Функция: область определения, множество значений, способы задания
Цели и задачи
- Цель урока: к концу занятия научиться определять область определения и множество значений функции, распознавать основные способы её задания и обосновывать выводы по формуле, графику и таблице.
- Сформировать представление об области определения и множестве значений как о характеристиках функциональной зависимости.
- Научиться находить область определения функции по формуле с учётом ограничений на переменную.
- Научиться определять множество значений функции по графику и простейшим формулам.
- Развивать умение исследовать математический объект, аргументировать решение и проверять его на согласованность с графиком.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение функционального языка для изучения процессов в математике, естественных науках и будущей профессиональной деятельности.
- Проявляют познавательную инициативу при исследовании разных способов задания одной функции.
- Формируют ответственное отношение к точности записи математических условий и ограничений.
- Осознают необходимость самопроверки решения перед использованием результата.
Метапредметные
- Извлекают информацию о функции из формулы, таблицы и графика.
- Сравнивают разные способы задания функции и устанавливают соответствия между ними.
- Планируют последовательность исследования функции и корректируют решение при обнаружении ошибки.
- Аргументируют выводы в устной и письменной форме, используют математическую терминологию.
- Применяют цифровые средства или графические модели для проверки гипотез.
Предметные
- Знать определения функции, области определения и множества значений.
- Уметь находить область определения функций, содержащих дробь, корень или логарифм в простейших случаях.
- Уметь определять множество значений по графику и для линейной функции на заданном промежутке.
- Уметь распознавать табличный, графический, аналитический и словесный способы задания функции.
- Владеть навыком записи ответа с использованием промежутков и объединения промежутков.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную значимость изучения функций для дальнейшего обучения и решения практических задач.
- Проявляют готовность к самостоятельному выбору способа проверки математической гипотезы.
- Оценивают собственный уровень понимания терминов и алгоритмов.
- Сохраняют учебную мотивацию при работе с заданиями повышенной сложности.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования функции и планируют действия для её достижения.
- Контролируют соблюдение ограничений при нахождении области определения.
- Сверяют полученный результат с графиком, таблицей или условием задачи.
- Обнаруживают и исправляют ошибку в записи промежутков или неравенств.
- Оценивают результат по предложенным критериям.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки функции, области определения и множества значений.
- Моделируют функциональную зависимость таблицей, графиком и формулой.
- Устанавливают причинно-следственную связь между ограничениями формулы и областью определения.
- Сравнивают способы задания функции и классифицируют их.
- Формулируют вывод на основе анализа нескольких представлений одного объекта.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре, распределяя роли вычислителя и эксперта по проверке.
- Формулируют уточняющие вопросы к решению одноклассника.
- Аргументируют выбор области определения и множества значений.
- Корректно принимают замечания и предлагают способ исправления ошибки.
- Представляют результат исследования классу в сжатой математической форме.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с четырьмя представлениями функции: формулой, таблицей, графиком и словесным описанием.
- Вывести на доску определения функции, области определения и множества значений, оставив пропуски для совместного заполнения.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить отдельные мини-карточки с графиками функций и карточки с их формулами — по одному комплекту на пару.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «Я могу определить область определения», «Я могу найти множество значений», «Я различаю способы задания».
- Подготовить маркеры, стикеры трёх цветов и таймер на 3–5 минут.
- Проверить готовность проектора, компьютера и интерактивной доски; при необходимости подготовить графический калькулятор или динамическую математическую модель.
- Распечатать эталон для самостоятельной работы — по одному экземпляру на ученика или вывести его на экран после выполнения.
- На доске заранее записать задания для актуализации: $y=2x+1$, $y=\frac{1}{x-3}$, $y=\sqrt{x+2}$.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать практическую значимость характеристик функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто выполнять преобразования, а исследовать функцию как математический объект. Проверьте, что на столе есть тетрадь, ручка и калькулятор или устройство для построения графика. В течение урока вы будете не только получать ответы, но и обосновывать, почему именно такие значения переменной допустимы." | Проверяют готовность к уроку, записывают дату и готовят тетради. |
2 мин | Учитель показывает на экране зависимость времени движения автомобиля от пройденного расстояния и спрашивает: "Какие значения расстояния имеют смысл? Может ли время быть отрицательным? Всегда ли функция принимает все возможные значения? Сегодня мы выясним, как отвечать на такие вопросы строго, используя область определения и множество значений." | Формулируют предположения: "Расстояние неотрицательно", "время не может быть отрицательным", "набор допустимых значений зависит от ситуации". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что формула сама по себе не исчерпывает смысл функции. Теперь проверим, какие знания уже помогут нам определить допустимые значения переменной."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятие функции и правила ограничений для выражений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает три записи и говорит: "Рассмотрите функции $y=2x+1$, $y=\frac{1}{x-3}$ и $y=\sqrt{x+2}$. Подумайте индивидуально 30 секунд, затем обсудите с соседом: при каких значениях $x$ формулы имеют смысл? Приём называется «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | Индивидуально отмечают ограничения, затем обсуждают их в парах. |
3 мин | Учитель просит пары назвать основания ответа и фиксирует на доске: "Для дроби знаменатель не равен нулю, для квадратного корня подкоренное выражение неотрицательно. Объясните, почему для первой функции ограничений нет. Как связаны эти условия с понятием функции?" | Отвечают: "Для $y=2x+1$ допустимо любое действительное $x$"; "Для второй функции $x\ne3$"; "Для третьей $x\ge-2$". Обосновывают ответы через область допустимых значений выражения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем находить допустимые значения переменной в отдельных выражениях. Теперь уточним, как назвать весь такой набор и чем он отличается от набора значений самой функции."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и совместно определить план исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на экран график функции $y=x^2$ и спрашивает: "По графику назовите все значения $x$, которые участвуют в построении, и все значения $y$, которые получаются. Совпадают ли эти два множества? Можно ли определить их только по одной точке графика?" | Рассматривают график и предполагают: "Значения $x$ и $y$ различаются"; "нужно исследовать график целиком". |
2 мин | Учитель предлагает приём «Снежный ком»: "Сначала каждый запишите, что нужно узнать. Затем объединитесь в пары, выберите два главных вопроса и сформулируйте общий план. Нам важно выяснить определения, способы задания и алгоритм нахождения характеристик." | Записывают вопросы, обсуждают их в парах и формулируют план: определить термины, узнать способы задания, научиться находить область определения и множество значений, проверить себя. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема сформулирована: по разным представлениям функции нужно определить два множества. Переходим к открытию нового знания и запишем точные определения."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать понятия области определения, множества значений и способов задания функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель обращается к классу: "Запишите: область определения функции — множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция определена. Обозначают его $D(f)$. Множество значений функции — множество всех значений $y$, которые принимает функция при $x\in D(f)$; обозначают $E(f)$. Подчеркните различие: область определения относится к аргументу, множество значений — к результату." | Записывают определения, выделяют слова «аргумент», «допустимые значения», «значения функции». |
3 мин | Учитель показывает четыре карточки: формулу $y=2x-1$, таблицу пар значений, график и словесное описание «каждому времени наблюдения соответствует измеренная температура». Учитель спрашивает: "Какие способы задания функции представлены? Может ли одна функция быть задана несколькими способами?" | Называют аналитический, табличный, графический и словесный способы. Формулируют вывод: "Одну и ту же зависимость можно представить разными способами". |
4 мин | Учитель проводит эвристическую беседу: "Рассмотрим $y=\frac{1}{x-3}$. Какое условие появляется? Теперь рассмотрим $y=\sqrt{2x+4}$. Какое неравенство нужно решить? Почему найденное множество является областью определения, а не множеством значений?" Учитель пошагово фиксирует алгоритм: найти ограничения, решить их, записать ответ в обозначениях промежутков. | Решают условия $x-3\ne0$, поэтому $D(f)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty)$; $2x+4\ge0$, поэтому $D(f)=[-2;+\infty)$. Объясняют, что анализируется допустимость аргумента. |
Запись в тетрадях
Записать определения области определения и множества значений; перечислить аналитический, табличный, графический и словесный способы задания функции; оформить алгоритм: 1) найти ограничения на $x$; 2) решить систему условий; 3) записать область определения; 4) для множества значений исследовать формулу или график.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть язык и алгоритм исследования. Следующий шаг — проверить новые понятия на коротких заданиях и научиться объяснять каждый ответ, а не только записывать промежуток."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить различение области определения и множества значений на примерах формулы и графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам карточки с заданиями: "Для функции $f(x)=\sqrt{5-x}$ найдите область определения. Для функции $g(x)=2x+3$ при $x\in[-1;4]$ найдите множество значений. Запишите не только ответ, но и условие, из которого он получен." | В парах решают задания: $5-x\ge0$, поэтому $D(f)=(-\infty;5]$; для линейной функции вычисляют $g(-1)=1$, $g(4)=11$, получают $E(g)=[1;11]$. |
2 мин | Учитель предлагает взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками. Приём «Две звезды и пожелание»: отметьте два корректных элемента и один момент, который требует уточнения. Особое внимание уделите скобкам в записи промежутка." | Проверяют решение соседней пары, отмечают наличие условия, преобразований и правильных скобок, формулируют замечание. |
2 мин | Учитель показывает график параболы $y=x^2-2$ и спрашивает: "Не выполняя вычислений для каждой точки, определите область определения и множество значений. Как график подсказывает ответ?" | Отвечают: "$D(f)=(-\infty;+\infty)$, так как график продолжается влево и вправо; $E(f)=[-2;+\infty)$, потому что наименьшее значение равно $-2$". |
Эталон решения
Для $f(x)=\sqrt{5-x}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $5-x\ge0$, откуда $x\le5$. Следовательно, $D(f)=(-\infty;5]$. Для $g(x)=2x+3$ на отрезке $[-1;4]$ функция возрастает, поэтому минимальное значение достигается при $x=-1$: $g(-1)=1$, максимальное — при $x=4$: $g(4)=11$. Значит, $E(g)=[1;11]$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились находить характеристики по формуле и графику. Теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли применять алгоритм и отличать область определения от множества значений."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и организовать самоконтроль.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и говорит: "Выберите уровень, который соответствует вашей уверенности. Минимум выполняют все; задания базового и повышенного уровня можно выбрать дополнительно. Работайте самостоятельно, решения оформляйте полностью." | Выбирают карточку и записывают выбранный уровень. |
6 мин | Учитель предлагает задания. Минимум: найти область определения $y=\frac{3}{x+2}$. Базовый: найти область определения $y=\sqrt{2x-6}$ и множество значений функции $y=-x+4$ при $x\in[1;3]$. Повышенный: по графику функции с вершиной $(-2;-5)$, ветвями вверх и областью определения $[-6;3]$ определить множество значений. | Решают индивидуально, записывают условия и ответы. Для минимума получают $D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)$; для базового задания $D=[3;+\infty)$, $E=[1;3]$. |
3 мин | Учитель выводит эталон и говорит: "Проверьте решение по шагам: ограничение, преобразование, запись множества. Если обнаружили ошибку, зачеркните только неверный фрагмент и рядом запишите исправление. Затем поставьте себе знак: зелёный — всё верно, жёлтый — есть одна исправимая ошибка, красный — нужен разбор." | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки, отмечают цвет самооценки и формулируют причину затруднения. |
Эталон решения
Для $y=\frac{3}{x+2}$ знаменатель не равен нулю: $x+2\ne0$, поэтому $x\ne-2$ и $D(y)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)$. Для $y=\sqrt{2x-6}$ требуется $2x-6\ge0$, откуда $x\ge3$ и $D(y)=[3;+\infty)$. Для $y=-x+4$ на $[1;3]$: $y(1)=3$, $y(3)=1$, функция убывает, поэтому $E(y)=[1;3]$. В задании по графику минимальное значение равно $-5$, следовательно, $E(f)=[-5;+\infty)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм работает, но точность зависит от каждого шага. В конце урока проверим, можете ли вы объяснить способ задания функции и сформулировать личный вывод."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: обобщить изученное, выявить затруднения и определить содержание дальнейшей самостоятельной работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу и говорит: "Заполните в тетради короткий билет на выход: запишите, чем область определения отличается от множества значений, и приведите один способ задания функции. Затем ответьте: какое условие вы проверяете первым в дробной функции?" | Пишут ответы: "Область определения — допустимые значения $x$, множество значений — получаемые значения $y$"; называют аналитический, табличный, графический или словесный способ; указывают проверку знаменателя на ненулевое значение. |
2 мин | Учитель предлагает лист самооценки: "Отметьте, что вы уже можете сделать уверенно, а рядом запишите один вопрос, который нужно разобрать. Поднимите зелёную, жёлтую или красную карточку." | Заполняют лист самооценки, показывают карточку, формулируют затруднение одним предложением. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите уровень по таблице на доске. В каждом варианте обязательно записывайте ограничения и проверяйте ответ по графику или здравому смыслу, если это возможно." | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы, уточняют условия задания. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы различили область определения и множество значений, увидели четыре способа задания функции и применили алгоритм к формуле и графику. На следующем уроке будем исследовать свойства функций и использовать эти характеристики для построения и анализа графиков."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания и не менее одного задания повышенного уровня; корректно записаны ограничения, преобразования и промежутки; область определения не перепутана с множеством значений.
- «4» — верно выполнены обязательные задания, но допущена одна неточность в обосновании, вычислении или записи скобок, исправленная при самопроверке.
- «3» — верно выполнено не менее двух обязательных пунктов, понятен общий алгоритм, но есть ошибки в решении неравенства или определении множества значений.
- Оценка не выставляется автоматически по одному ответу: учитываются полнота рассуждения, математическая запись и способность исправить ошибку по эталону.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали об области определения и множестве значений функции? | Выявление осознания ключевых понятий урока. |
Какое условие вы проверяете первым в функции с дробью или корнем? | Проверка понимания алгоритма нахождения области определения. |
Какое задание оказалось самым сложным и на каком шаге возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в рассуждении и записи промежутков. |
Каким способом вы проверили правильность своего ответа? | Формирование навыка самоконтроля и выбора средства проверки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы заложили основу исследования любой функции: научились отделять допустимые значения аргумента от значений результата. Особенно внимательно следите за ограничениями в знаменателе и подкоренном выражении, а также за скобками в записи промежутков. Формула, таблица и график описывают один объект с разных сторон, поэтому полезно проверять вывод несколькими способами. На следующем уроке мы продолжим исследование функций и свяжем их характеристики с преобразованием графиков."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на нахождение области определения функций: две дробные, одну с квадратным корнем и одну составную с дробью и корнем. В каждом решении записать ограничение на аргумент и ответ в виде промежутка или объединения промежутков. | Закрепить алгоритм поиска ограничений и аккуратную запись области определения; при проверке смотреть на обоснование и скобки. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на нахождение множества значений: по графику, по линейной формуле на заданном отрезке и по простой квадратичной функции с использованием её наименьшего значения. | Научиться извлекать множество значений из разных представлений функции и связывать ответ с графиком. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственный пример функции, заданной двумя способами, например формулой и таблицей, указать её область определения и множество значений на выбранном промежутке, а затем кратко объяснить, почему оба представления согласованы. | Развивать исследовательскую инициативу, умение создавать математическую модель и аргументировать корректность результата. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что называют областью определения функции? Чем она отличается от множества значений? Какие четыре способа задания функции вы знаете? Какое ограничение возникает у дробного выражения? Какое условие нужно записать для квадратного корня?»
