Функция $y=\sqrt[n]{x}$: свойства и графики
Цели и задачи
- Цель урока: к концу урока научиться определять область определения и область значений функции $y=\sqrt[n]{x}$, устанавливать её свойства и строить графики при чётном и нечётном натуральном $n$.
- Образовательная задача: сформулировать свойства функции $y=\sqrt[n]{x}$ и научиться обосновывать их с опорой на определение арифметического корня.
- Развивающая задача: развивать умение сравнивать графики, выявлять закономерности по таблице значений и формулировать математические гипотезы.
- Метапредметная задача: совершенствовать навыки парной работы, интерпретации графиков и использования цифрового инструмента для проверки построений.
- Воспитательная задача: формировать ответственное отношение к точности математических рассуждений и осознанную связь алгебры с будущим обучением в технических, естественно-научных и экономических областях.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать значение функциональной грамотности для дальнейшего обучения и профессионального самоопределения.
- Проявлять познавательную мотивацию при исследовании зависимости между показателем корня и видом графика.
- Принимать необходимость проверки гипотез и корректного оформления математического ответа.
- Оценивать собственный прогресс и причины затруднений при работе с графиками.
Метапредметные
- Извлекать информацию из формулы, таблицы значений и графического изображения.
- Сравнивать свойства функций при чётном и нечётном показателе корня и делать обоснованный вывод.
- Планировать последовательность построения графика и проверять результат с помощью цифрового инструмента.
- Формулировать ответ в паре, аргументировать вывод и корректно воспринимать замечания одноклассника.
Предметные
- Знать определение функции $y=\sqrt[n]{x}$ и различие между чётным и нечётным показателем корня.
- Уметь находить область определения и область значений функции $y=\sqrt[n]{x}$.
- Уметь характеризовать монотонность, нули, знак и симметрию графика функции.
- Уметь строить графики функций $y=\sqrt{x}$, $y=\sqrt[3]{x}$ и использовать их как базовые графики для анализа более сложных функций.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный результат на уроке и соотносят его с будущими образовательными задачами.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа проверки графика.
- Осознают ценность точного математического языка и доказательного рассуждения.
- Сохраняют учебную мотивацию при возникновении затруднения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования функции и планируют этапы её достижения.
- Контролируют соответствие построенного графика найденной области определения.
- Сверяют решение с эталоном и находят причину ошибки.
- Оценивают степень освоения алгоритма и намечают способ коррекции.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные свойства функции по её формуле.
- Устанавливают зависимость области определения от чётности показателя корня.
- Строят таблицу значений, графическую модель и объясняют связь между ними.
- Проводят сравнение и классификацию функций $y=\sqrt{x}$ и $y=\sqrt[3]{x}$.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре при исследовании графика.
- Задают уточняющие вопросы и формулируют аргументированный ответ.
- Сопоставляют собственный вывод с выводом партнёра.
- Корректно сообщают об ошибке и предлагают способ её исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с формулами $y=\sqrt{x}$ и $y=\sqrt[3]{x}$, таблицами значений, вопросом-проблемой и эталоном свойств.
- Подготовить проектор, компьютер учителя и интерактивную доску; заранее открыть графический онлайн-калькулятор или динамическую математическую среду.
- Распечатать карточки для парной работы двух вариантов — по одной на каждую пару.
- Распечатать лист самооценки и билет на выход — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить цветные маркеры или стикеры двух цветов для фиксации гипотез и итоговых выводов.
- Вывесить на доске памятку: «область определения — область значений — монотонность — нули — знак — симметрия».
- Подготовить координатную сетку на экране и индивидуальные заготовки координатных плоскостей для построения графиков.
- Подготовить связь с физикой и информатикой: примеры зависимостей, где используются корневые зависимости и графическое моделирование.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и сформулировать личную учебную задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране два графика без подписей: один начинается в точке $(0;0)$ и расположен в первой четверти, второй проходит через начало координат и имеет ветви в первой и третьей четвертях. Учитель говорит: "Сегодня мы будем не просто строить графики, а выясним, как показатель корня меняет область существования функции и её поведение. Посмотрите на экран и предположите, какие формулы могли породить эти графики." | Рассматривают графики, выдвигают предположения: «Это могут быть $y=\sqrt{x}$ и $y=\sqrt[3]{x}$». Записывают тему урока. |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала 30 секунд сформулируйте индивидуально, чем, по вашему мнению, будут отличаться функции с чётным и нечётным показателем корня. Затем обсудите гипотезу с соседом и выберите один аргумент для класса." | Индивидуально формулируют гипотезу, затем обсуждают её в парах и сообщают варианты: «при чётном корне подкоренное выражение неотрицательно», «при нечётном корне допустимы любые действительные числа». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Гипотезы зафиксированы. Теперь проверим их не на отдельных примерах, а через свойства функции и её график."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о корне, области определения и базовых свойствах функций.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на экран выражения $\sqrt{16}$, $\sqrt[3]{-8}$, $\sqrt[4]{-16}$ и спрашивает: "Назовите значения первых двух выражений. Почему третье выражение не имеет значения среди действительных чисел? Сформулируйте правило для чётного и нечётного показателя корня." | Вычисляют и отвечают: «$\sqrt{16}=4$, $\sqrt[3]{-8}=-2$; корень чётной степени из отрицательного числа в действительных числах не определён». Формулируют правило. |
3 мин | Учитель предлагает устно определить допустимые значения переменной: "Рассмотрите функции $y=\sqrt{x-2}$ и $y=\sqrt[3]{x-2}$. Какие ограничения возникают в первом случае? Есть ли они во втором? Объясните ответ, а не только назовите промежуток." | Записывают: для $y=\sqrt{x-2}$ требуется $x\ge2$, для $y=\sqrt[3]{x-2}$ допустимо любое $x\in\mathbb R$. Обосновывают ответ через определение корня. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что чётность показателя корня сразу влияет на допустимые значения аргумента. Теперь превратим это наблюдение в общие свойства функций."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при попытке описать свойства функции без построения графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает проблемное задание: "Попробуйте без построения полного графика описать функцию $y=\sqrt[n]{x}$ при $n=2$ и при $n=3$: область определения, область значений, промежутки монотонности и симметрию. Какие пункты можно утверждать сразу, а для каких нужно исследование?" | Называют известные свойства и фиксируют затруднение: «область определения определить легко, но симметрию и вид графика нужно проверить». Записывают вопросы исследования. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос: "Какой план позволит получить надёжный вывод? Предлагаю проверить несколько значений, построить точки, сравнить графики цифровым инструментом и затем сформулировать общий вывод. Согласны ли вы с таким планом?" | Формулируют цель: «исследовать свойства функции $y=\sqrt[n]{x}$ при чётном и нечётном $n$ и научиться строить её график». Принимают план: таблица — график — свойства — проверка. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы определили, что сегодня должны перейти от отдельных вычислений к общему описанию функции. Начнём с двух базовых случаев — квадратного и кубического корня."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Открытие нового знания и исследование графиков (10 мин)
Цель этапа: вывести свойства функций $y=\sqrt{x}$ и $y=\sqrt[3]{x}$ через таблицу значений и графическую модель.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с таблицами для функций $y=\sqrt{x}$ и $y=\sqrt[3]{x}$. Говорит: "В первой строке отметьте допустимые значения $x$, во второй вычислите соответствующие значения $y$. Для квадратного корня удобно взять $x=0,1,4,9$, а для кубического — $x=-8,-1,0,1,8$. Один ученик в паре вычисляет, второй проверяет, затем поменяйтесь ролями." | В парах заполняют таблицы: для $y=\sqrt{x}$ получают точки $(0;0)$, $(1;1)$, $(4;2)$, $(9;3)$; для $y=\sqrt[3]{x}$ — точки $(-8;-2)$, $(-1;-1)$, $(0;0)$, $(1;1)$, $(8;2)$. Проверяют вычисления друг друга. |
3 мин | Учитель строит на интерактивной доске оба графика и говорит: "Сравните положение графиков относительно осей. Где расположен график квадратного корня? Какие значения принимает кубический корень? Что происходит с функцией при увеличении $x$?" | Наносят точки на координатные заготовки, соединяют их плавной линией. Формулируют: «график $y=\sqrt{x}$ расположен в первой четверти и начинается в начале координат», «график $y=\sqrt[3]{x}$ проходит через начало координат и расположен в первой и третьей четвертях», «обе функции возрастают на своей области определения». |
3 мин | Учитель включает цифровое наложение графиков и спрашивает: "Проверьте, является ли график $y=\sqrt[3]{x}$ симметричным относительно начала координат. Сравните значения $f(-x)$ и $-f(x)$. Можно ли назвать эту функцию нечётной? А функцию $y=\sqrt{x}$?" | С помощью графического инструмента и вычислений проверяют: $\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$, поэтому функция нечётная. Для $y=\sqrt{x}$ отрицательные значения аргумента не входят в область определения, поэтому функцию нельзя назвать ни чётной, ни нечётной. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Функция $y=\sqrt[n]{x}$ при чётном $n$: $D(f)=[0;+\infty)$, $E(f)=[0;+\infty)$, функция возрастает, график расположен в первой четверти и начинается в точке $(0;0)$. При нечётном $n$: $D(f)=\mathbb R$, $E(f)=\mathbb R$, функция возрастает на всей числовой прямой; при $n=3$ она нечётная, а её график симметричен относительно начала координат».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что чётность показателя корня определяет область определения и геометрию графика. Теперь проверим, умеем ли мы применять эти свойства к конкретным функциям."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (6 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм определения свойств функции и научиться объяснять каждый вывод.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам карточки с функциями $y=\sqrt[4]{x}$ и $y=\sqrt[5]{x}$. Инструкция: "Для каждой функции определите область определения, область значений, промежутки возрастания и расположение графика. Не ограничивайтесь записью ответа: рядом укажите причину. В паре один ученик анализирует первую функцию, второй — вторую, затем взаимно объясните решения." | В парах заполняют таблицу свойств. Для $y=\sqrt[4]{x}$ записывают $D=[0;+\infty)$, $E=[0;+\infty)$; для $y=\sqrt[5]{x}$ — $D=\mathbb R$, $E=\mathbb R$. Формулируют: «обе функции возрастают на области определения». |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку по эталону на экране: "Сверьте не только результат, но и обоснование. Если нашли расхождение, сначала задайте партнёру вопрос: какое свойство корня использовано? Затем исправьте запись другим цветом." | Сравнивают решения с эталоном, задают вопросы партнёру, исправляют неточности. Представитель одной пары объясняет различие между чётным и нечётным показателем. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм уже работает: показатель корня — область определения — область значений — монотонность — вид графика. Теперь каждый самостоятельно применит его к новой функции."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение свойств и построения графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель предлагает три уровня выбора: "Выполните обязательное задание: исследуйте функцию $y=\sqrt[3]{x}$ и постройте её график по пяти точкам. Затем выберите одно дополнительное задание: сравните её с $y=\sqrt{x}$ или исследуйте функцию $y=\sqrt[4]{x}$. Запишите область определения, область значений, нули, знак, монотонность и симметрию, если она есть." | Индивидуально выполняют исследование. Строят график $y=\sqrt[3]{x}$ по точкам, записывают свойства. Сильные ученики выполняют выбранное дополнительное задание. |
3 мин | Учитель выводит эталон и говорит: "Проверьте работу по пунктам памятки. За каждое верное свойство поставьте знак плюс, ошибку подчеркните и рядом запишите исправленный вариант. Отдельно проверьте, не добавили ли вы отрицательные значения $x$ в область определения чётного корня." | Сверяют решение с эталоном, выполняют самоконтроль и подсчитывают количество верных пунктов. Формулируют индивидуальное затруднение, если оно осталось. |
Эталон решения
Для $y=\sqrt[3]{x}$: показатель корня нечётный, поэтому $D(f)=\mathbb R$. Значения кубического корня также могут быть любыми действительными числами, значит, $E(f)=\mathbb R$. Функция возрастает на всей числовой прямой, имеет единственный нуль $x=0$, положительна при $x>0$ и отрицательна при $x<0$. Так как $f(-x)=-f(x)$, функция нечётная, а график симметричен относительно начала координат. Для построения можно использовать точки $(-8;-2)$, $(-1;-1)$, $(0;0)$, $(1;1)$, $(8;2)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какие свойства вы уже можете выводить без подсказки. Сейчас свяжем математическую модель с другими областями и обсудим, где графическая интерпретация действительно нужна."
Этап 7. Межпредметное применение и ИКТ-проверка (5 мин)
Цель этапа: показать практическую ценность корневых функций через физическое моделирование и цифровое построение графиков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на экране зависимость периода математического маятника от его длины: $T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$. Говорит: "В физике период колебаний маятника зависит от длины как корневая функция. Что произойдёт с периодом, если длину увеличить в четыре раза? Можно ли по графику увидеть, что зависимость не является линейной?" | Рассуждают и отвечают: «период увеличится в два раза, потому что $\sqrt{4l}=2\sqrt l$». По графику отмечают, что приращения периода не пропорциональны приращениям длины. |
3 мин | Учитель просит открыть графический инструмент на экране учителя и показывает одновременно $y=\sqrt{x}$, $y=\sqrt[3]{x}$ и $y=\sqrt[4]{x}$. Задаёт вопросы: "Как цифровая модель помогает проверить ручное построение? Как показатель корня влияет на форму графика? Какие выводы нужно всё равно обосновать математически, а не принимать на веру по рисунку?" | Наблюдают изменение графиков, называют преимущества ИКТ: быстрое сравнение и проверка точек. Делают вывод: «график помогает выдвинуть гипотезу, но область определения и свойства нужно обосновать определением и вычислениями». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цифровой график удобен как инструмент исследования, но математическое доказательство остаётся за нами. Завершим урок проверкой личного результата и короткой рефлексией."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: оценить достижение цели урока, зафиксировать затруднения и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт билеты на выход и говорит: "Ответьте кратко на три вопроса: чем отличаются области определения при чётном и нечётном показателе; какое свойство позволяет узнать симметрию графика; что вы теперь умеете строить самостоятельно? Поставьте внизу один цвет светофора: зелёный — могу объяснить, жёлтый — нужна тренировка, красный — нужна помощь." | Письменно отвечают на вопросы, выбирают цвет самооценки и сдают билет при выходе. |
1 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень и, при желании, один повышающий или дополнительный. В каждой работе обязательно оформляйте область определения и минимум четыре свойства функции." | Записывают выбранный уровень домашнего задания и уточняют критерии проверки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы установили, что чётность показателя корня определяет область определения, область значений и вид графика. На следующем уроке мы продолжим преобразования графиков и рассмотрим, как сдвиги и растяжения меняют корневую функцию."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно определены все основные свойства исследуемой функции, корректно построен график не менее чем по пяти точкам, приведено обоснование области определения и симметрии; работа оформлена аккуратно.
- «4» — верно определены не менее четырёх свойств и построен график, но допущена одна неточность в обосновании или оформлении.
- «3» — определены область определения и область значений, построена основная часть графика, но допущены две существенные ошибки в свойствах или симметрии.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о зависимости области определения от чётности показателя корня? | Выявление осознания ключевого теоретического вывода урока. |
Какое свойство функции $y=\sqrt[n]{x}$ вы можете обосновать самостоятельно? | Проверка переноса знания из примера в общий алгоритм. |
На каком шаге построения графика возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в исследовательской и графической деятельности. |
Какой цвет светофора вы выбираете и что нужно повторить? | Субъективная оценка освоения темы и планирование коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы исследовали функцию $y=\sqrt[n]{x}$ и увидели, что показатель корня определяет не только запись формулы, но и область определения, область значений и форму графика. Особенно важно не забывать: для чётного корня подкоренное выражение неотрицательно, а для нечётного корня допустимы любые действительные значения аргумента. Типичная ошибка — механически переносить свойства $y=\sqrt{x}$ на функцию $y=\sqrt[3]{x}$. Дома закрепите алгоритм исследования, а на следующем уроке мы рассмотрим преобразования графиков корневых функций."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Исследовать функции $y=\sqrt{x}$ и $y=\sqrt[3]{x}$: указать область определения, область значений, нули, знак, монотонность и построить каждый график по пяти характерным точкам. | Закрепляет базовый алгоритм исследования; при проверке обратить внимание на различие чётного и нечётного показателя корня. |
Средний (повышающий) | Исследовать и построить графики функций $y=\sqrt[4]{x}$ и $y=\sqrt[5]{x}$, сравнить их с графиками квадратного и кубического корней, оформить вывод о влиянии показателя корня. | Развивает сравнение и обобщение; проверяется обоснованность вывода, а не только точность рисунка. |
Продвинутый (дополнительный) | Подготовить краткое исследование применения корневой зависимости в физике, информатике или экономике: привести формулу, указать область допустимых значений и объяснить, как график помогает интерпретировать модель. | Формирует межпредметную и естественно-научную грамотность; при проверке оцениваются корректность формулы, область определения и качество объяснения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «При каком условии область определения функции $y=\sqrt[n]{x}$ ограничена?», «Какие значения принимает функция $y=\sqrt[3]{x}$?», «Почему график нечётной корневой функции симметричен относительно начала координат?»
