Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют признак бесконечно убывающей геометрической прогрессии, выведут формулу её суммы $S=\frac{b_1}{1-q}$ при $|q|<1$ и применят её минимум в двух задачах базового и повышенного уровня с объяснением выбора формулы.
- Сформировать представление о пределе суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии и условии существования конечной суммы бесконечной прогрессии.
- Научить находить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии по первому члену и знаменателю, а также восстанавливать неизвестный параметр по известной сумме.
- Развивать умение выдвигать гипотезу, проверять её на числовых примерах, работать в паре и аргументировать математическое решение.
- Воспитывать ответственность за точность вычислений, готовность к самостоятельному выбору уровня задания и интерес к применению математических моделей в естественных науках и финансах.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают ценность математического моделирования при описании процессов, в которых величина постепенно уменьшается.
- Проявляют учебную самостоятельность, выбирая уровень задания и оценивая собственное продвижение.
- Понимают значение аккуратной записи условий применимости формулы для предупреждения математических ошибок.
- Связывают изучаемый материал с будущим обучением в области экономики, физики, информатики и инженерных наук.
Метапредметные
- Выделяют существенные условия задачи: первый член, знаменатель и неравенство $|q|<1$.
- Строят математическую модель реального процесса через геометрическую прогрессию и интерпретируют полученный результат.
- Сравнивают частичную сумму $S_n$ с предполагаемой суммой бесконечного ряда и объясняют характер приближения.
- Ведут диалог в паре, распределяют действия, проверяют решение по критериям и корректируют ошибки.
- Используют таблицу значений и калькулятор или электронную таблицу для проверки гипотезы.
Предметные
- Знать определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии как геометрической прогрессии со знаменателем $|q|<1$.
- Понимать, почему при $|q|<1$ величина $q^n$ стремится к нулю, а сумма первых $n$ членов приближается к конечному числу.
- Уметь применять формулу $S=\frac{b_1}{1-q}$ при $|q|<1$ и проверять условие её применимости.
- Уметь находить неизвестный первый член или знаменатель по формуле суммы.
- Уметь решать задачи разного уровня сложности и объяснять смысл результата в контексте задачи.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения формулы суммы через её применение к реальным процессам.
- Проявляют готовность принимать интеллектуальное затруднение как условие открытия нового знания.
- Оценивают собственную уверенность в применении условия $|q|<1$.
- Формируют ответственное отношение к самостоятельной проверке результата.
Регулятивные УУД
- Совместно формулируют цель урока на основе проблемного задания.
- Планируют последовательность решения: определить $b_1$ и $q$, проверить $|q|<1$, применить формулу, интерпретировать ответ.
- Сопоставляют свой результат с эталоном и находят место ошибки.
- Оценивают выполнение задания по предложенным критериям и выбирают следующий уровень сложности.
Познавательные УУД
- Выводят формулу суммы бесконечной прогрессии из формулы суммы первых $n$ членов.
- Анализируют зависимость поведения суммы от значения знаменателя $q$.
- Моделируют уменьшение величины последовательностью $b_n=b_1q^{n-1}$.
- Преобразуют словесное условие задачи в математическую запись.
- Проверяют гипотезу вычислительным экспериментом и формулируют вывод.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель, проверяющий и затем меняются ролями.
- Формулируют уточняющие вопросы о знаке и модуле знаменателя.
- Аргументируют, почему формула суммы применима или неприменима.
- Согласовывают общий ответ и представляют его классу.
- Корректно оценивают решение партнёра по двум сильным сторонам и одному пожеланию.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с рядами $1+\frac12+\frac14+\frac18+\ldots$ и $1-\frac12+\frac14-\frac18+\ldots$.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика и дополнительный комплект для парной проверки.
- Подготовить лист самооценки с пунктами: «определяю $q$», «проверяю $|q|<1$», «нахожу сумму», «объясняю ответ».
- Вывести на экран формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n=b_1\frac{1-q^n}{1-q}$ при $q\ne1$.
- Подготовить таблицу значений частичных сумм для вычислительного эксперимента и, при возможности, электронную таблицу или калькуляторы.
- Разместить на доске алгоритм: 1) найти $b_1$ и $q$; 2) проверить $|q|<1$; 3) записать формулу; 4) вычислить; 5) проверить смысл ответа.
- Подготовить межпредметный пример о затухающем сигнале или последовательном уменьшении дозы вещества без проведения опасных опытов.
- Распечатать по одному листу с задачами на базовом, повышенном и исследовательском уровнях на каждого ученика.
- Подготовить маркеры, стикеры трёх цветов и таймер для этапов парной работы и самостоятельной проверки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и создать мотивационную ситуацию, связанную с поиском конечной суммы бесконечного процесса.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Сегодня мы начнём с вопроса, который кажется парадоксальным. Может ли сумма бесконечного количества положительных слагаемых быть конечной? Запишите первое предположение одним предложением, не обсуждая его с соседом." | Индивидуально записывают предположение: «может быть конечной» или «будет бесконечной» и кратко объясняют выбор. |
2 мин | Учитель показывает на доске ряд $1+\frac12+\frac14+\frac18+\ldots$ и говорит: "Рассмотрите первые четыре слагаемых. Не вычисляйте всё до конца, а оцените, к какому числу могут приближаться частичные суммы. Приём называется «Прогноз». Через минуту обсудите прогноз с соседом." | Вычисляют $1$, $1+\frac12=1,5$, $1,75$, $1,875$, обсуждают в паре и предполагают: «сумма приближается к 2». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что бесконечный процесс может давать последовательность частичных сумм, приближающуюся к определённому числу. Теперь выясним, какое условие делает это возможным и как получить точную формулу."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить свойства геометрической прогрессии и формулу суммы первых $n$ членов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Вспомним опорные понятия. Что называется геометрической прогрессией? Как найти её знаменатель? Запишите общий член и формулу суммы первых $n$ членов. Я буду фиксировать точные формулировки на доске." | Отвечают: «геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получают умножением предыдущего на постоянное число»; записывают $b_n=b_1q^{n-1}$ и $S_n=b_1\frac{1-q^n}{1-q}$. |
3 мин | Учитель предлагает парную проверку: "Сравните записи. Для прогрессии $6;3;1,5;0,75;\ldots$ назовите $b_1$, $q$ и вычислите $S_4$. Обязательно проговорите, какое действие выполняете первым." | В парах находят $b_1=6$, $q=\frac12$, вычисляют $S_4=6+3+1,5+0,75=11,25$ или по формуле; объясняют порядок действий партнёру. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем находить сумму конечного числа членов. Но в бесконечной последовательности показатель степени не заканчивается. Следующий вопрос — что происходит с выражением $q^n$, когда число членов растёт."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение в переходе от конечной суммы к бесконечной и сформулировать учебную задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает две последовательности: $2;1;0,5;0,25;\ldots$ и $2;4;8;16;\ldots$ и спрашивает: "Обе последовательности геометрические. Можно ли одинаково рассуждать об их бесконечных суммах? Какой признак сразу обращает на себя внимание?" | Сравнивают знаменатели $q=\frac12$ и $q=2$, формулируют: «в первой прогрессии члены по модулю уменьшаются, во второй — увеличиваются». |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Попробуйте получить формулу из $S_n=b_1\frac{1-q^n}{1-q}$. Какой предел должен существовать? Сформулируйте цель урока начиная словами: «Мы научимся...»" | Формулируют цель: «научимся определять, когда бесконечная геометрическая прогрессия имеет конечную сумму, и находить эту сумму»; предполагают, что нужно исследовать условие $|q|<1$. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение найдено: нам нужно обосновать поведение $q^n$ и корректно перейти от $S_n$ к сумме бесконечной прогрессии. Предлагаю открыть это знание через вычислительный эксперимент и вывод формулы."
Этап 4. Открытие нового знания: условие и формула (9 мин)
Цель этапа: исследовать предел частичных сумм и вывести формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам таблицу и говорит: "Для $b_1=1$ заполните первые пять частичных сумм при $q=\frac12$ и при $q=-\frac12$. Затем сравните результаты. Обратите внимание не только на приближение, но и на чередование знаков." | В парах заполняют таблицу: при $q=\frac12$ получают $1;1,5;1,75;1,875;1,9375$; при $q=-\frac12$ получают $1;0,5;0,75;0,625;0,6875$; формулируют вывод о приближении к конечному числу. |
3 мин | Учитель обращается к классу: "В обоих случаях $|q|<1$. При больших $n$ степень $q^n$ стремится к нулю. Подставим это в формулу суммы первых $n$ членов: $S_n=b_1\frac{1-q^n}{1-q}$. Что останется после перехода к пределу?" | Отвечают: «$q^n$ стремится к нулю, поэтому числитель стремится к 1»; получают $S=\frac{b_1}{1-q}$. |
3 мин | Учитель записывает на доске определение и подчёркивает условие: "Бесконечно убывающей называют геометрическую прогрессию, для которой $|q|<1$. Её сумма существует и равна $S=\frac{b_1}{1-q}$. Формула не применяется автоматически: сначала проверяем модуль знаменателя." | Записывают определение, условие $|q|<1$ и формулу $S=\frac{b_1}{1-q}$; задают вопросы о случаях $q=1$, $q=-1$ и $|q|>1$. |
Запись в тетрадях
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — геометрическая прогрессия со знаменателем $q$, для которого $|q|<1$. При этом $q^n\to0$, а сумма всех её членов существует: $S=\frac{b_1}{1-q}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели не просто формулу, а область её применимости. Теперь проверим новый алгоритм сначала вместе, затем самостоятельно и на задачах разных уровней."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (6 мин)
Цель этапа: научить применять формулу по алгоритму и проговаривать проверку условия $|q|<1$.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель разбирает пример: "Рассмотрим прогрессию $12;6;3;\ldots$. Назовите $b_1$ и $q$, проверьте условие и только после этого найдите сумму. Не перепрыгивайте через проверку." | Называют $b_1=12$, $q=\frac12$, проверяют $|q|=\frac12<1$, вычисляют $S=\frac{12}{1-\frac12}=24$. |
4 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: «Найдите сумму прогрессии $-9;3;-1;\ldots$. Объясните, почему знак суммы не противоречит знаку первого члена». Говорит: "Один ученик оформляет решение, второй проверяет условие и вычисления; через две минуты поменяйтесь ролями." | Находят $b_1=-9$, $q=-\frac13$, проверяют $|q|<1$, вычисляют $S=\frac{-9}{1+\frac13}=-\frac{27}{4}$; объясняют, что члены чередуются, но первый член по модулю задаёт отрицательное приближение суммы. |
Эталон решения
Для прогрессии $-9;3;-1;\ldots$: $b_1=-9$, $q=\frac{3}{-9}=-\frac13$. Так как $|q|=\frac13<1$, сумма существует. Тогда $S=\frac{-9}{1-(-\frac13)}=\frac{-9}{\frac43}=-\frac{27}{4}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парном решении вы увидели, что основная ошибка возникает не в делении, а в пропуске условия $|q|<1$ или в неверном знаке знаменателя. Переходим к индивидуальной работе, где каждый покажет, насколько уверенно владеет алгоритмом."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение формулы и предоставить выбор задания базового, повышенного или исследовательского уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "Выполните обязательное задание базового уровня. Если оно выполнено уверенно, переходите к повышенному; исследовательское задание предназначено для тех, кто готов восстановить неизвестный параметр и обосновать ответ. На листе обязательно записывайте проверку $|q|<1$." | Выбирают карточку или последовательность уровней, записывают номер выбранного уровня и критерий успешности. |
4 мин | Учитель предлагает задания. Базовый уровень: «Найдите сумму прогрессии $8;4;2;\ldots$ и прогрессии $5;-1;0,2;\ldots$». Повышенный уровень: «Сумма бесконечно убывающей прогрессии равна $18$, первый член равен $6$. Найдите $q$». | Индивидуально решают задания: для первой прогрессии $S=16$, для второй $q=-\frac15$, $S=\frac{25}{6}$; в повышенном задании используют $18=\frac6{1-q}$ и получают $q=\frac23$. |
3 мин | Учитель показывает эталон на доске и говорит: "Проверьте не только число, но и ход решения. Отметьте зелёным верный шаг, жёлтым — шаг, требующий уточнения, красным — место ошибки. Одну ошибку исправьте самостоятельно." | Сверяют решения с эталоном, исправляют запись, отмечают результат в листе самооценки; при затруднении формулируют вопрос учителю или соседу после самостоятельной попытки. |
Эталон решения
Для $8;4;2;\ldots$: $b_1=8$, $q=\frac12$, поэтому $S=\frac8{1-\frac12}=16$. Для $5;-1;0,2;\ldots$: $q=-\frac15$, $|q|<1$, поэтому $S=\frac5{1+ rac15}=\frac{25}{6}$. Если $S=18$ и $b_1=6$, то $18=\frac6{1-q}$, откуда $1-q=\frac13$, следовательно, $q=\frac23$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная проверка показала, что базовый алгоритм уже работает. Теперь применим его к ситуации из другой области и обсудим, что означает сумма не только как число, но и как модель реального процесса."
Этап 7. Межпредметное применение и включение в систему знаний (6 мин)
Цель этапа: применить формулу для моделирования затухающего процесса и интерпретировать математический результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает межпредметную задачу: "При обработке сигнала его амплитуда после каждого этапа уменьшается в $0,4$ раза. Начальная амплитуда условно равна $10$ единицам. Оценим сумму амплитуд всех этапов как $10+4+1,6+\ldots$. Почему здесь появляется бесконечно убывающая геометрическая прогрессия?" | Определяют $b_1=10$, $q=0,4$, формулируют: «каждый следующий вклад получают умножением предыдущего на постоянный коэффициент». |
2 мин | Учитель говорит: "Запишите математическую модель и найдите сумму. Затем объясните, что означает полученное число в контексте сигнала. Не говорите, что бесконечный процесс реально выполняется бесконечно: это модель предельного суммарного вклада." | Вычисляют $S=\frac{10}{1-0,4}=\frac{50}{3}\approx16,67$; объясняют, что число показывает предельную суммарную амплитуду модели. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос для анализа: "Что изменится, если коэффициент уменьшения станет $1,2$? А если $-1$? Сделайте вывод о необходимости условия." | Отвечают: при $q=1,2$ члены не стремятся к нулю и конечной суммы нет; при $q=-1$ члены не уменьшаются по модулю и сумма не имеет предела. Формулируют необходимость $|q|<1$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формула работает не потому, что последовательность просто бесконечная, а потому, что её члены по модулю затухают. В конце урока зафиксируем признаки успешного решения и проверим, можете ли вы объяснить их своими словами."
Этап 8. Рефлексия, итог и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осмыслить новое знание, выявить затруднения и сообщить разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно применить формулу; жёлтую — если нужна проверка условия; красную — если пока не понимаете переход к бесконечной сумме. Одним предложением завершите фразу: «Чтобы найти сумму, я сначала...»" | Показывают карточки, формулируют: «сначала нахожу $b_1$ и $q$, затем проверяю $|q|<1$»; записывают вопрос, который остался. |
2 мин | Учитель говорит: "Запишите домашнее задание по выбранному уровню. Перед выходом ответьте устно на контрольный вопрос: почему формулу нельзя применять при $q=2$?" Затем благодарит класс за исследовательскую работу. | Записывают домашнее задание, отвечают: «при $q=2$ степени $q^n$ не стремятся к нулю, члены растут, поэтому конечной суммы нет». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены обязательные задания и выбранное задание повышенного или исследовательского уровня; в каждом решении указаны $b_1$, $q$, проверка $|q|<1$, формула и ответ; рассуждение не содержит ошибок.
- «4» — верно выполнены обязательные задания, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не нарушающая понимания алгоритма; условие применимости формулы указано.
- «3» — выполнено не менее двух базовых действий из трёх: найден знаменатель, проверено условие $|q|<1$, применена формула; после подсказки исправлена одна существенная ошибка.
- Независимо от отметки учитывается качество парной работы: ученик объяснил решение партнёру, задал уточняющий вопрос и выполнил самопроверку по эталону.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о связи бесконечной прогрессии и предела частичных сумм? | Выявление понимания механизма перехода от $S_n$ к $S$. |
Какое условие необходимо проверить перед применением формулы $S=\frac{b_1}{1-q}$? | Проверка осознания области применимости формулы. |
На каком шаге решения вы сегодня могли допустить ошибку? | Выявление индивидуальных точек затруднения в алгоритме. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Диагностика самооценки и готовности к самостоятельному усложнению. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что бесконечная геометрическая прогрессия имеет конечную сумму только при условии $|q|<1$. Мы вывели формулу $S=\frac{b_1}{1-q}$ и увидели, что обязательный шаг решения — проверка этого условия. Самая частая ошибка связана с неверным знаком в знаменателе или с механическим применением формулы без анализа $q$. На следующем уроке мы продолжим работать с предельными переходами и задачами, в которых неизвестный параметр нужно определить из условия."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на нахождение суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии по заданным $b_1$ и $q$, включая положительный и отрицательный знаменатель; в каждой задаче записать проверку $|q|<1$. | Закрепить алгоритм и контроль знаков; при проверке обратить внимание на указание первого члена, знаменателя и условия применимости. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи, в которых по сумме и первому члену находят $q$, либо по сумме и знаменателю находят $b_1$; дополнительно объяснить, почему найденный параметр удовлетворяет условию $|q|<1$. | Развить преобразование формулы и умение обосновывать область допустимых значений. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу из физики, экономики или информатики, моделируемую бесконечно убывающей геометрической прогрессией; указать смысл $b_1$, $q$ и $S$, а также сравнить сумму первых четырёх членов с полной суммой. | Развить математическое моделирование, межпредметное мышление и понимание приближённого характера частичных сумм. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как называется прогрессия со свойством $|q|<1$? Почему $q^n$ стремится к нулю? Как записывается сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии? Можно ли применить формулу при $q=-1,2$ и почему?»
