Обеспечить проектор или интерактивную доску, ноутбук, доску, тетради, ручки и линейки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать практическую значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто повторять определения, а исследовать математический объект так, как исследователь изучает зависимость между величинами. Проверьте, что на столе есть тетрадь, ручка и линейка. Настройтесь на точные записи: в теме функций одна неверная граница промежутка может изменить весь ответ." | Проверяют готовность, записывают дату и настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на экране таблицу зависимости: температура воздуха изменяется по часам, а рядом — таблицу, где одному часу соответствуют две температуры. "В каком случае мы можем однозначно узнать температуру по времени? Что нарушено во втором случае? Сегодня выясним, какие требования предъявляются к функции и как её исследовать." | Сравнивают таблицы, формулируют: "Одному значению аргумента должно соответствовать только одно значение функции"; выдвигают предположение о понятии функции. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что функция описывает однозначную зависимость. Теперь восстановим признаки такой зависимости и проверим, умеем ли мы читать её в разных формах."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия переменной, координат, графика и ограничений в выражениях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Индивидуально за тридцать секунд ответьте: что может быть аргументом и что называют значением функции? Затем обсудите ответ с соседом и сформулируйте одно точное предложение." | Формулируют и обсуждают: "Аргумент — независимая переменная, значение функции зависит от аргумента"; две пары сообщают варианты. |
2 мин | Учитель показывает график параболы и спрашивает: "Как по графику найти значение функции при заданном $x$? Как определить, принадлежит ли точка графику?" Учитель фиксирует на доске алгоритм чтения координат точки. | Проводят вертикаль из заданного значения $x$ к графику, считывают координату $y$, называют условие принадлежности точки: координаты удовлетворяют зависимости. |
2 мин | Учитель раздаёт таблицы соответствий: "Отметьте таблицу, которая задаёт функцию. Объясните, почему две другие таблицы не подходят." | Отмечают таблицу, где каждому $x$ соответствует единственное $y$, и объясняют свой выбор. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили однозначность соответствия и чтение графика. Но пока не умеем полно исследовать функцию: находить допустимые значения, нули и участки её положительности. Зафиксируем это затруднение и поставим цель."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и алгоритм исследования функции.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске функции $y=\frac{x+1}{x-2}$ и $y=\sqrt{x-3}$ и спрашивает: "Можно ли подставить любое число вместо $x$? Какие значения запрещены? Как понять по графику, где функция положительна? Запишите возникшие вопросы в тетради." | Находят затруднение: в дробной функции нельзя допускать нулевой знаменатель, в корневой подкоренное выражение должно быть неотрицательным; задают вопросы о нулях и знаках. |
2 мин | Учитель предлагает приём "Снежный ком": "Сначала каждый запишите три действия для исследования функции. Объединитесь в пары, затем в группы по четыре человека и составьте общий алгоритм из четырёх–пяти шагов." | Составляют варианты: определить допустимые $x$, найти значения $y$, нули, знак, изобразить ответ на числовой прямой; выбирают общий порядок. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Наша цель — научиться исследовать функцию по разным представлениям. Начнём с того, как функция может быть задана, а затем выведем общий алгоритм."
Этап 4. Открытие нового знания (11 мин)
Цель этапа: сформировать понятия способов задания функции, области определения, множества значений, нулей и промежутков знакопостоянства.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает четыре представления одной зависимости: словесное описание, таблицу, формулу и график. "Функция может быть задана словесно, таблично, аналитически и графически. Посмотрите, какую информацию даёт каждый способ. Какой способ удобнее для вычисления, какой — для определения промежутков знакопостоянства?" | Записывают четыре способа задания, сопоставляют их возможности: по формуле удобно вычислять, по графику — видеть область значений, нули и знак. |
3 мин | Учитель записывает определения: "Область определения — все допустимые значения аргумента. Множество значений — все значения функции. Нулём функции называют значение аргумента, при котором $f(x)=0$. Промежутки знакопостоянства — промежутки, на которых функция сохраняет положительный или отрицательный знак." | Записывают определения, задают уточняющие вопросы, выделяют в определении нуля именно значение $x$, а не значение функции. |
3 мин | Учитель разбирает ограничения: "Для функции $y=\sqrt{x-2}$ потребуем $x-2\geq 0$, поэтому $D(y)=[2;+\infty)$. Для $y=\frac{1}{x+3}$ знаменатель не равен нулю, поэтому $D(y)=(-\infty;-3)\cup(-3;+\infty)$." | Решают неравенства ограничений, записывают области определения и объясняют появление объединения промежутков. |
2 мин | Учитель показывает график функции и комментирует: "Нули — точки пересечения с осью $Ox$. Где график выше оси, функция положительна; где ниже — отрицательна. Точки нулей разбивают числовую ось на промежутки, но знак обязательно проверяем на каждом промежутке." | По графику называют нули, интервалы положительности и отрицательности, формулируют связь положения графика с знаком функции. |
Запись в тетрадях
Учащиеся записывают определения функции, области определения, множества значений, нуля функции и промежутков знакопостоянства, а также памятку: «знаменатель не равен нулю; подкоренное выражение чётной степени неотрицательно; нули находят из уравнения $f(x)=0$».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть язык и алгоритм исследования. Проверим его сначала вместе на простом примере, проговаривая каждое действие и его основание."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: применить новый алгоритм к функции, заданной формулой, и сопоставить результат с графиком.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает задачу: "Исследуйте функцию $y=x^2-4$: найдите область определения, множество значений, нули и промежутки знакопостоянства." Учитель ведёт эвристическую беседу: "Какие ограничения есть у многочлена? Где парабола имеет вершину? Как решить уравнение нулей? Что происходит со знаком между и вне нулей?" | Решают в парах, проговаривают: $D(y)=(-\infty;+\infty)$; $E(y)=[-4;+\infty)$; $x^2-4=0$, поэтому $x=-2$ и $x=2$; функция положительна на $(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)$ и отрицательна на $(-2;2)$. |
3 мин | Учитель предлагает взаимопроверку: "Обменяйтесь тетрадями. Проверьте четыре позиции по эталону на экране. Особое внимание уделите скобкам и тому, что нули — это значения аргумента." | Сверяют решение, отмечают совпадения и ошибки, формулируют партнёру две сильные стороны и одно пожелание по приёму "Две звезды и пожелание". |
Эталон решения
Для $y=x^2-4$ ограничений нет: $D(y)=(-\infty;+\infty)$. Так как $x^2\geq 0$, минимальное значение функции равно $-4$, поэтому $E(y)=[-4;+\infty)$. Нули: $x^2-4=0$, $(x-2)(x+2)=0$, значит, $x=-2$ и $x=2$. По знаку произведения функция положительна на $(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)$ и отрицательна на $(-2;2)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы применили алгоритм к параболе и увидели, что формула позволяет найти все основные характеристики. Теперь каждый проверит себя на новой функции без пошаговой подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и обеспечить дифференциацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и объясняет выбор: "Базовый уровень обязателен для всех. Если вы уверенно справились, можно выполнить повышенный или дополнительный пункт. Работайте самостоятельно, записывайте основания каждого ограничения." | Выбирают карточку, записывают фамилию и начинают работу. |
5 мин | Учитель предлагает задания. Базовый: для $y=\sqrt{x+1}$ найти область определения и нули. Повышенный: для $y=\frac{x-2}{x+1}$ найти область определения, нуль и промежутки знакопостоянства. Дополнительный: по графику рациональной функции определить $D(y)$, $E(y)$, нули и знаки. | Решают индивидуально. Для базового задания получают $D(y)=[-1;+\infty)$ и нуль $x=-1$; для повышенного исключают $x=-1$, находят нуль $x=2$ и исследуют знаки на трёх промежутках. |
3 мин | Учитель выводит эталон и проводит самопроверку: "Поставьте плюс рядом с верным шагом, вопросительный знак — рядом с сомнительным. Исправление выполняйте другим цветом. Ошибка не является неудачей: она показывает, какой шаг нужно уточнить." | Сверяют каждую позицию, исправляют ошибки, заполняют лист самооценки и при необходимости отмечают вопрос учителю. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что основной алгоритм уже работает. Осталось объединить отдельные действия в систему и проверить, умеем ли мы объяснить результат языком графика."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм исследования функции и осознать личный результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует приём "Одноминутка": "За одну минуту составьте памятку из пяти шагов исследования функции. Не переписывайте определения целиком — выберите действия, которые помогут решить задачу." | Записывают: определить область определения, найти множество значений, решить $f(x)=0$, определить знаки на промежутках, оформить ответ и проверить по графику. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы классу: "Что показывает пересечение графика с осью $Ox$? Может ли нуль функции не входить в область определения? Почему область значений не всегда совпадает с областью определения?" | Отвечают: "Пересечение с осью $Ox$ показывает нуль"; "нет, нуль должен принадлежать области определения"; "аргумент и значение функции — разные множества". |
1 мин | Учитель просит поднять карточку светофора и говорит: "Зелёный — могу исследовать функцию самостоятельно, жёлтый — нужен пример, красный — нужна помощь с конкретным шагом. На выходе запишите один вопрос, который хотите проверить дома." | Показывают карточки, формулируют личный вопрос и сдают билет на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились видеть за формулой структуру функции: допустимые аргументы, возможные значения, нули и знаки. Дома закрепите алгоритм, а на следующем уроке применим его к более сложным функциям и исследованию графиков."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные пункты самостоятельной работы, корректно найдены ограничения, нули и промежутки знакопостоянства, ответы записаны с правильными скобками и приведено обоснование.
- «4» — выполнено не менее 80% задания, допущена одна неточность в записи или обосновании, но алгоритм исследования выбран правильно.
- «3» — выполнена базовая часть, найдена область определения или нули, однако допущены ошибки при определении множества значений либо знаков функции.
- Ниже «3» — ответ содержит существенные ошибки в понимании области определения и нулей; требуется повторная работа по алгоритму с опорой на эталон.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о различии области определения и множества значений? | Проверка осознания двух базовых характеристик функции. |
Какой шаг алгоритма исследования функции оказался самым трудным? | Выявление точек затруднения для последующей коррекции. |
Почему нули функции находят из уравнения $f(x)=0$? | Проверка связи формулы, графика и определения нуля. |
Какое задание вы готовы решить самостоятельно на следующем уроке? | Оценка субъективной готовности и учебной мотивации. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы рассмотрели функцию как однозначную зависимость и научились исследовать её по формуле, таблице и графику. Особенно внимательно следите за различием между нулём функции и нулевым значением функции: нуль функции — это значение аргумента. Типичная ошибка — забыть исключить недопустимое значение из области определения или неверно поставить скобку в промежутке. На следующем уроке мы продолжим исследование функций и будем связывать свойства формулы с преобразованиями графиков."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания: для двух функций найти область определения, для одной — множество значений по графику, для одной — нули функции. Использовать функции линейного, квадратного и корневого типа. | Закрепить базовые понятия и правильную запись ответов; при проверке смотреть на ограничения и различие между аргументом и значением функции. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на полное исследование функций вида $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ и $y=x^2+px+q$: область определения, множество значений, нули и промежутки знакопостоянства. | Отработать полный алгоритм и связь между разложением на множители, нулями и знаками; проверить корректность границ промежутков. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить функцию, имеющую область определения $(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$, один нуль и разные знаки на двух промежутках, затем обосновать результат формулой и эскизом графика. | Развить исследовательское и креативное мышление, научиться конструировать пример по заданным свойствам и аргументировать его корректность. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что такое область определения функции? Чем она отличается от множества значений? Как найти нули функции? Что показывает знак функции на графике? Какие ограничения возникают у дробного выражения и корня чётной степени?»
